中考数学 图形变换 最值问题 教案

一、巧施图形变换、妙解最值问题近年来，各地各类考试中有关最值问题频频出现，此类问题形式多样，解题方法灵活多变，许多同学在遇到此类问题时，感到无从下手，找不到适当的切入点，导致思维受阻.笔者基于自己的教学实践，谈谈如何活用图形变换，巧解最值问题，以期对读者有所帮助。一、巧用轴对称例1：(1)观察发现如图1，若点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小.做法如下:作点关于直线的对称点，连结，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值.图1图2如图2，在等边中，，点是的中点，是高，在上找一点，使的值最小.做法如下:作点关于的对称点，恰好与点重合，连结交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为.(2)实践运用如图3，已知⊙的直径为2，弧的度数为60°，点是弧的中点，在直径上作出点，使的值最小，则的值最小，则的最小值为.图3图4(3)拓展延伸如图4，点是四边形内一点，分别在边、上作出点、，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法.解析(1)利用作法得到的长为的最小值.由，点是的中点，根据等边三角形的性质，得到.再根据含30°的直角三角形三边的关系得到.(2)如图5，过点作弦，连结交于点，连结、、、.根据垂径定理得到平分，即点与点关于对称，则的长度就是的最小值.易知，于是可判断为等腰直角三角形，则;图5图6(3)如图6，分别作出点关于和的对称点和，然后连结,交于点，交于点.反思:例1中的(1)(2)题都属于“两定点+一动点”问题.解决关键在于通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，轴对称变换到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”，可知线段和的最小值为定线段的长.第(3)问虽属于两动点问题，但仍可以用两次轴对称，转化为“两点之间线段最短”的问题.

例2：如图7，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为(0,0)、(20,0)、(20,10)，在线段、上各有一动点、，则当取最小值时，点的坐标是.图7解析：我们不妨先假定一个动点为定点，如图8(1).作点关于的对称点，连结，交于点，由“两点之间线段最短”，可知的最小值为.(l)(2)图8再考虑是轴上的一个动点，是轴外的一个定点，由“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”，可知当轴时(如图8(2)),的值最小.易知，利用∽，可得,进而得到,点的坐标是(12,6).反思本例属于“两动点+一定点”问题，对动点进行轴对称变换，综合利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”解决问题.例3：如图9，在中，分别在上，则的周长的最小值为___.图9图10解析：我们不妨也假设一个点是定点，分别作点关于的对称点，则.由“两点之间线段最短”可知，当四点共线时，的周长最小，即等于的长度.由轴对称的性质可知，易得.考虑是上的一个动点，要使有最小值，只需取得最小值.由“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”，可知，当时，的值最小，即为的长度.在直角中，故的周长最小值为.反思本例属于“三动点”问题，对动点进行两次轴对称变换，“化曲为直”，再结合垂线段最短解决问题.

例4：如图11，婷婷同学住在村，她的外婆住在河对岸的村，每次婷婷到外婆家都要走很多弯路，现在有关部门将拨款在河上修一座桥.为使两村所筑的路最短，桥应筑在河的哪个位置?(要求桥与河岸垂直)解析：如图12，过作，且等于河的宽度，连结交于点，过点作，连结，则就是桥的位置.图11图12例5：如图13，正方形的边长为4,点在边上且，长为的线段在上运动，当四边形的周长最小时，的值是.图13图14解析：由题意，可知的长度都是定值，要四边的周长最小，只要的和最小就可.故利用平移，将沿着与平行的方向平移个单位至。此时只需求B的最小值即可.由正方形轴对称的性质可知关于的对称点为，连结交于点，在上截取(如图14).此时四边形的周长最小.延长交于点，过点作，由，可求得，进而利用∽，可求得,故.由对称性，可知.反思：本题中有两个动点，其中一个随另一个动(一个主动，一个从动)，并且两动点之间的距离保持不变.求解此类问题的关键是，通过平移变换将相关线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，把两个动点变成一个动点，从而把原问题转化为“两个定点和一个动点”问题来解决.二、巧用旋转例6：如图15,，以为一边作正方形，使两点落在图15直线的两侧，当变化时，求的最大值.解析：如图16(1)，将绕点顺时针旋转，得到,的最大值即为的最大值.在中，,故当三点共线时(如图16(2)),取得最大值.此时，,,即的最大值是6.(l)(2)图16

例7：若点是边长为2的正方形内一点，求的最小值.解析：本题要直接求的最小值比较困难，需要利用旋转进行转换，尽量把三条线段向一条直线靠拢.于是可以将旋转到，则，且为正三角形，所以.易知，要使得该值最小，只需四点共线即可.如图17，连接，最小,易知.过点作，交的延长线于点，在中，,即的最小值为.