4.2.1 等差数列的概念（练习）（解析版）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023春·辽宁大连）在数列中，，，则数列是（

）A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列C．公差为的等差数列 D．不是等差数列【答案】B【解析】由得：，即，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确.故选：B.2．（2023春·黑龙江佳木斯·高二校考期中）等差数列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．36【答案】D【解析】因为是等差数列，所以，解得，所以，故选：D3．（2023北京）已知是各项均为正数的等差数列，其公差为，若，，也是等差数列，则其公差为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，是等差数列，所以，所以，即，又，可得，所以公差.故选：D.4．（2023·四川绵阳）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为，由题意可得，所以，故选：B5．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（

）A．95 B．96 C．97 D．98【答案】C【解析】由题意，3与7的最小公倍数为21，被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数，又，2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为：.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】设等差数列公差为,则,从而,此时,故,所以,即,当且仅当,即时取“=”,又,解得,所以,所以,故选:B.7．（2023·安徽宣城）在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由题意，，所以，当时，即，即时，有最小值．所以，得，即，故选D．点睛：本题考查等差数列、基本不等式的应用．根据等差数列的性质，得，利用基本不等式中的条件型问题，得，则时，即，即时，有最小值，解得，．8．（2023秋·辽宁）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，故，，被5除余3的数为3，8，13……，故，，被7除余1的数为1，8，15……，故，，由，，，故，，令，解得：，因为，所以，故此数列的项数为20.故选：D多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023春·高二课时练习）下列数列中是等差数列的是（

）A．，a，B．2，4，6，8，…，，C．，，，D．【答案】ABD【解析】对于A选项，由于，故是等差数列，正确；对于B选项，2，4，6，8，…，，中，，是等差数列，正确；对于C选项，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；对于D选项，由得，满足等差数列定义.故选：ABD.10．（2022·高二课时练习）已知等差数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以，故选：CD.11．（2023山东）已知在等差数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意，设等差数列的公差为d，则即，所以故选：BC.12．（2023福建）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（

）A． B．C． D．中的第506项是中的第2022项【答案】AC【解析】因为，，所以，故C正确；数列中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…，所以，，故A正确，B错误；对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第506项是中的第2023项，故D错误．故选：AC填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023春·高二单元测试）已知,,依次是等差数列的第2项、第4项和第6项,则实数的值是．【答案】2【解析】因为等差数列的第2项、第4项和第6项仍然成等差数列所以,解得故答案为：214．（2023·全国·高二专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为.【答案】/【解析】根据题意可得，则，当且仅当时取得最小值.故答案为：.15．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）设是公差为正数的等差数列，若，，则．【答案】39【解析】由题意是公差为正数的等差数列，设公差为，，，则，则，故，故，故，故答案为：3916．（2023春·浙江宁波）已知等差数列，，，则.【答案】1【解析】记等差数列的公差为，则，因为，，所以，所以.故答案为：1解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17.（2023河北）在等差数列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)已知，，，求；(6)已知，，，求；(7)已知，，，求d；(8)已知，，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.(5)13(6)8(7)(8)【解析】（1），，；（2），，；（3），，；（4），，上两式联立：，，；故答案为：，，-12，28，17.（5）解：因为数列为等差数列，，，，所以，所以；（6）解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得；（7）解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得；（8）解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得.18．（2022·高二课时练习）数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由，得，，且，故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知数列的首项为，公差，则数列，即，则.19．（2023秋·高二课时练习）数列满足，，设.(1)数列是等差数列吗？试证明；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)是，证明见解析；(2).【解析】（1）解：数列是等差数列.证明如下：由已知可得，，则，所以.所以数列是等差数列.（2）解：由（1）知，数列是等差数列，首项，公差.所以，所以，，所以.20．（2023陕西）已知等差数列为3，7，11，15，….(1)求的通项公式；(2)135，是数列中的项吗？为什么？(3)若，是中的项，那么，是数列中的项吗？请说明理由.【答案】(1)(2)是，理由见解析(3)是，理由见解析【解析】1）设数列的公差为d，依题意有，，∴.（2）令，得，∴

135是数列的第34项；∵，且，∴是数列的第项.（3）∵，是数列中的项，∴，，∴，∵，∴是数列的第项.21．（2023山东）已知在数列中，，，数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)最小值，最大值3，理由见解析【解析】（1）证明：因为，，所以当时，.又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，则.设函数，在区间和上单调递减，结合函数的图象可知，当时，取得最小值；当时，取得最大值3.22．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数