概率论数理统计课件第6讲

概率论与数理统计第六讲温故随机变量定义：设X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为一维随机变量。分类：离散型随机变量连续型随机变量定义

如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。

X取各个可能值的概率，即事件的概率为（1）称（1）式为离散型随机变量X的分布律。一般地，设离散型随机变量X所有可能取的值为分布律也可以直观地用下面的表格来表示：

由概率的定义，式（1）中的应满足以下条件：

随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率模型：一个人射击，射中的概率为p，不中的概率为q=1-p.则X分布律为：

X01pkqp规定：常用的离散型随机变量的分布1.两点分布（0-1分布）模型：n个人向一目标独立射击，射中的概率均为p，不中的概率为q=1-p，用随机变量X表示射中目标的人数X01…k…n……则X的分布律为：2.二项分布设随机变量

X

所有可能取的值为:0,1,2,…,而取各个值的概率为：3.泊松分布其中λ>0是常数，则称X

服从参数为λ的泊松分布,记作X～

P(λ)。电话交换台接到的呼叫次数；公共汽车站到达的乘车人数；一本书一页中的印刷错误数；放射性分裂落在某区域的质点数，等等

连续型随机变量

X

所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样,指出其取各个值的概率，给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。§2.3

连续型随机变量例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位:mm)如下:2.3.1频率直方图129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.这100个数据中，最小值是128，最大值是155。128155作频率直方图的步骤(1).先确定作图区间（a,b）;a=最小数据-ε/2，b=最大数据+ε/2，ε是数据的精度。本例中

ε=1,a=127.5,b=155.5。(2).确定数据分组数m=7，组距d=(b−a)/m=28/7=4，

(3).计算落入各子区间内观测值频数

频率=频数/总数子区间频数频率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04(4).在各组以组距为底向上作长方形，使该长方形的面积等于该组的频率

，即长方形的高×组距=频率，从而“高=频率÷组距=频率/4”这样的图形称为频率直方图，简称直方图。由于概率可以由频率近似，因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数,同时将数据分得更细一些。当数据越来越多,分组越来越细时,直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概率分布情况。2.3.2概率密度函数定义：若存在非负可积函数f(x),使随机变量X取值于任一区间(a,b]的概率可表示成则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。这两条性质是判定函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件。密度函数的性质f(x)与

x

轴所围面积等于1。

若x是f(x)的连续点，则=f(x)，(3).对

f(x)的进一步理解：故,

X的概率密度函数f(x)在x这一点的值,恰好是X落在区间[x,x

+△x]上的概率与区间长度△x之比的极限。这里,如果把概率理解为质量，f(x)相当于物理学中的线密度。需要注意的是：概率密度函数f(x)在点

a

处取值，不是事件{X

=a}的概率。但是，该值越大，X在

a

点附近取值的概率越大。(4).连续型随机变量取任意指定值的概率为0.即：a为任意给定值。这是因为：由此得，◎对连续型随机变量X,有在几何上，它表示随机变量X落在实数x左边的概率定义

分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴。2.3.4随机变量的分布函数分布函数的性质(1).a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性)；(2).

x

R，总有0≤F(x)≤1(有界性)，且证明：仅证(1)。因

{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a}，而{X≤a}

{X≤b}，所以

P{a<X≤b}=P{X≤b}-

P{X≤a}=F(b)-

F(a).又，因P{a<X≤b}≥0，故F(a)≤F(b).注意：上述证明中我们得到一个重要公式:

P{a<X≤b}=F(b)-F(a).它表明随机变量落在区间(a,b]上的概率可以通过分布函数来计算。例1-101¼½¼由概率的有限可加性分布函数为：解设离散型随机变量X的概率分布为

pk=P{X=xk},k=1,2,…,

X的分布函数为离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数

F(x)

在X=xk(k=1,2,…)处有跳跃值

pk=P{X=xk}，如下图所示。连续型随机变量的分布函数即分布函数是密度函数的变上限积分。由上式，得：在f(x)的连续点，有若X是连续型随机变量，f(x)是X的密度函数，F(x)是X

的分布函数，则对任意x∈R，总有例2设连续型随机变量X具有概率密度2.3.3常见的连续型随机变量均匀分布、指数