第9、10章 相关与回归分析

第9、10章相关与回归分析第一部分相关分析研究问题：变量间关系函数关系是一一对应的确定关系特殊相关关系相关关系一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定

xy

xy变量间关系类别

不相关

负线性相关

正线性相关

非线性相关

完全负线性相关完全正线性相关

相关分析要解决的问题【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据例题数据相关关系测度：相关系数相关系数对变量之间关系密切程度的度量也称线性相关系数，或皮尔逊相关系数总体相关系数

根据总体全部数据计算样本相关系数r根据样本数据计算r作为的估计值，需要显著性检验计算公式

样本相关系数的计算公式或化简为r的性质取值在-1和1之间根据经验

r

≥0.8时，高度相关0.5≤

r

＜0.8时，中度相关0.3≤

r

＜0.5时，低度相关

r

＜0.3时，不相关具有对称性不能用于描述非线性关系不一定因果关系步骤一：相关系数计算EXCEL计算演示步骤二：相关关系的显著性检验一般总体相关系数

未知r作为的近似估计计算检验的统计量：确定显著性水平，并作出决策若t>t

，存在显著线性关系

例题分析

对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(0.05)计算检验的统计量显著性水平＝0.05，t

(n-2)=2.0687

t=7.5344>t

(25-2)=2.0687不良贷款与贷款余额间存在着显著的正线性相关关系

第二部分一元线性回归一元线性回归回归分析：数学表达式相关分析：变量之间的关系强度一元线性回归模型y=b0+b1x+ey依赖于自变量x和误差项e假定e的期望值为0一元线性回归方程E(y)=

0+

1x估计的回归方程：根据样本数据求出

xy步骤一：参数的最小二乘估计xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾公式使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即例题分析【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程：y=-0.8295+0.037895x结果解释回归系数0.037895表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元截距通常不能赋予任何意义用EXCEL计算回归方程的图示步骤二：回归直线的拟合优度拟合优度：观察值与回归直线的接近程度一、判定系数二、估计量的标准差一、判定系数R2计算A：变差分解y取值不同，这种波动称为变差变差的大小可以用来表示由于x的取值不同造成除x以外的其他因素的影响变差分解图示xyy{}}

B：离差平方和的分解

SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{C：计算判定系数R2

回归平方和占总离差平方和的比例取值范围在[0,1]之间R2

1，回归方程拟合的越好R20，回归方程拟合的越差可以证明R2＝r2例题分析【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义实际意义在不良贷款取值的变差中，71.16%可由不良贷款与贷款余额间的线性关系来解释或不良贷款取值变动中，有71.16%是由贷款余额所决定也即不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的二、估计量的标准差计算公式为均方残差MSE的平方根用估计的回归方程预测y时预测误差的大小排除x对y影响后，y随机波动大小的估计量注：例题的计算结果为1.9799用贷款余额估计不良贷款，平均估计误差为1.9799步骤三：显著性检验A线性关系检验关系是否可用y=b0+b1x+e来表示B回归系数检验

检验自变量x对因变量y的影响是否显著A线性关系检验的步骤提出假设H0：

1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F

回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p)

残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1)确定显著性水平，找出临界值F作出决策：若F>F

,拒绝H0若F<F

,不拒绝H0例题分析提出假设H0：

1=0不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平

=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F

=4.28作出决策：若F>F

,拒绝H0，线性关系显著方差分析表B回归系数的检验提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，并进行决策

t>t

，拒绝H0；t<t

，不拒绝H0在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验例题分析

对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=7.533515>t

=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有线性关系步骤四：估计和预测根据x

的取值估计或预测y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计

点估计例：在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的置信区间估计利用估计的回归方程，对于自变量

x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间

，这一估计区间称为置信区间

E(y0)

在1-

置信水平下的置信区间为式中：se为估计标准误差例题分析

【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%的置信区间解：根据前面的计算结果，已知n=25，se=1.9799，t

(25-2)=2.0687置信区间为当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间

预测区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间)

y0在1-

置信水平下的预测区间为注意！例题分析【例】求出