电路分析（第六版）电路的等效变换

电路的等效变换2.1电阻的串、并、混联2.2△形和Y形电阻电路的等效变换2.3两种电源模型的等效变换2.4受控源及其等效变换小结习题2

2.1电阻的串、并、混联

2.1.1电阻的串联若电路中两个或两个以上电阻首尾相接、中间无分支,在电源作用下,通过各电阻的电流都相同,则称此连接方式为电阻的串联。图2.1(a)所示为三个电阻串联。图2.1电阻串联及其等效电路

来替代图2.1(a)中的三个电阻,如图2.1(b)所示,则外端钮上电压与电流的关系不变。换言之,它们对外电路具有相同的效果,这就是等效变换,称R为等效电阻,称图2.1(b)为图2.1(a)的等效电路。显然,n个电阻相串联,其等效电阻等于n个电阻之和。

例2.1有一量程为100mV,内阻为1kΩ的电压表。如欲将其改装成量程为U1=1V和U2=10V的电压表,试问应采用什么措施?

解根据串联电阻分压概念,用一个电阻与电压表相串联,可以分去所扩大部分的电压。由于要求扩大为两个量程,故应串入两个电阻(也可以说是将一个电阻一分为二),其原理如图2.2所示,各量程标注在相应的端钮上。图2.2例2.1图

2.1.2电阻的并联

若电路中两个或两个以上电阻,其首尾两端分别连接于两点之间,各电阻两端电压都相同,则称此连接方式为电阻的并联。图2.3(a)所示为三个电阻并联。图2.3电阻并联及其等效电路

来替代图2.3(a)中的三个电导,如图2.3(b)所示,则外端钮上电压与电流的关系不变,即它们对外电路具有相同的效果,称G为等效电导。称图2.3(b)为图2.3(a)的等效电路。显然,n个电导相并联,其等效电导等于n个电导之和。

若将式(29)用电阻形式表示,则有

例2.2有一量程为100μA,内阻为1.6kΩ的电流表,如欲将其改装成量程I1=500μA和I2=5mA的电流表,应采取什么措施?

解根据并联电阻分流的概念,用一电阻与电流表并联,可分去扩大部分的电流,使流过电流表的电流始终不超过100μA。由于要扩大为两个量程,故应将并入电阻分成两个部分(即由两个电阻串联而成),其原理如图2.4所示,各量程标注在相应的端钮上。图2.4例2.2图

图中Rg为电流表内阻,Ig为其量程,R1、R2为分流电阻。先求出量程I1的分流电阻,此时,I2端钮断开,分流电阻为R1+R2,根据并联电阻分流关系,有

当量程I2=5mA时,分流电阻为R2,而R1

与Rg相串联,根据并联电阻分流关系,有

2.1.3电阻的混联

既有串联又有并联的电路称为混联电路。对于电阻混联电路,可以应用等效概念,逐次求出各串、并联部分的等效电路,最终将其简化成一个无分支的等效电路,通常称这类电路为简单电路;若不能用串、并联方法简化的电路,则称其为复杂电路。

例2.3求图2.5(a)所示电路中的电流I和电压Uab。图2.5例2.3图

解对此类电路的分析方法可归纳为三步(称三步处理法):设电位点;画直观图;利用串、并联方法求等效电阻。

据此可将原电路改画成如图2.5(b)所示电路,则

例2.4求图2.6(a)所示电路中a、b两端的等效电阻。

解按三步处理法逐步化简,可得图2.6(b)、(c)、(d)所示简化电路,由此可得

Rab=2+3=5Ω图2.6例2.4的电路

例2.5求图2.7所示电路中R4上的功率P。图2.7例2.5图

练习与思考

2.1－1求图2.8所示各电路的等效电阻Rab图2.8题2.11图

2.1－2有一个120V电源与100Ω电阻串联的电路,为了使电阻上的功率不超过100W,问至少应再串入多大的电阻R?电阻R上所消耗的功率为多少?

2.13－3A电流源通过2Ω电阻和一未知电阻R相并联的电路,欲使流过电阻R的电流为2/3A,试问R取值应为多少?

2.2△形和Y形电阻电路的等效变换

无源三端式电路如图2.9所示,其中图(a)称为△形电路,图(b)称为Y形电路。图2.9无源三端式电路

△形和Y形电路之间的相互变换也应满足外部特性相同的原则,直观地说:就是任意两对应端的电阻应相等。具体地说,就是当第3端断开时,两电路中每一对应端的电阻相等。如图2.9(a)和(b)中,当第3端断开时,两电路中1、2端的电阻应相等,即

以上三式就是△形电路变换为等效Y形电路的公式。三个公式可概括为

以上三式就是Y形电路变换为等效△形电路的公式。三个公式可概括为

例2.6在图2.10(a)所示电路中,

(1)欲使R5支路无电流,则应满足什么条件?

(2)若已知R1=10Ω,

R2=30Ω,

R3=22Ω,R4=4Ω,

R5=60Ω,

US=22V,

求电流I。图2.10例2.6图

例2.7求图2.11(a)所示电路中a、b两端的等效电阻。图2.11例2.7图

解将三个1Ω电阻组成的Y形连接等效变换成△形连接,如图(b)所示,故可得

练习与思考

2.2－1求图2.12所示电路中的等效电阻Rab。图2.12题2.21图

2.2－2利用电路的对称性求图2.13所示电路中的等效电阻Rab。

图2.13题2.22图

2.2－3欲将图2.14(a)所示电路,利用△—Y形等效变换成图2.14(b)所示电路,从何处着手比较方便?为什么?

图2.14题2.23图

2.3两种电源模型的等效变换

前面讲到,一个实际电源可用理想电压源与电阻串联或理想电流源与电阻并联的模型来表征,这其实就是两种电源模型的等效互换,当然也是等效原则下的互换,这种互换在分析计算电路时经常用到,为明确其等效互换条件,重画两种电源模型于图2.15。图2.15两种电源模型

则两种实际电源模型的外部电压、电流关系都相同,因此,对外电路而言,它们是等效的。

式(2－29)也可以写成另一种形式,即

式(2－29)和式(2－30)为两种电源模型等效的条件。注意:①两种电源模型进行等效变换时,其参考方向应满足图2.15的关系,即IS的箭头方向由US的“-”指向“+”。②两种电源模型相互等效是指其外部,其内部并不等效。例如,同在开路状态下,电压源既不产生功率,其内阻也不消耗功率;而电流源则产生功率,并且全部被内阻所消耗。

理想电压源与理想电流源之间不能等效互换。因为理想电压源的伏安特性为平行于电流轴的直线,而理想电流源的伏安特性为平行于电压轴的直线,二者不可能有相同的伏安特性,即不满足等效变换的条件。

说明:两种电源的等效互换方法可以推广运用,即一个电压源与电阻相串联的组合和一个电流源与电阻相并联的组合也可以等效互换,而这个电阻不一定是电源内阻。

例2.8将图2.16(a)所示电路简化成电压源和电阻的串联组合。

解利用电源串、并联和等效变换,按图2.16(b)、(c)、(d)所示顺序逐步化简,可得等效电压源和电阻的串联组合。

图2.16例2.8图

例2.9如图2.17(a)所示电路,求电位φA。

解两个接地点即为等位点,将其用短路线连接。再应用电阻串、并联及电源等效变换将图2.17(a)依次等效为图2.17(b)、(c)所示电路,由(c)图可得图2.17例2.9图

例2.10试求图2.18(a)所示电路的电流I和I1。

解依电源模型的等效变换将原图依次变换为图2.18(b)、(c)、(d)所示电路,由(d)图可得图2.18例2.10图

练习与思考

2.3－1两种电源模型等效互换的条件是什么?如何确定等效后的US和IS的参考方向?

2.3－2将图2.19所示各电路化成单个电源的电路。

2.3－3求图2.20所示电路中的电流I及图(b)中的Uab。图2.19题2.32图图2.20题2.33图

2.4受控源及其等效变换

第1章介绍的电压源和电流源,因其电压和电流均为定值或一定的时间函数,故称为独立源。除独立源外,实用中还有受控源。受控源的电压或电流受电路中某处电压或电流的控制,因此,受控源亦称非独立源。其符号用菱形代替圆形。受控源有输入和输出两对端钮。输出端电压或电流受输入端电压或电流的控制,按照控制量和被控制量的组合情况,理想受控源电路有四种形式,如图2.21所示。图2.21四种理想受控源

例如图2.22(a)所示的晶体管共射组态电路,其微变等效电路用图2.22(b)所示的CCCS来表征,其输出特性反映了基极电流ib对集电极电流ic的控制作用,其数值关系为ic=βib,其中β为晶体管共射组态的电流放大系数。图中ri

为晶体管的输入电阻。图2.22受控源举例

应当指出,尽管受控源也称为电源,但与独立源却有本质的区别。独立源在电路中起“激励”作用,而受控源不起激励作用,其电压(或电流)反受电路中其他电压或电流控制。控制量存在,受控源就存在,控制量为零,受控源也为零。它仅表示“控制”与“被控制”的关系,是一种电路现象而已。

受控源的控制支路在电路图中不画出,只标出控制量。分析含受控源电路时,注意受控源与独立源的异同点,有时将其当独立源对待,有时当电阻元件对待。受控电压源、电阻串联组合与受控电流源、电阻并联组合仍可进行等效互换(如例2.12、例2.14的情况),此时受控源当独立源对待,但要注意在变换中不要把控制量所在的支路消除掉;对于受控源和电阻组成的二端网络可等效成一个电阻,此时受控源当电阻对待,值得注意的是,等效电阻可能是负值,这表明该网络向其外部输出功率(如例2.13的情况)。

例2.11试求图2.23所示电路中的US。图2.23例2.11图

例2.12化简图2.24所示电路。图2.24例2.12图

解将0.4I与1kΩ并联的受控电流源等效变换成400I与1kΩ相串联的受控电压源,如图2.24(b)所示,其中U与I的关系为

令上式中的I=0,则U=16V就是电压源的开路电压UOC,该电压源的内阻为

据此关系式可得到等效电路如图2.24(c)所示。

例2.13求图2.25(a)所示电路的输入电阻Ri。图2.25例2.13图

例2.14求图2.26(a)所示电路中的电流I1及电压U。图2.26例2.14图

解将图2.26(a)所示电路等效成图2.26(b)所示电路,依图有

练习与思考

2.41求图2.27所示电路中的输入电阻Rab。图2.27题2.41图

2.42求图2.28所示电路中的输入电阻Rab。图2.28题2.42图

2.43图2.29所示电路中,能否将受控源3I1与10Ω电阻等效变换成一个受控电压源?如果可以,受控量I1应如何处理?图2.29题2.43图

小结

本章内容始终贯穿着“等效”这条主线,这是电路理论中一个非常重要的概念。两个结构和元件参数完全不同的电路“等效”,是指它们对外电路的作用效果完全相同,即它们对外端钮上的电压和电流的关系完全相同。因此将电路中的某一部分用另一种电路结构与元件参数代替后,不会影响原电路中留下来未作变换的任何一条支路中的电压和电流。据此便可推出各种电路的等效变换关系,从而极大地方便了电路分析和计算。

1.电阻串联电路

(1)流过各电阻的电流相同。

(2)等效电阻R等于各电阻之和,即

(3)电路的总电压等于各电阻上电压之和,即

(4)分压公式

2.电阻并联电路

(1)各电阻两端的电压相同。

(2)等效电导等于各电导之和,即

(3)电路中的总电流等于各电流之和,即

(4)分流公式

3.△↔Y

在等效原则下得出的△形和Y形电路的等效互换公式,使无源三端式电路的化简变得容易,特别是当△形或Y形电路的电阻相等时,使用公式

进行两种电路之间的相互变换尤显方便。

4.两种电源模型的等效变换

具有内阻的实际电源,可用电压源模型或电流源模型来表征,即两种电源模型对外电路可以等效互换。这样将使我们在求解电路时,思路更广阔,办法更多样。

5.受控源及其等效变换

受控源与独立源虽有本质区别,但既然也被称做电源,那么它们之间的等效互换与独立源完全相同,只需做到在整个变换过程中,控制量所在的支路保持不动即可。

习题2题

2.1电位计分压电路如图所示。已知输入电压Ui=20V,

R1=350Ω,Rp=200Ω,R2=450Ω,求输出电压Uo的变化范围。

2.2有一磁电式微安表,内阻为1500Ω,量程为100μA,今欲将其改装成量程为30V、100V的电压表(如题2.2图所示),求分压电阻R1和R2。题2.2图

2.3两电阻串联接到120V电源上,电流为3A;并联接到相同的电源上时,电流变为16A,求这两个电阻的值。

2.为4磁电式微安表量程为200μA,内阻1500Ω,若扩大其量程为I1=1mA和I2=5mA(如题2.4图所示),求分流电阻R1和R2的数值。题2.4图

2.5试通过计算证明图示两电路中