平面向量的基本定理及坐标运算讲义 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第第页课题：平面向量的基本定理及坐标运算知识点一：平面向量基本定理1．平面向量基本定理（1）定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2．（2）基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．单位向量定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量．设是非零向量同方向的单位向量，则或．2．向量平行的充要条件：与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得推论：的充要条件是存在实数使．要点诠释1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．典例强化例1．在三角形ABC中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0AB边的中点，点SKIPIF1<0F为SKIPIF1<0AC边的中点，SKIPIF1<0BF交SKIPIF1<0CE于点SKIPIF1<0G，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ＋μ＝________．例3．在中，，若，则的值为_________．举一反三1．如图，已知＝SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0，表示，则SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0－SKIPIF1<0SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．－SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0D．－SKIPIF1<0SKIPIF1<0－SKIPIF1<0SKIPIF1<02．在三角形 ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足，若，则的值为（）A．B．C．D．3．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1知识点二：平面向量的坐标表示与坐标运算1．平面向量的坐标表示:在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标．规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2．平面向量的坐标运算:（1）设=，=，则=．（2）设=，=，则=．（3）设，，则．（4）设=，，则=．（5）设=，=，则（斜乘相减等于零）．（6）设=，则||=．要点诠释1．两个向量平行（共线）的充要条件:（1）如果，则的充要条件是有且只有一个实数，使得（没有坐标背景）．（2）如果=，=，则的充要条件是(坐标背景)．2．三点共线的充要条件:（1）、、三点共线的充要条件是．（2）设、不共线，点、、三点共线的充要条件是．特别地，当时，是中点．典例强化例1．已知点SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0 例2．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例3．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知四边形SKIPIF1<0ABCD是平行四边形，=(1，-2)SKIPIF1<0，=(2，1)SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例4．已知向量=（2，6），=SKIPIF1<0，若||，则SKIPIF1<0．举一反三1．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2，5)三点共线，则m的值为()A．1 B．2C．3 D．42．已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________．3．设，是平面内一组基底，若λ1＋λ2＝0，则λ1＋λ2＝________．4．若＝(3，2)，－2＋4＝(－6，0)，则－2＝________．随堂基础巩固1．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则等于（）A．3B．﹣3C．D．4．已知向量，，且∥，则（）A．3B．C．D．5．三角形ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则等于（）A．B． C． D．6．如图，在中，=，点P是BN上的一点，若=+，则实数的值为（）A．1B．C．D．37．已知向量，，则当时，的取值范围是_________．8．△ABC中，||＝10，||＝15，∠BAC＝，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且，直线CD与BE相交于点P，则线段AP的长为_________．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．课时跟踪训练1．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量eq\f(1,2)的坐标是（）A．(－4，eq\f(1,2))B．(4，－eq\f(1,2))C．(－8，1) D．(8，1)2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝eq\f(1,2)，则P点的坐标为()A．(－8，1) B．(－1，－eq\f(3,2))C．(1，eq\f(3,2)) D．(8，－1)3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为()A．(2，eq\f(7,2)) B．(2，－eq\f(1,2))C．(3，2) D．(1，3)4．已知向量＝(1－sinθ，1)，＝(eq\f(1,2)，1＋sinθ)，且∥，则锐角θ等于（）A．30° B．45°C．60° D．75°5．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A．2 B．4C．6 D．86．直角坐标系xOy中，＝(2，1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A．1 B．2C．3 D．47．l1、l