平面向量的运算讲义 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第第页课题：平面向量的运算知识点一：向量加、减法运算及其几何意义1．向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．（1）向量加法的平行四边形法则；（2）向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和（3）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况．2．向量加法的性质：（1）向量加法的交换律：；（2）向量加法的结合律：；（3）．3．向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）．若则叫做的差，记作．4．求作差向量：已知向量，求作向量．作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量．要点诠释1．注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）．2．向量加减法运算的几何意义：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则典例强化例1．化简．AABCD例2．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（）A．B．C．D．例3．如图，AD，BE，CF分别是的中线，G为重心，且，试用，表示，举一反三1．设为所在平面内一点，则（）A．B．C．D．2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（）A． B．C． D．3．在中，，，，M为BC的组中点，则_______．（用、表示）知识点二：向量数乘运算及其几何意义1．实数与向量的积，定义：实数与非零向量的积是一个向量，记作．它的模与方向规定如下：（1）；（2）时，与方向相同；时，与方向相反；时，．特点：当时，与平行．2．实数与向量积的运算：结合律：；分配律3．共线向量定理：向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ．要点诠释1．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A、B、C共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))．（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1．2．共线向量定理应用时的注意点：（1）向量共线的充要条件中要注意“≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．典例强化例1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，=+，则λ等于()A． B．C．－ D．－例2．已知，设为实数，如果，那么为何值时，C，D，E三点在同一条直线上．举一反三1．已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在()A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上2．已知不平行，三点共线．3．在中，为边上一点，，，则为.随堂基础巩固1．在中，已知是中点，设，则=（）A．B．C．D．2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．B．C．D．3．已知向量，不共线，＝k+(k∈R)，＝－，如果∥，那么()A．k＝1且与同向B．k＝1且与反向C．k＝－1且与同向 D．k＝－1且与反向4．设D是△ABC所在平面内一点，且，设，则的值为.课时跟踪训练1．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．C．D．2．设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（）A．B．C．D．3．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=．③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．以上命题中，正确命题序号是（）A．①B．②C．①和③D．①和④4．设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A．B．C．D．5．已知和点满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．6．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且，则△ABC的内角A等于()A．30° B．60°