第01讲 基本立体图形、简单几何题的表面积与体积（原卷版）

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3基本立体图形命题点1结构特征例1．（1）下列说法正确的有（

）①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2）下列说法中正确的个数为（

）①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．A． B． C． D．（3）以下结论中错误的是（

）A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直（4）下列说法正确的是（

）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台D．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球命题点2直观图例2．（1）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（

）A．12 B． C．5 D．10（2）如图，△是水平放置的△ABC的直观图，其中2，，分别与轴，轴平行，则BC=（）A．2 B．2 C．4 D．（3）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（

）A． B． C． D．（4）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边与平行于轴.已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为__________.命题点3展开图例3．（1）已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为（

）A． B． C． D．（2）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（

）．A． B． C．3 D．2（3）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．（4）若圆锥的底面半径为3，体积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（

）A． B． C． D．（5）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．（6）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则______（7）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．二．表面积与体积命题点1表面积例4．（1）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（

）A． B． C． D．（2）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（

）．A． B．2 C． D．（3）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（

）（假设上、下底面圆是封闭的）A． B．C． D．（4）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________．命题点2体积例5．（1）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为，则该种胶囊的体积为（

）A． B． C． D．（2）已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（

）A． B． C． D．（3）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．三．与球有关的切、接问题命题点1简单几何体的外接球例6．（1）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．（2）若棱长均相等的正三棱柱的体积为，且该三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．（3）将长、宽分别为4和2的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．（4）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．命题点2简单几何体的内切球例7．（1）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（

）A． B． C． D．（2）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（

）A． B． C． D．（3）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A．eq\f(\r(6)π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(\r(3)π,3)（4）如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为，则球的体积为______．1．给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．下列说法错误的是（

）A．球体是旋转体 B．圆柱的母线垂直于其底面C．斜棱柱的侧面中没有矩形 D．用正棱锥截得的棱台叫做正棱台3．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（

）A． B． C．16 D．84．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A． B．2 C．4 D．5．如图正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？（

）A．4 B．8 C．12 D．166．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．7．用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（

）A． B． C．或 D．或8．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（

）A． B． C． D．9．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（

）A． B． C．4 D．10．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（

）A． B．3 C． D．11．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．12．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（

）A．1 B． C． D．13．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（

）A．B．C．D．14．已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为（

）A． B． C． D．15．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C．2 D．16．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．17．若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（

）A． B． C． D．18．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（

）A． B． C． D．19．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（

）A．B．C．D．20．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,设圆锥部分的高为米,圆柱部分的高为米,底面圆的半径为米,则该组合体体积为(

)A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米21．萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产､中国最大古树群落､国家AAAA级旅游景区､国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一庭院顶部可以看成一个正四棱锥，其底面四边形的对角线长是侧棱长的倍，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（

）A． B． C． D．22．已知圆台的上､下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上､下底面及母线均相切，则球的表面积为（

）A． B． C． D．23．已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（

）A．2：3 B．3：2 C． D．24．如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，，，则该屋顶的表面积为（

）A．100 B． C．200 D．25．如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（

）克.A． B． C． D．26．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨27．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（

） B． C． D．28．已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（

）A． B． C． D．29．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛30．（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（

）A．圆锥的高是 B．圆锥的母线长是4C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是31．（多选）已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（

）A．圆锥的体积为B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形D．圆锥的内切球表面积为32．（多选）如图，圆台O2O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（

）A．圆台的母线长为10B．圆台的侧面积为C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是433．(多选)沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（

）A．沙漏的侧面积是B．沙漏中的细沙体积为C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是837秒34．（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为35．已知表示水平放置的的直观图，且的面积是，则的面积是__________.36．如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，则原的周长是___________.37．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．38．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.39．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．40．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面