基于MATLAB的单摆运动概要

比较小时,其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时,即单摆在大摆角情况下运动时,这种近似已不再成立,其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下,最大摆角的取值不同,其中包括3°,5°,10°,10.75°,15°甚至20°就单摆问题而言，小球在来回摆动的过程中不仅受到外界阻力等环境影响，而且其摆动过程中的角度也是很难确定的（单摆在小于等于五度时才能验证其周期），这就为实际物理实验的展开制造了巨大的困难。本文将借助于MATLAB这个强大的数学软件,计算任意摆角下单摆运动周期的精确解,以消除摆角问题带来的误差；同时利用该软件,仿真出大摆角时单摆的运动情况,为单摆测重力加速度实验中大摆角问题的讲解提供较好的手段。通过本问题的模拟、仿真、分析为大学物理实验其它问题的求解提供借鉴。2.2算法基础2.2.1单摆运动周期单摆是一种物理模型。设质量为m、摆长为l的单摆在重力场中作无阻尼振动,由牛顿第二定律得,单摆的运动方程为：d2θdt当摆角θ较小时,sinθ与θ无限接近，方程(1)化简为：d2θdt+这是一个简单的谐振动方程,其解析解为：θ=Acos(cosω0t+ψ其中固定角频率ω0=gl；T0=2π当摆角较大时,这种近似sinθ=θ不再成立。公式(1)是一个非线性微分方程,其解析解很难求出。但是通过积分的方法,作变量代换,就可得到大摆角运动时单摆的周期的积分形式T=2T0π02πdϕ1-sin2.2.2单摆做简谐运动的条件在力学的实验中，我们讨论单摆只讨论它的小角度摆动,单摆在摆角很小（小于5º）的情况下，可以看作间谐振动。=1\*GB3①研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图1所示。图1单摆运动中力的分析②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G分解到速度ｖ的方向及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsinθ＝mgsinθＧ2＝Gcosθ＝mgcosθ。③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mgsinθ提供了摆球摆动的回复力。=4\*GB3④推导：在摆角很小时，sinθ＝回复力Ｆ＝mgsinθＦ＝mg·（ｘ表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）=5\*GB3⑤在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反，大小成正比，单摆做简谐运动。=6\*GB3⑥简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线。设摆线与垂直线的夹角为θ,在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。则摆的角速度为ω（角度θ对时间t的一次导数）,角加速度为α（角度θ对时间t的二次导数）。对摆进行力学分析，由牛顿第二运动定律，有：mlα=-mgsinθ即：α+lg令ω=(g/l)1/2,有：α+ω2sinθ=0当θ很小时，sinθ≈θ（这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因）这时,有：α+ω^2θ≈0该方程的解为：θ=Asin(ωt+φ)这是个正弦函数，其周期为:T=2π/ω=2πlgS三、基于MATLAB的问题求解3.1单摆大摆角的周期精确解利用MATLAB计算软件,对[0,π2]区间的θ0,每隔0.2827°计算一个积分值,得到2000个不同摆角的TT程序如下：%单摆周期与摆角的关系a=0;b=pi/2;n=1000;s1=1:n;h=(b-a)/n;h1=pi/(2*n);c=0:h1:pi/2x=a;s=0;fori1=1:(n+1)f0=2/sqrt(1-(sin(c(i1)/2))^2*(sin(x))^2)/pi;fori2=1:nx=x+h;f1=2/sqrt(1-(sin(c(i1)/2))^2*(sin(x))^2)/pi;s=s+(f0+f1)*h/2;f0=f1;enddisp(1/s);s1(i1)=s;s=0;endplot(c,s1);xlabel(‘theta0/rad’);ylabel(‘T/T0’);运行结果后,得图2。如图2所示，随着摆角的增大,单摆的运动周期T与T0比值TT0越来越大,TT0T图2单摆周期的精确解3.2、单摆仿真（动画）我们在实验室做实验时一般情况下过程相对比较麻烦，而且很多实验所需要的条件难以控制，为此有时我们可以利用动画来进行仿真模拟实验。本文用MATLAB软件来进行动画仿真，设计以MATLAB程序来模拟单摆的仿真（制作一动画实现单摆），并通过仿真来回摆动的时间来测出单摆的周期。通过Matlab的仿真既能把实验中需要设置的条件编写入程序中，又能减小实验带来的误差。降低实验难度。程序如下：%制作动画%挂摆横梁plot([-0.2;0.2],[0;0],'color','y','linestyle','-','linewidth',10);%画初始位置的单摆g=9.86;%重力加速度，可以调节摆的速度l=1;theta0=pi/4;x0=l*sin(theta0);y0=(-1)*l*cos(theta0);axis([-0.75,0.75,-1.25,0]);axis('off');%不显示坐标轴%创建摆锤head=line(x0,y0,'color','r','linestyle','.','erasemode','xor','markersize',40);%创建摆杆body=line([0;x0],[0;y0],'color','b','linestyle','-','erasemode','xor');%摆的运动t=0;dt=0.01;while1t=t+dt;theta=theta0*cos(sqrt(g/l)*t);x=l*sin(theta);y=(-1)*l*cos(theta);set(head,'xdata',x,'ydata',y);set(body,'xdata',[0;x],'ydata',[0;y]);drawnow;end模拟实验结果如图4、图5所示，分别对应了单摆运动位于左右位置的状况。图4大角度单摆运动模拟截图一（右侧位置）图5大角度单摆运动模拟截图二（左侧位置）3.3单摆仿真整个界面如下：代码如下：functionvarargout=SQ(varargin)gui_Singleton=1;gui_State=struct('gui_Name',mfilename,...'gui_Singleton',gui_Singleton,...'gui_OpeningFcn',@SQ_OpeningFcn,...'gui_OutputFcn',@SQ_OutputFcn,...'gui_LayoutFcn',[],...'gui_Callback',[]);ifnargin&&ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback=str2func(varargin{1});endifnargout[varargout{1:nargout}]=gui_mainfcn(gui_State,varargin{:});elsegui_mainfcn(gui_State,varargin{:});endfunctionSQ_OpeningFcn(hObject,eventdata,handles,varargin)handles.output=hObject;axis('off');guidata(hObject,handles);functionvarargout=SQ_OutputFcn(hObject,eventdata,handles)varargout{1}=handles.output;functionedit1_Callback(hObject,eventdata,handles)functionedit1_CreateFcn(hObject,eventdata,handles)ifispc&&isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunctionedit2_Callback(hObject,eventdata,handles)functionedit2_CreateFcn(hObject,eventdata,handles)ifispc&&isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end四、结论综合实验结果，结论如下：第一，如图2所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加，这样很简单地就明白了为什么用单摆测量加速度时要求单摆的摆角要小于5°。因此，借助MATLAB强大的绘图功能可以帮助学生更深入理解单摆大摆角运动下周期的变化规律。同时，如图3中两根曲线表明：大摆角振动时,单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线(虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,分离越明显。由于这种相似性,在粗略研究单摆运动时,方程(1)可以采用一种近似求解方法——余弦函数法将周期表示成如下方式T=2π其中θm第二，利用MATLAB语言对单摆动画仿真模拟的分析我们不难得出：在单摆设计和试验过程中，需要对单摆进行运动分析进而求得周期，而要将单摆摆动的角度限定在5°以内并不是很好控制，而在该运动范围内观察、记录其运动规律及全过程也非常复杂，如果运用手工计算不仅非常困难，而且极易出错，但是如若对这种复杂的系统进行仿真便能更好地解答在设计、制造、试验阶段以及其运行过程中出现的问题。因此可以利用MATLAB强大的数值计算能力和绘图能力以及强大的动画仿真功能，非常简便地解决单摆运动过程中大摆角导致的问题。这对于工科的物理实验教学提供了很多方便，同时也有利于学生深刻的理解单摆问题。在大学物理实验的很多问题都可以借助MATLAB的优点方便地五、课程体会通过这一学期的学习，我们认为MATLAB这一基于矩阵运算的软件，它具有强大的功能，比如：绘图，信号处理，自动控制原理，动态系统仿真，图像处理。虽然MATLAB和c++都是一种实用软件，但是相比之下MATLAB编程比c++较简单。所以大多数的科目都应用MATLAB来解决较难的问题。并且MATLAB作为一门实用工具它可以解决并应用在我们实际学习过程所遇到的难以解决的问题之中。因此，我们应该学习并熟练运用这门技术进而使得以后的学习更形象简单明理。而对于我来说通过对MATLAB课程的设计与实际运用，使我们不但熟悉了这门课程设计的流程，而且还掌握了许多MATLAB语言的基本语句，锻炼并提高了我们独立思考和查阅资料解决问题的能力！用MATLAB实时求解微分方程并形象化地展示其解，既增强了学生的临场感和参与感，而且能把抽象思维化为形象思维，有利学生建立清晰的物理图像，加深对理论的理解；它能使物理现象、物理过程得到充分的探讨，便于在教学中对物理问题开展拓展性、探索性研究，开拓学生的视野，活跃思维、激发学习兴趣，使学生在研究性的学习过程中自然地培养探索与创新的能力，提高教学效