2021年天津市东丽区中考数学模拟试卷（附答案）

绝密★启用前

2021年天津市东丽区中考数学模拟试卷（附答案）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

人☆bAc®

2.抛物线y=2--4x+l的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=—1

C.直线x=2D.直线x=—2

3.下列描述的事件为必然事件的是（）

A.汽车累积行驶10000km,从未出现故障

B.购买1张彩票，中奖

C.任意画一个三角形，其内角和是18（）。

D.明天一定会下雪

4.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

,1

A.X-X+—=0B.x2+2x+4=0C.x2-x+2=0D.x2-2x=0

4

5.已知。的半径是6cm,则。中最长的弦长是（）

A.6cmB.12cmC.16cmD.20cm

6.如图，AB是。的直径，点C在AB的延长线上，CD与。相切于点£>,若

C.34°D.44°

7.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽

AB=482m,则水的最大深度为()

16cmC.18cmD.20cm

8.将抛物线)，=/向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度，所得的抛物线

为()

A.y=(x+3)~+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5『+3

D.y=(x-5)~+3

9.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外

无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是()

211

A.-B.一C.-D.

3239

10.半径为3的正六边形的周长为()

C.更D.9y/3

A.18B.1873

4丁

11.国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业

务收入由5000亿元增加到7500亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均

增长率为X,则可列方程为()

A.5000(1+2x)=7500B.5000(1+%)2=7500

C.5000x2(1+x)=7500

D.

5000+5000(1+%)+5000(1+%)2=7500

12.如图，抛物线y=or2+法+4交y轴于点A，交过点A且平行于左轴的直线于另

一点、B，交x轴于C,。两点(点。在点。右边)，对称轴为直线x=*,连接AC,

2

AD，BC.若点8关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是

()

试卷第2页，总6页

B.AB^AD

D.OCOD=16

二、填空题

13.一元二次方程为2一2%=0的两根分别为.

14.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面向上的概率是.

15.如图，在用AABC中，NC=90°,AC=4,BC=3.若以4c所在直线为轴,

把AA6C旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于.

16.若抛物线y=3/-4x-左与x轴没有交点，则左的取值范围为.

17.如图，在ABC中，NB4C=108°,将A6C绕点A按逆时针方向旋转得到

△AB'C'.若点8'恰好落在边上，且AB'=CB',则NC'的度数为.

18.如图所示的扇形A08中，QA=OB=2,NAO8=90°,C为AB上一点、，

ZAOC=30°,连接BC,过C作Q4的垂线交A。于点。，则图中阴影部分的面积为

I),1

19.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6,随机

摸取1个小球然后放回，再随机摸取一个小球

(1)用画树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果;

(1)求两次抽出数字之和为奇数的概率.

三、解答题

20.解方程:

10x--5x—=x~-5xH—

66

21.如图，点E是正方形ABC。的边。。上一点，把ADE顺时针旋转ABF的位

置.

(1)旋转中心是点，旋转角度是度：

(2)若连结£尸，则AE尸是_____三角形，并证明你的结论.

22.如图，是半圆。的直径，C，。是半圆。上不同于A，8的两点，AC与BD

相交于点尸，BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

(I)若4)=8。，证：

(II)若BE=BF，NR4C=32°,求：的度数.

23.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量丁(千

试卷第4页，总6页

克）与销售单价X（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对

应值如下表所示：

销售单价X（元/千克）55606570

销售量y（千克）70605040

（I）求）’（千克）与X（元/千克）之间的函数表达式；

（II）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

24.已知，点。是等边A6c内的任一点，连接。A,OB,0C.

（I）如图1所示，已知NAOB=150°,ZBOC=120°,将80c绕点C按顺时针

方向旋转60°得ADC.

①求NDAO的度数：

②用等式表示线段。4,OB,OC之间的数量关系，并证明；

（H）设ZA08=a,4BOC=/3.

①当。，"满足什么关系时，Q4+Q8+O。有最小值？并说明理由;

②若等边ABC的边长为1,请你直接写出Q4+QB+OC的最小值.

25.如图，抛物线y=—f+2%+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A8,且

OA=OB,点G为抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；

（2）点为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单

位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点”,N之间（含点M,N）的一个动点，求点Q

的纵坐标几的取值范围.

试卷笫6页，总6页

参考答案

1.c

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断，即可得出结论.

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，准确理解定义的含义并能根据定义判断图形

形状是解题的关键.

2.A

【分析】

先确定抛物线了=2--4%+1中2、1?的值，再利用二次函数）；=⑪2+区+武。力0）的对

b

称轴直线x=——代入计算即可.

2a

【详解】

解：二•抛物线y=2/—4x+1中a=2,b=—4,

b-4

.••对称轴x=--=---------=1.

2a2x2

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数>=依2+法+或。工0）的对称轴直线

x=—=b是解题的关键.

2。

3.C

【分析】

根据必然事件与随机事件的定义分别对四个选项进行判断，即可得出结论.

【详解】

答案第1页，总18页

解：A.汽车累积行驶10000km,从未出现故障.是随机事件，故此选项不符合题意；

B.购买1张彩票，中奖.是随机事件，故此选项不符合题意；

C.任意画一个三角形，其内角和是180。.是必然事件，故此选项符合题意；

D.明天一定会下雪.是随机事件，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了必然事件，解题的关键是正确理解相关概念，并能根据事件发生的可能性准确判

断事件类型.

4.D

【分析】

逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论.

【详解】

,1

A.此方程判别式△=(-1)一-4xlx—=0,方程有两个相等的实数根，不符合题意；

B.此方程判别式A=22-4xlx4=-12<0,方程没有实数根，不符合题意；

C.此方程判别式△=(—l)2—4xlx2=—7<0,方程没有实数根，不符合题意；

D.此方程判别式△=(—2)2—4xlx0=4>0,方程有两个不相等的实数根，符合题意；

故答案为：D.

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根:

根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数

根.

5.B

【分析】

根据最长的弦是直径进行求解即可.

【详解】

解：•・,在圆中，最长的弦是直径，且。的半径是6cm,

O中最长的弦长=6x2=12cm,

故选:B.

答案第2页，总18页

【点睛】

此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解答此题的关键.

6.C

【分析】

连接0D,如图，根据切线的性质得NODC=90。，即可求得NODA=28。，再利用等腰三角

形的性质得NA=28。，然后根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】

连接0D,如图，

「CD与。0相切于点D,

A0D1CD,

，/ODC=90。，

AZODA=ZCDA-90°=118°-90°=28°,

VOA=OD,

AZA=ZODA=28°,

.*.ZC=180°-ZADC-ZA=180°-118°-28°=34°.

故选C.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的

半径，构造定理图，得出垂直关系.

7.B

【分析】

连接OB,过点。作OCJ_AB于点D,交。。于点C,先由垂径定理求出BD的长，再根据

勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长.

【详解】

解：如图所示：连接OB,过点O作OCLAB于点D,交。O于点C,

答案第3页，总18页

，BD=—AB=—x48=24cm,

22

VOO的直径为52cm,

OB=OC=26cm,

在RtAOBD中，OD=SB?-BO?=,262-242=]0cm,

:.CD=OC-OD=26-10=16cm.

故选：B.

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

8.D

【分析】

用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解.

【详解】

解：将抛物线y=f先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达

式为：y=(x-5)~+3.

故选：D.

【点睛】

主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:

左加右减，上加下减.

9.A

【分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是

其发生的概率.

答案第4页，总18页

【详解】

解：；一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，

,从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为9=2.

93

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件

A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=-.

n

10.A

【分析】

根据正六边形的半径等于边长进行解答即可.

【详解】

解：•.•正六边形的半径等于边长，

•正六边形的边长a=3,

正六边形的周长=6a=18.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径.

11.B

【分析】

设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,根据增长率的定义即可列出一

元二次方程.

【详解】

设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,

V2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，即2019年我国快递

业务收入为7500亿元，

,可列方程：5000(l+x)2=7500,

故选B.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程.

答案第5页，总18页

12.D

【分析】

由抛物线、=狈2+区+4交y轴于点A,可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点

B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段0C上，可知NAC0=NAC3,再

结合平行线的性质得出N84C=NACB,故AB=BC,从而可得AB=AD,过点B作BEJ_x

轴于点E,由勾股定理可得EC的长，则可得点C坐标，然后由对称性可得点D坐标，则

OC-QD的值可计算，由勾股定理可得AD的长，可得抛物线的表达式，根据以上计算或

推理，对各选项进行分析即可.

【详解】

,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A

r.A(0,4)

对称轴为直线x=*,AB〃x轴，

2

B(5,4),

故A选项不符合题意；

如图，过点B作BE±x轴于点E,

则BE=4,AB=5,

AB〃x轴，

ZBAC=ZACO,

点B关于直线AC的对称点恰好落在线段0C上,

/ACO=/ACB,

/BAC=NACB,

.♦.BC=AB=5,

在RSBCE中，由勾股定理得EC=3,

.•.C(8,0),

答案第6页，总18页

・・•对称轴为直线元=2

2

・•・D(-3,0),

•.•在RtZiADO中，0A=4,0D=3,

AD=5,

AB=AD

故B选项不符合题意：

设y=侬2+Zzx+4=a(x+3)(x-8),

将A(0,4)代入得4=a(0+3)(0-8)

1

Cl——,

6

故C选项不符合题意；

0C=8,0D=3,

/.OCOD=24

故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相

关性质并结合数形结合的思想是解题关键.

13.xi=0,X2=2.

【分析】

利用因式分解法求解可得.

【详解】

解:Vx2-2x=0,

/.x(x-2)=0,

/.x=0或x-2=0,

解得xi=0,X2=2.

故答案为：xi=0,X2=2.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平

答案第7页，总18页

方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

1

14.-

4

【分析】

根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到有两枚硬币全部反面向

上的概率.

【详解】

画树状图为：

正反

Z\/\

正反正反

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部反面向上的结果数为1,所以两枚硬币全部反

面向上的概率=’.

4

故答案为

4

【点睛】

本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性.

15.15%

【分析】

运用公式5（其中勾股定理求解得到的母线长/为5）求解.

【详解】

由已知得，母线长/=斤百=5,半径r为3,

圆锥的侧面积是s=7rlr=5x3x%=15万.

故答案为：15%.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解.

4

16.k<一一

3

【分析】

利用根的判别式b2-4ac<0可得关于k的不等式，求解即可得出k的取值范围.

【详解】

答案第8页，总18页

解：；抛物线y=3/-4%-左与x轴没有交点,

/.b2-4ac<0,

即(-4)2-4x3-(-k)<0,

4

解得k<一-.

3

4

故答案为：k<----.

3

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键.

17.24°

【分析】

根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解,

即可求出答案.

【详解】

解：设NC'=x°.

根据旋转的性质，得NC=NC=x。，AC-AC,A8=AB.

AB'B=NB.

,:AB'=CB',，ZC=ZCAB'=x0.

/.ZAB'B=ZC+ZCAfi'=2x°.

ZB=2x°.

,.,ZC+ZB+ZCAB=180°,ZR4C=108°,

/.x+2x+108=180.

解得x=24.

，ZLC的度数为24°.

故答案为24°.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.

I826

32

【分析】

先根据题目条件计算出OD,CD的长度，判断30。为等边三角形，之后表示出阴影面积

答案第9页，总18页

的计算公式进行计算即可.

【详解】

在RtCOD中，ZAOC=30\OC=OA=2

，CD=1,OD=6

<•,ZAOB=90°

，ZBOC=6Q°

'：OB=OC

30C为等边三角形

,•S阴即—Saco。+S扇形BOC-S&BOC

」x加1+小老旦2?

23604

_2^_V|

-1F

故答案为：生—立

32

【点睛】

本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键.

【分析】

(1)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单：使用树状图分析时,

一定要做到不重不漏.

(2)根据概率的求法，找准两点：第一点，全部情况的总数；第二点，符合条件的情况数目;

二者的比值就是其发生的概率.

【详解】

(1)根据题意，画树状图如下：

答案第10页，总18页

第一个数字456

/K/T\/K

第二个数字456456456

数字之和为8,9,10,9,10,11,10,11,12

由树状图可知，共有9种可能的结果.

(2)共有9种可能的结果，其中两次抽出数字之和为奇数(记为事件A)的情况有4种，

4

P(A)=g

_4

故答案为：一

9

【点睛】

此题考查用列表法或树状图法求概率，概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事

件的可能性相同，其中事件A出现m种结果

m

那么事件A的概率P(A)=—

n

20.x=±—

3

【分析】

原方程整理后运用直拉开平方法求解即可.

【详解】

解：10x"-5x—=x~-5xH—

66

移项，合并得，9/=1

方程两边同除以9得，?=-

9

开方得，.x=±-

3

【点睛】

此题主要考查了直接开平方法的应用，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

21.(1)A,90；(2)等腰直角，证明过程见解析.

【分析】

(1)根据旋转中心及旋转角的定义，即可得出结论；

答案第11页，总18页

(2)利用旋转的性质与正方形的性质，并结合等腰直角三角形的判定方法，即可判断出

△AEF的形状.

【详解】

(1)解：：四边形ABCD是正方形，

.,.ZBAD=90°,

「△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，

，旋转中心是点A,旋转角是NBAD=90。.

故答案为A,90.

(2)△AEF等腰直角三角形.

证明：:△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，

，AF=AE,NFAE=/BAD,

•••四边形ABCD是正方形

/.ZFAE=ZBAD=90°

.•.△AEF是等腰直角三角形

故答案为：等腰直角.

【点睛】

本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换及正方

形的性质.

22.(I)证明见解析；(II)NE45=32°

【分析】

(I)根据圆周角定理可得NAC5=N/M)5=9O°,因为AO=8C,AB^AB，即可证

明；

(II)根据等腰三角形的性质得到=根据切线的性质得到Z48E=90。,根据圆

周角定理得到NADB=90°,进而通过三角形的内角和的定义即可推出NE48的度数

【详解】

(I),/A3是半圆。的直径，

二ZACB=ZADB=90°,

在RtNCBA和RtNDAB中，

AD=BC

AB=AB'

答案第12页，总18页

RNCBAQRtVDAB；

(ID,:BE=BF，

，ZE=NBFE，

「BE是半圆。所在圆的切线，

,ZABE=90°,

二ZE+ZBAE^90°，

：A8是半圆。的直径，

:.ZACB=ZADB=90°,

：.ZDAF+ZAFD=90°,

,/ZAFD=ABFE,

•-ZAFD=ZE，

:ZDAF=90°-ZAFD,NBAF=90°-NE,

^ZDAF=ZBAF>

ZZMC=Z£AB=32°.

【点睛】

本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的找

准角度关系是解题的关键.

23.(1)y=-2x+180,(2)当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，

最大利润是800兀.

【分析】

(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

(2)依题意写出销售利润为w关于销售单价x的函数，要利用每件的利润乘以销售量可得

总利润w,然后根据二次函数的性质来进行计算即可.

【详解】

解：(1)设y与x之间的函数表达式为'="+%(攵。0),将表中数据(55,70)、(60,

60)代入得：

'55k+b=10

60攵+。=60'

答案第13页，总18页

，y与x之间的函数表达式为y=-2x+180；

(2)设当天的销售利润为w元，则：

w=(x-50)(-2x+180)

=-2(X-70)2+800,

丁-2<0,

...当x=7()时，w城大但=800.

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数

量关系是解题的关键.

24.(1)①90。；②线段OA,OB,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2,证明见试题解析:

(2)①当a=p=120。时，OA+OB+OC有最小值.证明见试题解析；②线段OA+OB+OC最

小值为百.

【分析】

(I)①首先作出旋转后的图形，根据旋转的性质确定四边形内角的度数，进而求出/DAO

的度数；

②作出辅助线，由旋转和全等的性质确定对应角和对应边相等，由此得出aOCD为等边三

角形，进而得出其边长和角的度数，从而判定△ADO中90。的角，进而根据勾股定理列式即

可；

(IIXD先旋转图形,连接00',确定全等三角形,写出其对应边和角的度数,进而判断^occr

为等边三角形，确定其角的度数进而证明四点共线，从而找到最小值；

(II)②求出△ABC边长为1时，表示OA+OB+OC的最小值的线段的长，即可得出答案.

【详解】

(1)①NAOB=150。，ZBOC=120°,

；・ZAOC=360°-120°-150°=90°,

・・•将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。得4ADC,

答案第14页，总18页

r.ZOCD=60°,ND=/BOC=120°,

，ZDAO=360°-ZAOC-ZOCD-ZD=90°,

故答案为90°；

②线段OA,OB,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2,

如图1,连接OD,

图1

VABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得4ADC,

.,•△ADC^ABOC,ZOCD=60°,

；.CD=OC,ZADC=ZBOC=120°,AD=OB,

.,.△OCD是等边三角形，

.\OC=OD=CD,ZCOD=ZCDO=60°,

VZAOB=150°,ZBOC=120°,

NAOC=90°,

AZAOD=30°,ZADO=60°,

.,,ZDAO=90°,

在RtAADO中，ZDAO=90°,

.,.OA2+AD2=OD2,

.*.OA2+OB2=OC2；

(2)①当a邛=120°时，OA+OB+OC有最小值.

如图2,

答案第15页，总18页

图2

将^AOC绕点C按顺时针方向旋转60。得4AVC,连接00，，

.•.△A'0'C四△AOC,/OCO'=/ACA'=60°,

，CTC=OC,CTA，=OA,A，C=BC,NAOC=NAOC.

/.△OC0,是等边三角形