（学生版）平面向量的数量积题型五：垂直关系专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2页，共17页《平面向量的数量积》题型五：垂直关系卷首导学本卷定位向量垂直的充要条件是数量积为零（），这是平面向量最核心的性质之一.本专题在月考、期中考试中几乎必考，常出现在选择题、填空题和解答题的证明环节，占比约10–15分.拿下垂直关系，等于打通了向量与几何结合的“任督二脉”.核心易错点混淆垂直条件与平行条件——平行是（坐标满足），垂直是（坐标满足）.两者公式完全不同，考场上一旦记混，满盘皆输.用坐标判断垂直时公式写错——常见错误：写成.正确是“横×横+纵×纵”，即.证明几何图形中的垂直关系时，向量选取不当——例如证明三角形的高，必须选底边向量与高所在的向量，不能随意选取两条边.由垂直求参数时，解出参数后忘记检验——若参数使某个向量成为零向量，垂直条件虽成立但无意义，此类增根必须舍去.训练目标能条件反射式地写出垂直充要条件.能熟练运用定义法或坐标法判断两向量是否垂直.能利用垂直关系求参数、证明几何结论.能区分垂直与平行的条件，避免概念混淆.建议用时：45–55分钟.使用说明：本卷题目围绕垂直关系的直接应用展开，不涉及最值、锐钝角排除等复杂问题.解答题需写出完整的向量表示和垂直条件推导过程.

试卷正文一、单选题（每题5分，共30分）1.设均为单位向量，则“”是“”的（） A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件2.已知平面向量.若，则的值为（） A.−1或3   B.1或−3   C.−1   D.33.已知向量，，，与的夹角为，若，则（） A.   B.   C.   D.4.设，，，若，则实数的值等于（） A.   B.   C.   D.5.已知向量，，若，则与之间的夹角为（） A.   B.   C.   D.6.已知向量，，，且，则实数（） A.2   B.1   C.−1   D.−2

二、填空题（每题5分，共20分）7.已知两个单位向量的夹角为，，若，则______.8.已知，且，则与的夹角的余弦值______.9.已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.10.在四边形ABCD中，已知，且.若，则与的值分别为______.（写出所有可能的解）三、解答题（共25分）11.（12分）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.已知四边形ABCD是菱形，，是其对角线.求证：.12.（13分）已知，与的夹角是. （1）计算； （2）当为何值时，？答案解析一、单选题1.【答案速览】C【详细解答】已知均为单位向量，即.由，两边平方得：.代入模长得：，化简得：，移项得：，即.所以.反之，若，则，代入上述平方展开式，两边相等，条件成立.因此两者是充分必要条件.【易错警示】常见错误①：两边平方时中间项符号出错.，.务必注意展开时系数和符号.常见错误②：只证明了充分性，未证明必要性，误选A.常见错误③：忘记单位向量的模长为1，代入时写错.【规律总结】证明向量垂直的充要条件问题，通常通过模长等式平方，转化为数量积为零，从而得到垂直关系.口诀：模等就平方，化简看数量积，为零则垂直.2.【答案速览】A【详细解答】由，得.坐标代入：，即，整理得，解得或.【易错警示】常见错误①：数量积坐标公式写错，写成了.正确是.常见错误②：解二次方程时因式分解错误.，解为3和−1.常见错误③：未检验两个解是否都使向量为非零向量.当时，，；当时，，.均有效.【规律总结】已知两向量坐标和垂直条件求参数，直接列方程，解出参数即可.若解出的参数使某一向量为零向量，则需舍去（本题无此情况）.3.【答案速览】A【详细解答】由与的夹角为，得.由，得.展开：.代入：，即，，解得.【易错警示】常见错误①：展开时系数出错..注意合并的系数为.常见错误②：记错，导致数量积算错.常见错误③：解方程时移项符号出错.【规律总结】已知夹角和模长，先用定义求数量积，再利用垂直条件列方程求解参数.这是定义法求垂直参数的典型路径.4.【答案速览】A【详细解答】由，，则.由，得，即，，，解得.【易错警示】常见错误①：向量加法坐标写错.，注意是横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标.常见错误②：数量积公式用错.，不要写成等.常见错误③：解方程时符号错误，得.【规律总结】坐标法判垂直，直接代入，一步到位.比定义法更简洁，无需考虑模长和夹角.5.【答案速览】A【详细解答】由，，且，得，解得.于是，.设与的夹角为，则.计算：.，.所以.由于，故.【易错警示】常见错误①：求出后直接选答案，忘记题目问的是与的夹角.常见错误②：计算数量积时，也可以用分配律：，这样更快且不易出错.常见错误③：求出余弦值后，写角度时误填或.【规律总结】先利用垂直条件求参数，再求两向量夹角，是常见综合题.垂直条件用来确定向量，夹角公式用来求角.注意：若，则，这为后续计算提供了便利.6.【答案速览】A【详细解答】由，，得.由，且，得：，即，，解得.【易错警示】常见错误①：向量数乘坐标写错.，注意两个坐标都要乘.常见错误②：数量积坐标公式写错，写成.常见错误③：解方程时移项出错，得，不要写成.【规律总结】坐标法处理垂直求参，直接写出向量坐标，代入，解方程即得.程序固定，不易出错.二、填空题7.【答案速览】2【详细解答】单位向量：，夹角，故.由，得.，，解得.【易错警示】常见错误①：数量积分配律用错.，不要漏掉系数.常见错误②：，不要写成.常见错误③：解方程时，得，若写成则得相同，但过程中符号要小心.【规律总结】已知垂直条件和向量线性关系求参数，直接代入数量积分配律展开，利用已知数量积和模长求解.关键步骤：展开分配律→代入已知值→解方程.8.【答案速览】【详细解答】由，得.展开：.已知，代入得，解得.设夹角为，则.【易错警示】常见错误①：展开时漏项..常见错误②：由直接写，忘记除以模长之积.模长之积是，.常见错误③：余弦值为，夹角为或，但题目只问余弦值，写出数值即可.【规律总结】已知垂直和模长求夹角余弦，先由垂直条件求数量积，再代入夹角公式.这是垂直与夹角的经典综合.9.【答案速览】【详细解答】由，得，为单位向量，故.由，得.展开：.代入：，解得.在方向上的投影向量为.【易错警示】常见错误①：展开时合并同类项出错.，中间项系数为−2.常见错误②：投影向量公式记错.在上的投影向量是，分母是不是.常见错误③：求出数量积为1后，直接写投影向量为或，未除以.【规律总结】本题综合了垂直条件求数量积、投影向量计算两个知识点.先利用垂直展开求，再代入投影向量公式.注意区分投影向量与投影数量.10.【答案速览】或【详细解答】由，故.由，得，即，化简得，即. ①，.由，得，即. ②将①代入②：，.展开：，.相加：，即，解得或.当时，；当时，.均满足题意.【易错警示】常见错误①：向量坐标计算错误.，注意顺序，不要漏加.常见错误②：平行条件坐标公式用错.，，共线条件为，即.注意符号.常见错误③：解二次方程时漏解，只写一组答案.【规律总结】向量法解四边形问题，先根据图中的向量关系表示出关键向量，再利用平行、垂直条件列出方程求解.这是向量在平面几何中的典型应用.三、解答题11.（12分）【答案速览】证明见解析.【详细解答】证明：设，.因为四边形ABCD为菱形，所以.由向量加法的平行四边形法则，..计算.因为，所以，即.因此，即.证毕.【易错警示】常见错误①：向量的表示选错.设，后，，.若写成则符号相反，但平方后结果相同，不影响结论.但严格来说应保持方向一致.常见错误②：忘记利用菱形的性质.这是证明的关键.常见错误③：数量积展开时符号错..【规律总结】用向量法证明几何中的垂直关系，标准步骤：①选定基底表示相关向量；②利用几何性质得出向量模长或数量积的已知条件；③计算目标向量的数量积；④得出数量积为零，下结论垂直.口诀：几何问题向量化，垂直就看数量积.12.（13分）【答案速览】（1）  （2）【详细解答】（1）由，夹角，.求.所以.（2）由