江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质分层作业新人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.［探究点一］若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为()A.4 B.5 C.6 D.72.［探究点一］若抛物线上有两点,，且垂直于轴，若，则点到抛物线的准线的距离为()A. B. C.2 D.3.［探究点一、二］设抛物线上一点到轴的距离为,到直线的距离为,则的最小值为()A.2 B. C. D.34.［探究点三］已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为()A.18 B.24 C.36 D.485.［探究点一］设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则，到该抛物线准线的距离为.6.［探究点四］已知点到点和到直线的距离相等，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线,，曲线与交于点,，与交于点,，试证明:.B级关键能力提升练7.设为坐标原点,为抛物线的焦点,是抛物线上一点,若,则点的坐标是()A. B. C. D.8.已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,（其中为坐标原点）,则与面积之和的最小值是()A. B.3 C. D.9.已知抛物线的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且,的面积为,则抛物线方程为()A. B. C. D.10.已知点是拋物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.为抛物线的焦点弦的中点，，，三点到抛物线准线的距离分别是，，，则有()A. B.C. D.12.（多选题）已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与交于,两点,,分别为过点,点向作垂线得到的垂足，且,为的中点，则下列结论正确的是()A. B.为等腰直角三角形C.直线的斜率为 D.的面积为413.已知抛物线的方程为,为坐标原点,,为抛物线上的点,若为等边三角形,且面积为,则的值为.14.直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则,.15.已知直线与抛物线交于,两点,且线段恰好被点平分.（1）求直线的方程.（2）抛物线上是否存在点和,使得,关于直线对称？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.16.如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，.（1）求的值；（2）连接，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.C级学科素养创新练17.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线,如图,一平行于轴的光线射向抛物线上的点,反射后又射向抛物线上的点,再反射后又沿平行于轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.3.3.2抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.A[解析]由题意，知抛物线的准线方程为，抛物线上一点到轴的距离为，则，点到抛物线的准线的距离为，点到抛物线的焦点的距离为4.故选.2.B[解析]由抛物线得，其准线方程为，垂直于轴，，点到轴的距离为，假设点在轴上侧，即，代入抛物线，求得，点到抛物线的准线的距离.故选.3.A[解析]由得,,故方程无实数解,直线与抛物线相离.又,而为到准线的距离,故为到焦点的距离,从而的最小值为到直线的距离,即,故的最小值为2.4.C[解析]不妨设抛物线方程为，依题意，轴，且焦点，当时，，，.又点到直线的距离为，故.5.;[解析]由已知得，把点坐标代入得，，，，故.6.（1）解点到点和到直线的距离相等，由抛物线的定义可知,点的轨迹是抛物线，设方程为，，.轨迹的方程为.（2）证明易知直线,的斜率均存在且不为0,设的方程为，代入抛物线方程，整理可得，设,的横坐标分别为,，则,，同理，可得，.B级关键能力提升练7.B[解析]由题意知,设,则,,由得,点的坐标为.8.D[解析]由题意可设直线的方程为,则直线与轴的交点为,则.设点,.把代入,可得,满足,则.,,从而.点,位于轴的两侧,,故.不妨设点在轴上方,则,又,,,当且仅当,即时,等号成立.与面积之和的最小值是.9.B[解析]设,则由得,即,则,则,则,解得,即抛物线的方程为.10.B[解析]由,得，焦点，准线,从而,如图所示.过点作于点,设.,,.结合图形知，当与抛物线相切时，最小，从而最大.设直线的方程为,由得,令,解得,不妨取,得点坐标为.设双曲线的方程为.在双曲线中,，即,,即,离心率.故选.11.B[解析]如图所示，根据题意，是梯形的中位线，故.12.AC[解析]由，得，即，焦点，准线.设直线的方程为，，.由得，，.从而，①.②又，，即.③将③代入①得，.将③代入②得，解得或（舍去）.,，即直线的斜率为，故正确；，，，从而，故正确；，,结合图形知不是直角三角形，故错误；,故错误.故选.13.2[解析]设,.,.又,,,即.又,与同号,.,即.根据抛物线对称性可知点,关于轴对称,由为等边三角形,不妨设直线的方程为,由解得,.的面积为,,解得,.14.2;1[解析]由题意知,从而,所以抛物线方程为.当直线斜率不存在时,代入,解得,,即,从而.当直线斜率存在时，设的方程为,显然,联立消去,整理得,设,,则从而.15.（1）解由题意可得直线的斜率存在,且不为0.设直线，,与抛物线方程联立消去,可得.判别式.设,,则有,由,得,所以直线的方程为.（2）不存在.理由如下，假设,两点存在,则可设,与抛物线方程联立,消去，得,其中,则.（*）又因为,所以的中点为,代入直线的方程,得,不满足（*）式.所以满足题意的,两点不存在.16.（1）解依题意，设的方程为，代入，得，从而.（2）证明设，，,设直线的方程为，代入，消去得，所以，同理，，由（1）知，所以为定值.