新教材2023-2024学年高中数学第2章平面解析几何初步2.7用坐标方法解决几何问题课件湘教版选择性必修第一册

第2章2.7用坐标方法解决几何问题课标要求1.理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题;2.掌握用解析法处理平面几何问题的方法.重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标重难探究·能力素养全提升探究点一用坐标方法解决几何问题【例1】

已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|=|BC|.分析根据题目所给几何图形的特征,建立平面直角坐标系,利用两点间的距离公式证明.证明以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).因为点M是BC的中点,变式探究本例中条件不变,试证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.证明如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点间距离公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.规律方法

建立平面直角坐标系的常见技巧(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上;(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑将其作为坐标轴;(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.[提醒]对于同一个问题,建立不同的平面直角坐标系虽然相关点的坐标不同,但是最后结果是一样的.探究点二构造圆的方程解题【例2】

如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为

m,行车道总宽度BC为

m,侧墙EA,FD高为2m,弧顶高MN为5m.(1)建立平面直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.分析根据题目特征,建立平面直角坐标系,求出圆弧所在的方程,根据方程特征求解.解得b=-3,r2=36.故圆的方程为x2+(y+3)2=36.(2)设限高为h,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5.将P的横坐标x=代入圆的方程,得()2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍去),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5

m.规律方法

解决直线与圆的实际应用题的步骤

变式训练1如图为一座圆拱桥的截面图,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为多少?解

以圆拱桥顶为坐标原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设圆心为C,圆的方程设为x2+(y+r)2=r2(r>0),水面所在弦的端点为A,B,则A(6,-2).将A(6,-2)代入圆的方程,解得r=10.则圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1

m后,设点A'(x0,-3)(x0>0),将A'(x0,-3)代入圆的方程,解得x0=.探究点三与圆有关的轨迹问题【例3】

设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.分析

设出点P的坐标,利用MONP为平行四边形,建立点P与点N之间的坐标关系,结合点N的坐标满足圆的方程,求得点P的轨迹方程.规律方法

求与圆有关的轨迹问题常用的方法:(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即可得动点P的轨迹方程.变式训练2已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(

)A.x2+y2=4 B.x2-y2=4C.x2+y2=4(x≠±2) D.x2-y2=4(x≠±2)C解析

设P(x,y).由题可得|PM|2+|PN|2=|MN|2,整理得x2+y2=4.因为M,N,P三点构成三角形,则x≠±2.所以直角顶点P的轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2).故选C.本节要点归纳1.方法归纳:建立平面直角坐标系,利用坐标法求解平面几何问题、实际问题中与圆有关的问题;根据动点满足的条件,利用定义法、相关点法等求动点的轨迹与轨迹方程.2.注意事项:建立直角坐标系时应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系;求解动点的轨迹问题应明确轨迹与轨迹方程的区别,以及轨迹中不符合题意的点要舍去.学以致用·随堂检测全达标12341.平面上到P(-2,1)的距离等于2的轨迹方程为(

)A.(x+2)2+(y-1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4D.(x-2)2+(y+1)2=4C解析

到点P(-2,1)的距离等于2的动点N(x,y)的轨迹方程为

整理得(x+2)2+(y-1)2=4,故选C.12342.点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则点P满足的方程是(

)A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2-2x+4y-5=0D.8x2+8y2+2x+4y-5=0A解析

设动点P(x,y),满足|PA|=3|PO|,即|PA|2=9|PO|2.又由O(0,0),A(1,-2)得(x-1)2+(y+2)2=9(x2+y2),整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.故选A.12343.平面上到两定点A(-1,1),B(3,4)距离的平方和为100的点的轨迹是(

)A.直线

B.线段C.圆

D.圆的一部分C解析

设动点的坐标为P(x,y),则|PA|2+|PB|2=100,即(x+1)2+(y-1)2+(x-3)2+(y-4)2=100,整理得x2+y2-2x-5y-=0.故所求点的轨迹是圆.12344.如图所