新教材2023-2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质课件湘教版选择性必修第一册

第3章3.2.2双曲线的简单几何性质课标要求1.掌握双曲线的简单几何性质;2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点双曲线的几何性质标准方程

=1(a>0,b>0)

=1(a>0,b>0)图象范围x≥a或x≤-a,y∈R

对称性对称轴:

.对称中心:

顶点(-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)y≤-a或y≥a,x∈Rx轴和y轴

原点

标准方程

=1(a>0,b>0)

=1(a>0,b>0)轴长实轴长=

,虚轴长=

渐近线y=±x

离心率e=(e>1)2a2b名师点睛1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.双曲线的离心率越大,它的开口就越大.3.等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其离心率过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(2)双曲线是轴对称图形.(

)2.等轴双曲线的渐近线有何位置关系?√√提示等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,它们互相垂直.重难探究·能力素养全提升探究点一根据双曲线的方程研究几何性质【例1】求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.分析

将双曲线方程化为标准形式后研究其几何性质.解

把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为

规律方法

1.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而研究双曲线的几何性质.2.把双曲线标准方程等号右边的1换成0,化简即可得到双曲线的渐近线方程.变式训练1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.又双曲线的焦点在x轴上,∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),探究点二根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程:规律方法

根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程的方法(1)一般用待定系数法设出方程,将性质转化为方程(组),求出a,b的值,结合焦点的位置,写出双曲线的标准方程,若焦点位置不确定,则需要分类讨论.(2)共渐近线的双曲线的方程的设法:②渐近线方程为y=±kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).③渐近线方程为ax±by=0(a≠0,b≠0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2);解

(1)由题意可设所求双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32.探究点三双曲线的离心率的求法角度1求离心率的值【例3】(1)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率e=

.

解析

由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又4|PF1|·|PF2|=9ab,所以9b2-4a2=9ab,即(3b-4a)(3b+a)=0,解得3b=4a(3b=-a舍去),规律方法

求双曲线离心率的两种方法

变式训练3D(2)已知△ABC为等腰直角三角形,若双曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,则该双曲线的离心率是(

)D解析

△ABC为等腰直角三角形,若双曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,角度2求离心率的取值范围【例4】设点P在双曲线

=1(a>0,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围是

.

规律方法

求双曲线的离心率的取值范围的方法(1)由题目所给条件充分利用平面几何关系,建立关于a,c的不等关系求解,如三角形的两边之和大于第三边等.(2)考虑平面几何图形的临界位置,建立关于a,c的不等关系求解.如利用焦点在x轴上的双曲线右支上的点P到左焦点F1的距离|PF1|≥a+c,点P到右焦点F2的距离|PF2|≥c-a.变式训练4CC解析

设P(x,y),则|x|≥a,由题意可得F1(-c,0),F2(c,0),探究点四直线与双曲线的位置关系【例5】已知直线l:y=k(x-1)与双曲线C:

=1相交于不同两点,求实数k的取值范围.分析

将直线方程代入双曲线方程消元后,结合判别式的符号求解.解

将y=k(x-1)代入3x2-4y2=12,消去y整理可得(3-4k2)x2+8kx-4k2-12=0,规律方法

直线与双曲线位置关系的判断方法把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考察方程的判别式.①当Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.②当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.③当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.变式训练5斜率存在的直线l过点(0,-1),l与双曲线C:

-x2=1有且只有一个公共点,则直线l的斜率为

.

解析

由题意,设直线l的方程为y=kx-1,代入双曲线的方程化简可得(k2-4)x2-2kx-3=0,当k2=4,即k=±2时,(k2-4)x2-2kx-3=0只有一解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠±2时,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=,此时方程有两个相等实数根,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点,所以k=±2或k=.本节要点归纳1.知识清单:双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等).2.方法归纳:求双曲线的几何性质需要将方程化为标准形式,根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时,一般利用方程思想结合性质求a,b,求双曲线的离心率的值(或取值范围)需利用条件建立a,c的关系式(或不等式).3.注意事项:双曲线的标准方程

=1(a>0,b>0)右边的常数1换为0,就是渐近线方程.反之,由渐近线方程ax±by=0(a≠0,b≠0)变为a2x2-b2y2=λ(λ≠0),再结合其他条件求得λ,可得双曲线方程.根据双曲线的性质求双曲线的标准方程,若焦点位置不确定,需要分类讨论.求离心率的值或取值范围不要忘记双曲线的离心率e>1.求解直线与双曲线有两个交点的问题,将直线与双曲线方程联立消元后一定要保证二次项系数不为0.学以致用·随堂检测全达标1234561.双曲线

-y2=1的顶点坐标是(

)A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)B解析

由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).1234562.双曲线2x2-y2=-8的实轴长是(

)B123456B123456D∴a2+3=4a2,∴a2=1,∴a=1.1234565.已知双曲线

=1(b>0)的虚轴长为2,其离心率为

.

1234566.已知双