新教材2023-2024学年高中数学第4章计数原理4.2排列第1课时排列的定义及排列数课件湘教版选择性必修第一册

第4章4.2第1课时排列的定义及排列数课标要求1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列;2.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明;3.能够利用排列知识求解一些简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点1排列的概念一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,按照

排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

m与n均是自然数,且m的值不能大于n

m个元素的所有排列中的一种情况

名师点睛1.排列的定义包括两个方面:①取出元素;②按一定的顺序排列.2.两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.一定的顺序

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.(

)(2)“从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法”属于排列问题.(

)2.同一个排列中,同一个元素能重复出现吗?×√提示不能.因为给出的n个元素互不相同,且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的.知识点2排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,所有

叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示

下标n不小于上标m排列数公式=

(n,m∈N+,m≤n)

全排列的概念从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列,叫作n个元素的一个全排列全排列公式=n(n-1)(n-2)·…·3·2·1阶乘的概念把

记作n!,叫作n的阶乘

不同排列的个数

n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)n·(n-1)(n-2)·…·3·2·1排列数的阶乘式阶乘式

=

(n,m∈N+,m≤n)

特殊情况=

,1!=

,0!=

名师点睛排列数

=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(m,n∈N+,m≤n)的公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数.n!11过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)排列数

(m,n∈N+,m≤n)表示共有m个数相乘.(

)(2)若a∈N+,且a<20,则(27-a)(28-a)·…·(34-a)可以表示为

.(

)2.排列与排列数有何区别?√×提示“一个排列”是指:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号

只表示排列数,而不表示具体的排列.重难探究·能力素养全提升探究点一简单的排列问题【例1】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数?(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.解

(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数.(2)

如图可得所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个.规律方法

在排列个数不多的情况下,树状图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树状图写出排列.变式训练1计算北京、广州、南京、天津4个城市相互通航的飞机机票的所有种数,并列举出来.解

4个城市相互通航的飞机机票的所有种数为

=4×3=12.列出每一个起点和终点情况,如图所示.故符合题意的机票种类有北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种.探究点二排列数公式分析

利用排列数的两个公式求解.(1)解

由题可得n(n-1)=7(n-4)(n-5),整理得3n2-31n+70=0.解得n=7或n=.∵n∈N+,∴n=7.规律方法

排列数的计算方法(1)排列数

中,当m的值较小时可以利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数.(2)涉及与排列数有关的证明问题,用排列数公式的阶乘形式较为方便,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.变式训练2探究点三简单的排列问题【例3】现有6个人要排成一排照相,按下列要求,各有多少种不同的排列方法?(1)排成一排;(2)6人排成前后两排,前排2人,后排4人;(3)6人排成前后两排,前排3人,后排3人.分析

根据排列的定义及排列的特征,结合排列数公式求解.解

(1)6人排成一排的所有的排列数为

=720种不同的方法.规律方法

无限制条件排列问题的求解方法求解决无限制条件的排列问题,首先应明确是否为排列问题,二是明确完成这件事是分类还是分步,还是既要分类又要分步.根据问题的需要直接列出排列数后求解.变式训练3(1)有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有多少种?(2)用1,2,3,4,5,6,7这7个数字可以组成多少个无重复数字的四位数?(2)用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成无重复数字的四位数,共有

=7×6×5×4=840个无重复数字的四位数.本节要点归纳1.知识清单:(1)排列的概念;(2)排列数与排列数公式.2.方法归纳:公式法求解排列数问题,列举法与树状图法求解排列问题.3.注意事项:排列与顺序有关,列举排列数时应做到不重复不遗漏;求解排列数问题,应恰当地选择排列数的两个公式;一般地排列数求值时,用连续的乘积关系式较为简单;涉及与排列数有关的证明问题,用排列数公式的阶乘形式较为方便.学以致用·随堂检测全达标1234561.已知

=20(n∈N+),则n的值为(

)A.4 B.5

C.6 D.7B解析

由

=20可得n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).故选B.1234562.(多选题)下列问题是排列问题的是(

)A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C.从a,b,c,d中选出3个字母D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数AD134563.17×16×15×…×8×7=(

)D2134564.将4本不同的课外读物分给4位同学,每人一本,则不同的分配方法有

种.

242解析

4本不同的课外读物分给4位同学,每人一本,不同的分配方法有

=4×3×2×1=24种.134565.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,则选派方案共有

种.

2102解析

4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,则所有不同的选派方案共有

=7×6×5=210种.134566.试用列举法列举出“由