新教材2023-2024学年高中数学第5章统计与概率5.1统计5.1.4用样本估计总体课件新人教B版必修第二册

第五章5.1.4用样本估计总体基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.会用样本的数字特征估计总体的数字特征.2.能用样本的分布来估计总体的分布.基础落实·必备知识全过关知识点1

用样本的数字特征估计总体的数字特征1.前提样本的容量恰当,抽样方法合理.2.必要性(1)在容许一定误差存在的前提下,可以用样本的数字特征估计总体的数字特征,这样能节省人力和物力.(2)有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本的数字特征估计总体的数字特征.3.误差估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性将越来越大.名师点睛用样本估计总体出现误差的原因样本抽取的方法不合适,导致代表性差;样本容量偏少等.4.一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出

对应的数字特征即可.

5.如果样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.条件假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为

,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为

,方差为t2结论如果记样本均值为

,样本方差为b2,则

=

,样本

名师点睛1.用样本估计总体的简单理解就是以样本的平均数、方差等数字特征来估计总体的平均数、方差等数字特征,即用样本来代替总体进行研究(以小窥大).2.样本的数字特征:最值、中位数、百分位数、平均数、方差、标准差等.最值是极端值,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.3.在刻画样本数据的离散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.极差反映了一组数据的变化幅度,方差或标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小,描述了数据的离散程度.4.用样本平均数和样本方差估计总体的平均数和方差可能出现误差,但大数定律可以保证,当样本容量越大时误差越小.大数定律(大数法则):大量的,在一定条件下重复的“随机现象”将呈现一定的规律和稳定性,这种稳定性即频率的稳定性和平均数的稳定性.过关自诊

某校从400名教师中抽取20名调查其一个月使用多媒体教学的情况,这20名教师一个月使用多媒体教学的次数用茎叶图表示(如图),据此可估计该校400名教师中,一个月使用多媒体教学次数在[16,30)内的人数约为(

)A.100

B.160

C.200

D.280B解析

由茎叶图知,样本中多媒体教学次数在[16,30)内的人数为8,频率为

=0.4,所以估计该校400名教师中,一个月使用多媒体教学次数在[16,30)内的人数约为400×0.4=160.故选B.知识点2

用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在每一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,(πi-pi)2不等于零.当样本的容量越来越大时,该式很小的可能性将越来越大.名师点睛1.如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话,样本的分布与总体分布会差不多.特别地,每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.2.如果容许有一定误差,则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且,在总体的分布不可能获得时,只能用样本的分布去估计总体的分布.过关自诊[2023安徽高一]一般情况下,用样本估计总体,下列说法正确的是(

)A.样本的结果就是总体的结果B.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态C.数据的方差越大,说明数据越稳定D.样本容量越大,估计就越精确D解析

对于选项A,样本的结果只能估计总体的结果,故A错误;对于选项B,标准差反映的是总体的波动大小,不能反映总体的平均状态,故B错误;对于选项C,方差越大,数据越分散,越不稳定,故C错误;对于选项D,样本估计总体分布的过程中,估计的是否准确只与样本容量在总体中所占的比例有关,样本容量越大,在总体中所占比例就越大,估计的就越精确,故D正确.故选D.重难探究·能力素养全提升探究点一用样本的数字特征估计总体的数字特征【例1】

甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克).甲:203

204

202

196

199

201

205

197

202

199乙:201

200

208

206

210

209

200

193

194

194(1)分别计算两个样本的平均数与方差.(2)从计算结果看,哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克?哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定?规律方法

研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题,先求平均数,比较一下哪一个更接近标准.若平均数相等,则再通过比较两个样本方差的大小来作出判断.在计算过程中,要仔细观察所给样本数据的特征,选择恰当的公式来计算平均数和方差,这样可避免计算的烦琐,降低错误率.变式训练1甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据如下(单位:cm).甲:99

100

98

100

100

103乙:99

100

102

99

100

100(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量比较稳定.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又

,故乙机床加工零件的质量比较稳定.探究点二分层抽样背景下的样本数字特征估计【例2】

工厂为了解每个工人对某零件的日加工量,统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本.抽到甲的一个样本容量为10,样本平均数为5,方差为1;乙的一个样本容量为12,样本平均数为6,方差为2.现将这两组样本合在一起,求合在一起后的样本的均值与方差.规律方法

样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.探究点三用样本的分布估计总体的分布【例3】

[2023上海高一专题练习]为了提高思想认识,某校开展了“学史明鉴、牢记使命”知识竞赛活动,从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图.(1)现将全体参赛学生成绩编号为001~950,使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三列开始从左往右抽,请写出前3个被抽到的样本编号;(2)试估计该校参赛学生在85分以上的人数;(3)求频率分布直方图中a的值,并估计该校此次参赛学生成绩的平均分(同一组数据用该组区间的中点值代表).附图:592260004984012866175168396829274377236627096623925809564389089046482834597434582977814964608925916853071733729829849526375159230388619114679054490400403616080655336993303570684571739718435701……解

(1)从给到的“随机数表”中从第二行第三列开始从左往右抽,依次是580,956,438,908,其中956不在给到的成绩编号001~950的范围内,故去掉,因此,前3个被抽到样本编号为580,438,908.(2)由频率分布直方图知样本中85分以上的频率为0.1,所以估计该校参赛学生在85分以上的人数为950×0.1=95.(3)由题意可知,10×(0.005+0.025+a+0.025+0.010)=1,解得a=0.035.因为

=50×0.05+60×0.25+70×0.35+80×0.25+90×0.1=71,故该校此次参赛学生成绩估计的平均分为71分.变式探究若本例条件不变,估计所有参赛学生的众数和中位数.解

众数为70.由频率分布直方图知,中位数落在65~75之间,设为x,则0.05+0.25+(x-65)×0.035=0.5,解得x≈71.规律方法

1.利用频率分布直方图估计数字特征:(1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数左右两侧直方图面积相等.(3)(其中pi为xi出现的频率).2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致.变式训练2已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从池塘中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000条,给每条鱼做上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机捕出1000条鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据绘制成如下所示的茎叶图.根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量.解

由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是x,则有

,即x==50

000,所以,可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均约为25

000条.成果验收·课堂达标检测1231.依据相关法律可知,车辆驾驶员血液中所含的酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车的28800人抽取1000人的样本进行血液检测,根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示,估计这28800人中属于醉酒驾车的人数约为(

)A.8640 B.5760 C.4320 D.2880C123解析

由图可知,血液中酒精浓度在80

mg/100

mL(含80)以上的频率为0.15.则醉酒驾车的人数约为28

800×0.15=4

320.1232.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为

;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为

小时.

501015

解析

第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1

020×0.5+980×0.2+1

030×0.3=1

015(小时).1231233.[2023云南曲靖高一月考]为普及航天知识,某校开展了“航天知识竞赛”活动,现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名,统计他们的成绩(满分100分),其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生,试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数.(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数.(3)若在抽取的60名学生中,利用分层