新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2导数与函数的极值最值分层作业课件新人教B版选择性必修第三册

第六章6.2.2导数与函数的极值、最值A级必备知识基础练123456789101112131415161718192021221.[探究点一(角度1)](多选题)[2023浙江宁波奉化期末]如图为函数f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是(

)A.f(x)在x=1处取得极大值B.x=-1是f(x)的极小值点C.f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增D.x=2是f(x)的极小值点BC12345678910111213141516171819202122解析

由函数f(x)的导函数的图象可知,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增,故C正确;x=2是f(x)的极大值点,故D错误;f(x)在x=1处取不到极值,故A错误.故选BC.123456789101112131415161718192.[探究点一(角度2)·2023陕西西安蓝田月考]函数f(x)=x2-lnx的极小值为(

)A.

B.1

C.0

D.不存在A123456789101112131415161718193.[探究点二]函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为(

)A.4e-1

B.1

C.e2

D.3e2C解析

∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.又∵当x∈[-2,1]时,ex+1>0,∴当-2<x<0时,f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)>0.∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.123456789101112131415161718194.[探究点二·2023山东枣庄市中校级月考]已知函数f(x)=x3-3x-1,若在区间[-3,2]上函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=(

)A.-22 B.-20 C.-18 D.-16C解析

因为f(x)=x3-3x-1,所以f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x>1或x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-1<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故函数在[-3,-1]上单调递增,[-1,1]上单调递减,[1,2]上单调递增.因为f(-1)=1,f(2)=1,f(1)=-3,f(-3)=-19,故M=1,N=-19,则M+N=-18.故选C.123456789101112131415161718195.[探究点三·2023江苏南京建邺校级开学考试]已知函数f(x)=ex-x2-ax(a∈R)有两个极值点,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,1) B.(0,1) C.[0,1] D.(1,+∞)D解析

函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-x-a.令h(x)=ex-x-a,则h'(x)=ex-1.当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,故x=0时,h(x)取得唯一极小值,也是最小值h(0)=1-a.当x→+∞时,h(x)→+∞;当x→-∞时,h(x)→+∞.若要使f(x)有两个极值点,则h(x)有两个变号零点,故1-a<0,即a>1.故选D.123456789101112131415161718196.[探究点三]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=

.

-2解析

∵f'(x)=3x2+2ax+b,解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.123456789101112131415161718197.[探究点三]若函数f(x)=x2-x+alnx有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是

.

123456789101112131415161718198.[探究点三]函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为

.

-71解析

f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).令f'(x)=0,得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.123456789101112131415161718199.[探究点二·2023江苏常州天宁校级期中]函数f(x)=xcosx-sinx在区间[-π,0]上的最大值为

.

π解析

由f(x)=xcos

x-sin

x,得f'(x)=cos

x-xsin

x-cos

x=-xsin

x.当x∈[-π,0]时,sin

x≤0,所以f(x)=-xsin

x≤0,则f(x)在[-π,0]上单调递减,所以f(x)max=f(-π)=π.1234567891011121314151617181910.[探究点四·2023贵州模拟]若不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,则实数a的取值集合是

.

解析

因为x>1,所以x-1>0.令t=x-1,则t>0,故不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,可以转化为at≥ln

t对任意t>0恒成立.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181911.[探究点二]设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.(1)讨论f(x)的单调性;1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819B级关键能力提升练12.(多选题)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是(

)A.f(x)没有零点 B.f(x)没有极值点C.f(x)有极大值点 D.f(x)有极小值点ACD解析

令f(x)=0,解得x=ln

2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,C,D选项不正确.故选ACD.1234567891011121314151617181913.函数f(x)=4x-lnx的最小值为(

)A.1+2ln2 B.1-2ln2C.1+ln2 D.1-ln2A1234567891011121314151617181914.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2,其导函数f'(x)满足

>0,若函数g(x)满足exg(x)=f(x),则下列结论错误的是(

)A.函数g(x)在(2,+∞)上单调递增B.x=2是函数g(x)的极小值点C.当x≤0时,不等式f(x)≤2ex恒成立D.函数g(x)至多有两个零点C12345678910111213141516171819f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在(2,+∞)内单调递增,选项A正确;当x<2时,f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,故x=2是函数y=g(x)的极小值点,故选项B正确;由y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,则y=g(x)在(-∞,0)内单调递减,若g(2)<0,则y=g(x)有2个零点,若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点,故选项D正确.故选C.1234567891011121314151617181915.已知函数f(x)=+2lnx,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是

.

[e,+∞)12345678910111213141516171819于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.12345678910111213141516171819当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.1234567891011121314151617181917.[2023浙江开学考试]已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当a=0时,f(x)=(x+1)ln

x,f'(x)=ln

x+1+,f'(1)=2,f(1)=0,则切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.12345678910111213141516171819记μ(x)=x2+(2-2a)x+1,Δ=4a(a-2).①当0≤a≤2时,Δ≤0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.②当a<0时,2-2a>0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.③当a>2时,Δ=4a(a-2)>0,设μ(x)=0的两根为x1,x2,不妨设x1<x2,则x1+x2=2a-2>0,x1x2=1,则0<x1<1<x2,所以当x∈(1,x2)时,μ(x)<0,即h'(x)<0,则h(x)在(1,x2)内单调递减,又h(1)=0,则当x∈(1,x2)时,h(x)<0,矛盾.综上所述,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].1234567891011121314151617181918.已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.C级学科素养创新练解

(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.12345678910111213141516171819所以g(x)在(0,2)内单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718191234567891011121314151617181919.[2023上海静安二模]已知函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx(其中a为常数).(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a<0时,求函数y=f(x)的最小值;(3)当0≤a<1