新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题分层作业课件新人教B版选择性必修第三册

第五章6.3利用导数解决实际问题A级必备知识基础练12345678910111213141516171.[探究点二]某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)(

)A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18A12345678910111213141516172.[探究点三]现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为(

)A.20π

B.24π

C.28π

D.32πB123456789101112131415161712345678910111213141516173.[探究点三·2023山西高二月考]一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为(

)A1234567891011121314151617解析

设四棱锥为P-ABCD,如下图所示.设四棱锥的高为PO,取边BC的中点M.设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长PB==5-x,所以0<x<5,所以PM2=(5-x)2-x2.1234567891011121314151617设f(x)=-x6-10x5+25x4(0<x<5),则f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),12345678910111213141516174.[探究点一]根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2(x-50)2,其中20<x<50.已知该商品的成本为20元/件,则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为(

)A.8600元 B.8060元C.6870元 D.4060元B1234567891011121314151617解析

设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)[

+2(x-50)2]=60+2(x-20)(x-50)2,20<x<50,f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)·(x-20)]=6(x-30)(x-50),令f'(x)>0,得20<x<30,则f(x)在(20,30)内单调递增;令f'(x)<0,得30<x<50,则f(x)在(30,50)内单调递减,所以f(x)的最大值为f(30)=8

060.故选B.12345678910111213141516175.[探究点三]已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是(

)A解析

如图,△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,设OE=x(0<x<3),123456789101112131415161712345678910111213141516176.[探究点二]已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以

千米/时的速度运行时,成本最省.

1234567891011121314151617解析

由已知机车以速度v匀速运行,设甲、乙两站相距s千米,总成本为y元,12345678910111213141516177.[探究点一]某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中3<x<6,当销售价格为

元时,商场每日销售该商品所获得的最大利润为

元.

4211234567891011121314151617解析

设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=[

+5(x-6)2](x-3)=5x3-75x2+360x-539(3<x<6),则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-6),令L'>0,得3<x<4;令L'<0,得4<x<6,所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减,所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.12345678910111213141516178.[探究点二·北师大版教材习题]某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为4800m3,深为3m.如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池能使总造价最低?1234567891011121314151617所以当x∈(0,40)时,y'<0,当x∈(40,+∞)时,y'>0,当x=40时,函数取得最小值,最小值为2

880.即当水池池底的长、宽均为40

m时,总造价最低.12345678910111213141516179.(2023四川宜宾高县校级期中)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是(x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕(

)A.8万千克

B.6万千克C.3万千克

D.5万千克B级关键能力提升练B1234567891011121314151617当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(0,6)内单调递增,在(6,8)内单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.123456789101112131415161710.

如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10m,AB=8m的仓库,则当总造价最低时,PO=(

)B1234567891011121314151617解析

如图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.1234567891011121314151617123456789101112131415161711.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2,则该商品零售价定为

元时利润最大,利润的最大值为

元.

3023000解析

设该商品的利润为y元,由题意知,y=Q(p-20)=-p3-150p2+11

700p-166

000,则y'=-3p2-300p+11

700,令y'=0得p=30或p=-130(舍),当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,因此当p=30时,y有最大值,ymax=23

000.123456789101112131415161712.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是

.

1234567891011121314151617123456789101112131415161713.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为

千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本)

251234567891011121314151617解析

设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)1234567891011121314151617123456789101112131415161714.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为

.

解析

设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,∴AB=a,SO=h.∵SO⊥底面ABC,AB⊂底面ABC,∴AB⊥SO,SO⊥OD.又AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.又SD⊂平面SOD,∴AB⊥SD,12345678910111213141516171234567891011121314151617当0<h<2时,S'<0,当h>2时,S'>0,故S在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时123456789101112131415161715.[2023江苏盐城月考]某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三栋楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三栋楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路AE和防腐木路DE,如图,已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:元/千米,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值.12345678910111213141516171234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617所以f(θ)的最小值为4a.答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.123456789101112131415161716.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本商品当年能全部售完.(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3≈20)1234567891011121314151617解

(1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.1234567891011121314151617∴当7≤x<e3时,p(x)单调递增,当x≥e3时,p(x)单调递减,∴当x=