第4章-直线与平面的相对

基本要求（一）平行问题

1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；

2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题

1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。

2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题

1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；

2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。

第1页/共43页4-1直线与平面平行•两平面平行一、直线与平面平行几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。二、平面与平面平行几何条件若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。第2页/共43页一、直线与平面平行若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行第3页/共43页[例题1]试判断直线AB是否平行于定平面fg

f

g结论：直线AB不平行于定平面第4页/共43页[例题2]试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面b

a

af

fbP55例4-104-11第5页/共43页二、两平面平行

若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行EFDACB

当两平行平面均垂直于投影面时,两平面的集聚投影相互平行,反之成立.第6页/共43页[例题3]试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行第7页/共43页[例题4]已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k第8页/共43页[例题5]试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行第9页/共43页4-2直线与平面的交点、两平面的交线一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、特殊位置线面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交第10页/共43页一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA第11页/共43页M二、平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL第12页/共43页三、特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交第13页/共43页b

ba

acc

m

mnn

直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。kk

第14页/共43页判断直线的可见性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。第15页/共43页()

求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。k21k'2'1'第16页/共43页四、一般位置平面与特殊位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。一般位置平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性第17页/共43页一般位置平面与特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf第18页/共43页判断平面的可见性结果P60例4-12第19页/共43页五、直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点

示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图判别可见性

示意图第20页/共43页1

2

以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图第21页/共43页ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图第22页/共43页12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。k

k2

示意图第23页/共43页CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图第24页/共43页f

e

e直线EF与

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

34示意图(

)2

1

第25页/共43页直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影点。判别可见性Ⅳ第26页/共43页六、两一般位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,

因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线

示意图判别可见性例题6第27页/共43页

两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图第28页/共43页两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL第29页/共43页利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()3421()1

2

第30页/共43页[例题6]试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。第31页/共43页分析过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH第32页/共43页作图m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。P62例4-13第33页/共43页4-3直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直

几何条件

定理1

定理2

例题7

例题8二、两平面垂直

几何条件例题12

例题13第34页/共43页直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。第35页/共43页定理1若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。knk

n

第36页/共43页定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。第37页/共43页[例题7]平面由

BDF给定，试过定点K作平面的法线。a

cac

n

nkk

第38页/共43页h

[例题8]试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhh

h

（a）（c）（b）P63例4-144-15第39页/共43页两平面垂直的几何条件

若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD第40页/共43页

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两