《探究与发现为什么截口曲线是椭圆》教学设计(部级优课)x-数学教案

为什么截口曲线是椭圆教学内容解析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它也是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。而《为什么截口曲线是椭圆》虽是课后的探究与思考，但是在历年高考及各种习题中屡次出现考察立体几何与平面几何交汇的题型，其实质考察的就是对圆锥曲线的认识。我们很多学生只是知道椭圆、双曲线、抛物线这一章节叫做圆锥曲线，却没有从真正意义上去了解为什么它们叫圆锥曲线。今天这节课就是想通过一系列的探究与实物及动画演示，让学生真正明白圆锥曲线的意义，也为今后的立体几何与平面几何交汇的题型打下基础。教学目标：1.了解椭圆的截面定义，理解椭圆是圆锥曲线的一种。2.引领学生以欣赏的态度完成Ddendlin的证明过程，通过猜想类比归纳解决平面与圆锥的截口曲线问题。3.应用截口曲线的结论解决相关问题,强化对截口曲线结论的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性，提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申，精心设计，引导学生学习解题的方法及联想、类比、猜想、证明等合情推理方法。4.借助多媒体及实物辅助教学，激发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中，努力培养学生敢想、敢说、敢于探究发现创新的精神。学生学情分析：对于高二的学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，能解决一些基础的题型。但是在立体几何与平面几何的交汇题型上相对还是比较不熟悉，希望通过今天的探究学生能掌握一定的结论，恰当地使用结论，那么这种题型定可以以简驭繁。教学策略分析：由于这部分知识较为抽象，难以理解，如果离开感性认识，学生很容易陷入困境，降低学习激情。在教学中，我先通过生活现象引起学生兴趣，再通过还原数学家Dandelin发现证明的现场，小组讨论，多媒体展示，实物显示等多种教学手段，有意识地引导学生探究发现。Dandelin双球证明应该证明的先是平面与圆锥的问题，但是在学生认知理解上，平面与圆柱的问题更简单一点，所以这节课先对平面与圆柱的问题进行探究发现，再让学生讨论探究发现平面与圆锥的截口曲线问题，做到了由浅入深。在例题之前，也先引入了小题预热，让学生不至于在理论与实践的跨越上感觉困难。教学重点：使学生正确理解圆锥与圆柱的截口曲线是椭圆教学难点：Ddendlin双球证法的理解、利用所得的结论解决相关问题教学过程（一）、处处留心皆学问情景一：用杯子喝水，问学生杯子的形状。把杯子看成是一个圆柱体，水面看成是一个平面去截这个圆柱，我们把截面与圆柱侧面的交线叫做截口曲线（动画演示）问一：什么时候截口曲线是圆？（学生：截面与圆柱底面平行的时候。）问二：不平行的时候大家猜想是椭圆，那你有办法证明吗？椭圆的定义是什么？定值问三：如果要证明它的确是椭圆，那么我们需要找到什么确定的元素？1.两个定点2.定值。（二）、拨开云雾见天日其实啊，很早以前，有个优秀的数学家Dandelin也遇到了这样的疑问。他在在座的宝宝们一样风华正茂，有着远大理想和追求。他立志要把他看到的形状证明为椭圆。突然有一天，一个小孩玩的小球吸引了他。他就不经意地往自己的圆柱里面放了一个小球。这一放，他恍然大悟，赶忙又放了一个球。两个球分别置于平面两侧，如图所示。于此同时，他不禁感慨：哎呀，我怎么这么优秀呢！请问同学们，他到底发现了什么竟然有这般感慨。我们来看下多选题。四个同学一组讨论，最后每组派一个代表起来回答。两个球好漂亮啊两个球与截面有两个切点球可以与圆柱侧面以及截面同时相切发现了一个新的圆柱，圆柱的母线长相等。过球外一点作球的切线，所有切线长相等。A看起来也是正确的，但是它不足以构成优秀。B.两个球与平面两个切点，如图所示。C.加问1：如果圆柱以及截面确定了，两个球的半径确定吗？两个球的大小一样吗？两个球与圆柱侧面交线的形状是？D.球与圆柱的两条切线所在的平面与圆柱侧面构成了一个新的圆柱E.初中的时候我们学过圆的切线长定理，也就是一个点到圆的两条切线长是相等的。那么现在一个点到球的切线长我可否也用这个方式证明是相等的？动画演示。由他的发现你能得到哪些猜想？两个切点就是两个焦点。那么我需要在截口曲线上找一个任意的点，连接，也就是说我现在需要证明定值，在这个立体几何图像里你能找到某条定长线段吗？圆柱的母线就是定值。好，那么就过点作一条母线，问一：如果确定那么这条母线唯一吗？问二：如果在动，母线的长度变吗？答：不变。也就是接下来如果我能证明就可以咯？如何证明？学生答：板书演示：看来你们的猜想是正确的哦。得出结论：一个平面去截圆柱，若这个平面与圆柱的底面不平行，则形成的封闭的截口曲线就是椭圆。情景二：用手电筒垂直照黑板，观察手电筒在黑板上的形状，叫学生上台演示不一样的形状。把黑板看成是一个平面，手电筒的光线看成是圆锥的侧面。我们能否证明用平面去截圆锥，截口曲线也是椭圆呢？（动画演示，小组讨论）寻找顶点：即为两个球与截面的切点。定值：由构成的圆台的母线放两个小球，大小不一样，分别位于截面两侧。这两个小球和圆锥侧面切于两个圆，与截面相切于两个点，取截口曲线上任意一点，过点作新圆台的母线为一个定值，是从出发的两条切线，因此，同理。所以（定值）得出结论：一个平面去截圆锥，若这个平面与圆锥的底面不平行，则形成的封闭的截口曲线就是椭圆。咸以躬行实践先终于拨开了云雾见到了天日，Dandelin赶脚自己年轻了十岁。这说明数学让人快乐。古语云：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。其实啊在我们历年的高考题中，也屡次出现考察截面的习题。而掌握了这些结论，就代表我们已经马甲在身，就等着各位上实战了。在上大战场之前，我们先来一个热身。小题预热：下列旋转方式形成什么图形？，绕着旋转一周，形成的曲面是什么形状平面上一条直线，求这个平面上到距离为定值的点的轨迹一条直线，求到距离为定值的点的轨迹解析：1.形成圆锥的侧面2.平面图形，两条平行线3．空间图形，两条平行线旋转一周成圆柱的侧面应用：判断曲线的形状例题：（2015浙江文科）如图一，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支图一解析：根据题意，为定值，可得构成以为轴线的圆锥侧面，点的轨迹是此圆锥侧面与平面的交线，因为，所以母线与轴的夹角为，截面与线段夹角为，则截面与圆锥底面不平行且形成一个封闭的曲线。所以的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义。可知动点的轨迹是椭圆。

图二跟踪演练1、（2008浙江理科）如图二，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积是定值，则动点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行线解析：根据题意，是定值，的面积是定值，则到的距离为定值，由小题预热3易得构成以为轴线的圆柱侧面，点的轨迹是此圆柱侧面与平面的交线，所以选椭圆。四、横看成岭侧成峰（2015年浙江文科改编）斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支通过动画的演示，随着变化变化引起轨迹的变化，猜想截面不一定就是椭圆，引发大家思考。实物演示用平面截圆锥得到的截口曲线。多媒体展示，告知结论，保留解释。希望大家可以继续将探究精神发扬光大。五、课堂总结：①一个平面去截