三角比-01教案(任意角及其三角比)

第1讲：任意角及其三角比【知识网络】１．任意角的概念与弧度制；２．任意角三角比定义；３．同角三角比的关系；４．诱导公式．【典型例题】［例1］(1)设，且的终边与角的终边相同，则＝____答：1提示:与角终边相同的角的集合是(2)如果是第一象限角，那么①,②,③,④中恒成立的有_____个。答：1提示:利用三角函数线知②总成立.(3).若tanα＝3，则=_______答：提示:用公式(4)已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的弧长为；面积为．答：㎝,㎝2提示:利用弧长公式及扇形面积公式,注意圆心角的单位化为弧度(5)已知．答：提示：利用诱导公式［例2］若，求（1）的值；（2）的值．解（1）（2）原式［例3］若的值．解：［例4］已知．化简；若是第三象限的角，且，求的值；若，求的值．解：（1）（2）（3）【课内练习】1．第_______象限答：四.提示；由，可得２．已知，且是第二象限角，则应满足的条件是______.答：.提示：由可得．３．已知=_________答：.提示：４．设是第三象限角，且是第_______象限的角答：二.提示：由设是第三象限角知是第二、四象限角，再由可得５．函数满足．答：提示：６．若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是；．答：提示：由对称性知，角的终边与的终边相同７．已知．答：提示：将分子１写成然后用弦化切可得８．已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值．解：由题意，得故角是第二或第三象限角．当，点P的坐标为，当，点P的坐标为，９．已知：是三角形的内角，若的值．解；由解得或所以所以10．已知关于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=，∴cosα=sinβ∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥∴当m∈R，方程恒有两实根.又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=∴由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=()2解得m=±当m=时，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，满足题意，当m=－时，cosα+cosβ=＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.综上，m=【课后巩固】A组１．若的终边所在象限是第_______象限 答：四.提示：可得２．y=的值域是________ 答：{－1,3}提示：讨论角ｘ在四个象限的情况 ３．若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)=________ 答：－提示：４．计算．答：提示：利用诱导公式５．已知角的终边上一点Ｐ与点Ａ关于ｙ轴对称，角的终边上一点Ｑ与点Ａ关于原点对称，那么的值等于．答：０提示：由题设条件求出点Ｐ、点Ｑ的坐标，从而依正弦函数的定义求、６．已知sin（3π＋θ）＝，求的值．解：sin（3π＋θ）＝－sinθ，∴sinθ＝－原式＝＝＝＝32７．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α=60°.∴A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}其中最大的负角为－300°（当k=－1时）绝对值最小的角为60°（当k=0时）８．已知是方程的两个根中较小的根，求的值．解：由题意知：，解得，故 当时，原方程为，解之得故，所以当时，原方程为，解之得故，所以B组1．已知点在第一象限，则在内的取值范围是______.答：.提示：由。２．如果满足条件，则所在象限是________.答：第二象限的角。提示：可得．３．＝_____________.答：sin2+cos2.提示：及可得４．已知：．答：提示；由是第四象限角，所以５．在直角坐标系中，O为坐标原点，角和的终边为OA和OB，OA过点M，OA与OB关于直线对称，则角的的集合是；．答：提示；OB过点，的终边为OB６．已知是方程的两个根，求和的值．解：是方程的两个根解得７．若k∈Z，求证：＝－1．证明：【法一】若k为偶数，则左端＝＝－1，若k为奇数，则左端＝＝－18．已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S∵c=2R+l，∴R=(l＜c)则S=Rl=×·l=(cl－l2)=－(l2－cl)=－(l－)2+∴当l=时，Smax=答：当扇形的弧长为时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是.补充1.已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，求α的弧度数。解：由三角比的定义和诱导公式知tanα＝eq\f(-2cos3,2sin3)＝－cot3＝－tan(eq\f(π,2)－3)＝tan(3－eq\f(π,2))因为α为锐角，即α∈(0,eq\f(π,2))，而3－eq\f(π,2)∈(0,eq\f(π,2))，所以α＝3－eq\f(π,2)2.已知角α的终边与eq\f(2π,3)的终边关于y轴对称，且α∈(－2π,2π)，求α解：如图，据题意知：与eq\f(2π,3)的终边关于y轴对称的锐角是eq\f(π,3)，与eq\f(π,3)终边相同角的集合是{β|β＝eq\f(π,3)+2kπ,k∈Z}由－2π<eq\f(π,3)+2kπ<2π(k∈Z)解得k=-1,0所以α＝－eq\f(5π,3)或α＝eq\f(π,3)3.如图，已知扇环ABCD的两条弧长分别是l1,l2,两条直边的长为d，求扇环的面积。解：设OA＝r，则OB＝r+d因弧l1,l2所对圆心角都为α，所以有eq\f(l1,r+d)＝eq\f(l2,r)，解得r＝eq\f(l2,l1－l2)d所以扇环面积＝扇形1面积－扇形2面积＝eq\f(1,2)(r+d)l1－eq\f(1,2)rl2＝eq\f(1,2)[(eq\f(l2,l1－l2)d+d)l1－eq\f(l2,l1－l2)d·l2]＝eq\f(1,2)(l1+l2)d4.解不等式组eq\b\lc\{(\a\al(tanx≤\r(3),sinx<\f(1,2)))解法提示：借助三角函数线，寻找公共部分。5.已知θ为第二象限角，化简eq\f(1,cosθ\r(1+tan2θ))+eq\f(2cotθ,\r(csc2θ－1))(－3)6.已知sinα＝eq\f(4－2m,m+5)，cosα＝eq\f(m－3,m+5)，α为第四象限角，求tanα(－eq\f(12,5))7.已知3sinα＝－4cosα，求eq\f(sin2α－cos2α,1+cos2α)(eq\f(7,34))8.已知sinα+cosα＝eq\f(1,2)，求⑴sinαcosα;⑵sin3α+cos3α;⑶tanα+cotα;⑷tan2α+cot2α(⑴－eq\f(3,8)⑵eq\f(11,16)⑶－eq\f(8,3)⑷eq\f(46,9))9.已知sinα+cosα＝eq\f(1,5)，0<α<π，求cosα－sinα(－eq\f(7,5))10.是否存在实数k和锐角α，使得sinα、cosα是方程4x2-4kx+2k-1=0的两个根，若存在，求出k和α的值；若不存在，请说明理由。(k=eq\f(1+\r(3),2),α=eq\f(π,3)或eq\f(π,6))11.已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cos2α(1或eq\f(3,8))12.如果α是锐角且满足logeq\s\do3(tanα+cotα)sinα＝－eq\f(3,4)，求logeq\s\do3(tanα)cosα(eq\f(1,2))13.若sinα、cosα是方程2x2－(eq\r(3)+1)x+m=0的两个根，求eq\f(sinα,1－cotα)+eq\f(cosα,1－tanα)及m的值(eq\f(1+\r(3),2),eq\f(\r(3),2))14.若cos2α+2msinα－2m－2<0，对于α∈R恒成立，求实数m的取值范围[m∈(1－eq\r(2),+∞)]15.已知tan(π－α)＝a2，|cos(π－α)|＝－cosα，求eq\f(1,cos(π+α))的值(当a≠0时，原式＝eq\r(1+a4)，当a＝0时，原式＝1；综上，原式＝eq\r(1+a4))16.已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求eq\f(sin(π－α)+5cos(2π－α),2sin(\f(3π,2)－α)－sin(－α))的值(－eq\f(3,4))17.已知sinβ＝eq\f(1,3)，sin(α+β)＝1，求sin(2α+β)的值(eq\f(1,3))18.求cos10+c