B题高等教育学费标准探讨国家二等奖

高等教育学费标准探讨摘要本文对高等教育学费标准进行了全面深入的探讨，根据初期对问题的分析，对中国统计年鉴上的数据进行了选取，同时为了方便计算和提高精细度，将各项经费生均化。根据处理的数据，充分考虑培养费用、政府拨款、学校自筹、社会捐赠、全国平均家庭收入、人均储蓄余额对高校学费的影响，建立了时间序列模型、多元线性回归模型、灰色预测、主成分分析、加权平权模型。模型一，考虑学费中短期变化趋势，利用时间序列分析分别对近几年全国高校、地方属高校、中央属高校的学费进行预测，该模型可在一定程度上反映学费的变化趋势。模型二，根据题中所提示的教育经费构成，建立以培养费用、政府拨款、学校自筹、社会捐赠为变元的多元线性回归模型。观察数据，由于社会捐赠在每年的取值中有较大的随机性，为了保证模型精度，将此变量排除。求得回归系数，经过显著性分析，发现多元线性回归模型能够比较精确地反映学费的数值。模型三，利用灰色预测模型高精度，挖掘数据信息能力强的特点，对学费进行预测，通过检验，得出的结果比时间序列的预测结果更可信。模型四，在已有4个因素的基础上，考虑学生家庭的经济承受能力，另外加入全家平均收支和年末存款两个因素，利用主成分分析法，定性地分析各因素对于学费的影响大小，最后得到的结果显示，社会捐款对学费的影响最小，可以排除，这也证明了在模型二中，我们排除有较大随机性的社会捐款因素的合理性。模型五，把保证教学质量与学生经济负担综合考虑，在如何将学费与家庭经济水平的关系量化的问题上引入公式：学费=平均家庭收入×15%+年末存款×10%结合由多元线性回归模型所确定的学费建立加权平衡模型。合理假设，取平均权值为，便得到了对教学质量和学生家庭经济承受能同等重视的数学模型。我们可以通过该模型对过去学费是否合理进行判定，也通过带入各项因素的预测值确定将来的合理学费。观察全国高校、中央部属高校、地方属高校的因素影响度数据，预测影响度变化趋势，对其作横向纵向比较，总结规律发现各类学校的影响度差异，找到原因为有关部门提出了合理学费的标准，以及稳定学费的建议。关键词：时间序列；线性回归；灰色预测；主成分分析；加权平衡；影响度

高等教育事关人才培养、国家创新能力增强以及和谐社会建设等诸多方面，意义重大，因此受到社会各界的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的核心指标，不同的学科、专业在设定不同目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对于适合接受高等教育却经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还可以享受政府、学校、企业等给予的奖学金。学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，同时却十分复杂、敏感。一方面，过高的学费会使很多学生无力支付；另一方面,过低的学费又无法保证财力不足学校的教学质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈讨论。请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，请根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。2.1数据方面解决本题的第一步是收集数据，由于数据收集途径有限，公布数据的类型、单位存在差异等问题，往往需要对原始数据进行初步处理（如：统一单位、数据整合、公式运算、近似替代等），才能得到适合计算的数据。因此，数据的收集以及处理是解决本题的重要步骤。题目要求对学费标准分专业或学校类型进行定量分析，由于收集的数据有限，本文仅对中央属高等院校、地方属高等院校两类大学的学费以及全国所有大学的平均标准进行分析，并对它们之间的差异进行了讨论和总结。2.2模型一分析考虑到学费的短期变化趋势可以利用时间序列分析对学费进行预测，根据中国国家统计年鉴，提取了全国所有高校，中央属高等院校，地属高等院校，在1998-2005年的学费数目，建立时间序列ARIMA（1,1,1）模型，短期内能在一定程度上预测学费的变化。2.3模型二分析通过资料和经验可知，学费同学生教育经费、财政拨款、学校自筹、社会捐赠的关系可用多元线性回归模型来刻画、分析。以教育经费、财政拨款、学校自筹、社会捐赠的数额为回归变量建立多元线性回归方程，并利用整理后的数据求解回归系数。在求解回归方程之后，进行显著性检验，并对结果进行误差分析，从而说明对该问题建立多元线性回归方程的合理性。2.4模型三分析学费与学生教育经费，财政拨款，学校自筹，社会捐赠的之间并不能完全视为线性关系。考虑到灰色预测具有高精度，挖掘数据能力强的特点，因此我们选用灰色新陈代谢GM（1,1）模型，对学费进行预测。2.5模型四分析虽然从构成上分析，我们可以将学费同学生教育费用财政拨款学校自筹，社会捐款联系起来，同时为考虑学生家庭承受能力，我们又引入家庭平均收入，年末存款作为学费决定因素之一，但我们为了方便分析和考虑实际控制学费时的可操作性，我们希望定性地排除一些影响不大的因素，运用主成分的方法，我们排除了社会捐款这一因素。2.6模型五分析在考虑保证学校教学质量的同时，一个合理的学费标准也应当考虑学生家庭的经济承担能力，现在的问题是如何将家庭的经济能力同学费标准定量地联系在一起。通过查阅资料。我们知道它们之间存在如下关系：学费=家庭收入×15%+年末存款×10%代表在一定的家庭经济条件下，所对应的合理学费标准。定量关系确定后，我们将学校教学质量需要同家庭经济承受能力综合考虑，将由两者确定的学费值加权求和，暂时将权值均设为，表示对两者同等重视。由此建立模型，确定学费标准。即我们得到了一个确定合理的学费标准的数学模型。原始数据从《中国统计年鉴》中可得到如下原始数据：A．1998-2005年普通高等学校教育经费收入情况。分别反映全国所有高校、中央属高校、地方属高校的教育经费收入情况。B．1998-2005中央属、地方属高校在校学生数。C．1998-2005年全国普通高等学校生均教育经费支出统计。分别反映全国所有高校、中央属高校、地方属高校的生均教育经费支出情况。D．1998-2005年普通高等学校在校学生数。E．1998-2005人均收入及恩格尔系数。F．1998-2005中国人口情况。G．1998-2006全国人均储蓄余额。数据的选取高等院校基本情况根据上面的分析可知，我们的子模型1中将仅考虑学费同学生教育经费、财政拨款、学校自筹、社会捐赠的关系因此首先从原始数据表中提取出以下数据：表地方属高等院校基本情况年份政府拨款（亿元）学校自筹收入（亿元）捐集资收入（亿元）本年实际收取学杂费（亿元）生均培养费用（元）在校学生人数（个）1998126003419991650983200023124245052001216312335620023223981715200346071342004530291120055205956808表中央属高等院校基本情况年份政府拨款（亿元）政府可控的总教育经费（亿元）学校自筹收入（亿元）捐集资收入（亿元）本年实际收取学杂费（亿元）生均培养费用（元）在校学生人数（个）1998897461319994010734382000202975676200111203882002126060720031513652152004144383920051528611表全国高等院校基本情况年份政府拨款（亿元）政府可控的总教育经费（亿元）学校自筹收入（亿元）捐集资收入（亿元）本年实际收取学杂费（亿元）生均培养费用（元）在校学生人数（个）199854340900019994134000200043355610002001719100020029034000200311086000200413335000200578015618000家庭经济情况的原始数据由题意学费的制定也应该考虑到学生家庭的经济承受能力，因此我们提取出一下数据以确定国民平均家庭经济状况：表国民平均家庭经济状况年份城镇人均收入（元）农村人均收入（元）城镇人口（万人）农村人口（万人）总人口（万人）全国人均储蓄余额（元）19982162416088315312476142811999437488203812578647402000628045906808371267435074200148064795631276275780200250212782411284536766200352376768511292278018200454283757051299889197200510493562127454413075610787数据的处理高等院校基本数据的处理观察高等院校基本数据发现，除生均培养费的单位为元以外，其他经费的单位均为亿元。为方便计算，同时也为了保证计算的精度将上述经费按学生人数平均化，结果如下表：表3.5全国高等院校经费情况（单位：元）年份生均培养费用生均政府拨款生均学校自筹收入生均捐集资收入学生学杂费19981999200020012002200320042005表3.6中央属高等院校经费情况（单位：元）年份生均培养费用生均政府拨款生均学校自筹收入生均捐集资收入学生学费1998199920002001125765922002200320042005表3.7地方属高等院校经费情况（单位：元）年份生均培养费用生均政府拨款生均学校自筹收入生均捐集资收入学生学杂费19981999200020012002496200320042005家庭收入、人均收入的确定通过城镇、乡村的人均收入和人口数，确定全国人均收入水平。同时假设每个家庭人数为3，计算家庭收入。结果如下表：表3.8家庭收入年份全国人均收入（元）全国家庭平均收入（元）199819992000200120022003200420054．符号说明生均培养费用生均的政府拨款数生均学校自筹收入生均社会捐集收入学生学杂费学生学费考虑学校教学的学生学费考虑家庭经济状态的学生学费家庭平均收入年末存款5．模型假设①学费占学杂费的40%②学生家庭按一家三口计算③假设学费仅由培养均用，政府拨款，学校自筹收入，捐集资收入决定6．模型的建立模型一：短期预测模型——时间序列ARIMA（）模型[1]本模型根据中国国家统计年鉴提取了1998年至2005年相关数据，以中央学费为例分别用Xt(t=1998,……2005)表示Step1.绘制时序图：如图所示图6.1Step2.时序图显示该序列有着显著的线性增长趋势，不能认为它是均值不变的平稳过程需要用式（1）描述：（1）其中Gt表示Xt中随时间摘要化的线性趋势，Yt表示Xt中剔除线性趋势后余下部分认为其是均值平稳过程.获得观察值序列获得观察值序列分析结果差分运算拟合ARMA模型NNYY平稳性检验白噪声检验图6.2ARIMA模型操作流程通过SAS系统中arima程序，可预测2006-2010年的各项数据：表6.1全国高等院校时间序列的预测数据年份生均培养费用人均政府拨款人均学校自筹收入人均捐集资收入学生学费全国家庭平均收入（元）全国人均储蓄余额（元）1998428119994740200065250742001578020026766200380182004919720051078720062007200820092010表6.2中央属高等院校时间序列的预测数据年份生均培养费用人均政府拨款人均学校自筹收入人均捐集资收入学生学费19982419992000200120022003200420052006200712479.1200820092010表6.3地方属高等院校时间序列的预测数据年份生均培养费用人均政府拨款人均学校自筹收入人均捐集资收入学生学费19982199920002001200220032004200520062007123200820092010模型二：多元线性回归模型[2]基于所得数据可以看出，社会捐款相对于生均培养费用、财政拨款、学校自筹款有非常大的随机性，故在考虑学生学费与这些变量之间关系时暂剔除社会捐款的影响，建立多元线性回归模型如下：，在全国高等院校范围内，可用程序@1求解，运行后结果可以整理如下表：表6.4全国高等院校回归系数回归系数回归系数估计值回归系数置信区间[2973.918110288.5888][-0.07110.2767][-1.3342-0.7172][0.23421.4023]=0.9812F=69.4482p=0.0007在中央属高等院校范围内，可用程序@2求解，运行后可得：表6.5中央属高等院校回归系数回归系数回归系数估计值回归系数置信区间[-16411.168812336.9182][-0.90021.1334][-3.26790.7024][-0.22644.5295]=0.8863F=10.39792p=0.0233在地方属高等院校范围内，可用程序@3求解，运行后可得：表6.6地方属高等院校回归系数回归系数回归系数估计值回归系数置信区间[-33066.090619157.8214][-0.94332.5457][-2.21150.4816][2.38705.2899]=0.9567F=29.4516p=0.0035模型的显著性检验——决定系数和F统计量主要是检验该模型是否一定与回归变量有密切关系，即是否具有的关系。又总的偏差平方和为S=Q+U，其中Q为残差平方和，反映的是随机误差和其他未加控制的因素所引起的误差；U为回归平方和，是由回归变量引起的误差。故而现在主要考虑U，则复相关系数（决定系数）为：.用的大小来评价模型的有效性，越大，则反映了响应变量与回归变量之间的关系密切，反之亦然。在以上各表中，值分别为98.12%，88.63%，95.67%.可知该模型的有效性较高。若假设Y不依赖于回归变量，则可设为常数，等同于假设条件。则可以构造如下统计量其中-1为回归平方和的自由度，为残差平方和的自由度。=3，对于该模型，取=0.05，由统计数据可得，无论在全国高等院校范围内或是在中央属高等院校、地方属高等院校范围内都有，且又因为：全国高等院校中央属高等院校地方属高等院校F比较易得对于任一均有>。由此说明应拒绝假设，模型拟合良好，模型整体有较好的显著性。模型三：基于灰色预测的等维灰数递补模型灰色GM(1,1)预测模型[3]7-12：GM(1,1)的原始数据列为其相应的微分方程为。记为参数向量的元素，即。模型求解的基本步骤为：（1）原始数据累加生成，得到式中,(t＝1,2，…，n)（2）构造累加矩阵B与常数项向量即（3）用最小二乘法求解灰参数,则（4）将灰参数代入时间函数，则（5）对(1)(t)求导还原得到或（6）计算x(0)(t)与(0)(t)之差及相对误差。（7）利用模型进行预测从GM(1,1)灰色预测模型公式中可以看出，它是一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，在GM(1,1)灰色预测模型的基础上还可以做进一步的改进，使得预测结果更加的精确。GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据x(n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、老数据除掉的数据列，由于其维数不变，因而叫等维信息数据列，相应的模型即为等维灰数递补模型。表6.7全国高等院校灰色预测的预测数据年份生均培养费用人均政府拨款人均学校自筹收入人均捐集资收入学生学费全国家庭平均收入（元）全国人均储蓄余额（元）199842811999474020005074200115445780200267662003801820049197200510787200612323200714256200816514200919117201022131表6.8中央属高等院校灰色预测的预测数据年份生均培养费用人均政府拨款人均学校自筹收入人均捐集资收入学生学费1998199920589.98200020011257620022003200420052006200720082009292010表6.9地方属高等院校灰色预测的预测数据年份生均培养费用人均政府拨款人均学校自筹收入人均捐集资收入学生学费19981999292120002001200220032004200520062007200820092010模型四:主成分分析[4]学费主要由生均培养费用，人均政府拨款，人均学校自筹收入，人均捐集资收入，家庭收入所决定，这些指标之间大多存在着显著的相关关系，本文试借助于主成分分析方法找出个数比原指标少，其彼此之间无相关性且能反映原来储多指标所提供主要信息的新的指标，为学费的标定提供参考。利用已得数据以中央为例和SAS软件得到如下结果：相关矩阵的特征值及贡献率表例出了5个主成分的特征值和贡献率。从中前两个为95.7%，也就是前两个主成分反映了各个量所包含信息的95%以上，由此前两个主成分所包含信息，便可以用来作为反映学费的指标，且比较理想。表6.10各个主成分的特征值和贡献率主成分12345特征值贡献率25.3%2%0.9%0累计贡献率95.7%99.9%100%主成分议程及意义与前两个主成分特征根对应的特征向量列于表表6.11前两个主成分的因子负荷学费指标主成分1(z1)主成分2(z2)生均培养费用(X1)生均政府拨款(X2)生均学校自筹收入(X3)生均捐资收入(X4)家庭收入(X5)则有：由、所占的累积贡献率，知综合评分为：可见学费主要由生均培养费用、生均政府拨款、生均学校自筹收入、家庭收入所决定，此与事实相符。模型五：加权平衡模型将保证学校教学质量与学生家庭经济承受能力综合考虑,得:①由假设学费占学杂费的40%确定②考虑家庭经济能力的学费标准Z2,由资料知③暂定表示对以上两者同等重视于是代入数据，结果如下：表6.12全国高等院校学费年份学杂费Y学费Z1学费Z2学费Z19981999200020012002200320042005表6.13中央属高等院校学费年份学杂费Y学费Z1学费Z2学费Z19981999200020012002200320042005表6.14地方属高等院校学费年份学杂费Y学费Z1学费Z2学费Z199819992000200120022003200420057．因素影响的定量分析根据模型五，分别定量地分析学生培养费用、政府拨款、家庭平均收入的变化对学费制定的影响，计算以上各因素每增长1%所引起的学费变化量以及变化率。定义后者为影响度结果如下：表7.1地方属高等院校因素影响度年份学费Z1每增加1%生均培养费所增加的学费每增加1%生均政府拨款所减少的学费学费Z2（元）每增加1%家庭收入所增加的学费Z2（元）学费Z每增加1%生均培养费所增加的学费百分数每增加1%生均政府拨款所减少的学费百分数1998199920002001200220032004200520062007200820092010表7.2中央属高等院校因素影响度年份学费Z1每增加1%生均培养费所增加的学费每增加1%生均政府拨款所减少的学费学费Z2（元）每增加1%家庭收入所增加的学费Z2（元）学费Z每增加1%生均培养费所增加的学费百分数每增加1%生均政府拨款所减少的学费百分数每增加1%家庭收入所增加的学费Z2百分数1998199920002001200220032004200520062007200820092010表7.3全国高等院校因素影响度年份学费Z1每增加1%生均培养费所增加的学费学费Z2（元）每增加1%家庭收入所增加的学费Z2（元）学费Z每增加1%生均培养费所增加的学费百分数每增加1%生均政府拨款所减少的学费百分数1998199920002001200220032004200520062007200820092010针对上述结果，我们将培养费用、政府拨款、家庭平均收入，三因素影响度纵向、横向比度得出如下规律：①总体上，三种因素的影响度都有逐年减小的趋势，原因在于学费的每年的增长比三种因素的变化大。②对于三个因素发现政府拨款的影响度下降最快，家庭平均收入的影响度下降最慢。③综合三个表格，发现三个因素中发挥主导作用的先是政府拨款，之后慢慢地变为家庭平均收入。④政府拨款对于中央属高等院校的学费，影响一直占主要地位，反映了国家对于中央属高校的大力扶持。⑤与其他类似学校相比，学生培养经费，对地方属高校的影响最大，原因在于国家对地方高校的扶持力度不够，地方高校学费，便主要被培养经费影响。基于以上分析，建议国家a.从长远角度来看，家庭收入是学费稳定的主要因素，因此发展生产力提高人均收入将成为稳定学费的主要手段。b.在当前经济条件下国家应该加大对地方高校的教育经费投入力度，以达到稳定学费的目的。8．模型的推广方向①由于数据收集的有限性，我们仅对中央部属高等院校与地方属高等院校两种大学的学费进行研究。但模型本身却具有对其他类型学校学费确定的普适性，因此在掌握的数据足够的前提下，我们可以用该模型确定在不同分类标准下，不同类型学校的学费标准。②由于缺少数据的问题，本模型忽略了地域差异的影响，事实上，由于地域发展程度的不同使得处于不同城区的同种学校学费差别很大。仅站在全国的层次上，按学校类型确定均值，在某种意义上也是不合理的。因此若数据充足，建议分省分类来确定学费标准。9．模型评价本文根据搜集的数据，使用改进的GM（1,1）灰色预测模型——等维灰数递补模型——对学费变化进行预测，大大减小了中短期内的预测误差，再结合时间序列分析，线性回归模拟对未来高等教育学费的变化做了较好的预测，同时根据预测值分析了政府可通过拨款调控高校学费的方式，利于高等院校保障人才培养的质量。通过主成分分析，突出了各个因素的贡献优差。建立了各个因素的影响度概念，较好的描述了各个因素增长或下降一定量所引起的学费变化率。由于数据数量有限，使用时间序列和灰色预测作出的预测值不够精确，而且我们忽略了地域差异对结果的影响。参考文献：[1]黄燕、吴平，SAS统计分析及应用，北京：机械工业出版社，2006年。[2]姜启源、邢文训、谢金星、杨顶辉，大学数学实验，北京：清华大学出版社，2005年。[3]熊和金、徐华中，灰色控制，北京：国防工业出版社，2005年。[4]MarkM.Meerschaert，数学建模方法与分析，北京：机械工业出版社。[5]中华人民共和国国家统计局，中国统计年鉴2002~2007，北京：中国统计出版社。[6]教育部发展规划司，中国教育统计年鉴2001~2006，北京：人民教育出版社。[7]李爱民、黄启见，社会满意度与高校完善学费定价机制的关系，湖南科技学院学报，第29卷第5期：126~128页，2008年。

关于高等教育学费标准的报告教育部：学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论，于是我们在中国统计年鉴上收集相关数据（研究对象定为中央属高校、地方属高校以及全国所有高校的平均学费），希望通过数学教模的方法，确定合理的学费值，并且可以分析出那些因素对学费值有影响以及影响程度，以提出有价值的建议。为此我们建立平衡加权模型，将学校教育质量同学生家庭经济承受能力综合考虑。在假设对二者同样重视的情况下，通过我们所建立模型计算出合理的学费值。我们将计算结果同实际学费比较，得出以下结论：从总体上看地方属高校、中央属高校的学费应该降低，表示现在学费已经超过了合理的家庭经济承受能力，全国其他类型的高校，学费可以有所升高，以降低学校的压力。另外我们还对各因素对学费的影响程度进行了探讨，通过对不同学校在不同时间的因素影响度数据进行横向、纵向的比较，可以得出以下的规律。①总体上，三种因素的影响度都有逐年减小的趋势，原因在于学费的每年的增长比三种因素的变化大。②对于三个因素发现政府拨款的影响度下降最快，家庭平均收入的影响度下降最慢。③综合三个表格，发现三个因素中发挥主导作用的先是政府拨款，之后慢慢地变为家庭平均收入。④政府拨款对于中央属高等院校的学费，影响一直占主要地位，反映了国家对于中央属高校的大力扶持。⑤与其他类似学校相比，学生培养经费，对地方属高校的影响最大，原因在于国家对地方高校的扶持力度不够，地方高校学费，便主要被培养经费影响。基于以上分析，向国家提出以下建议：a.从长远角度来看，家庭收入是学费稳定的主要因素，因此发展生产力提高人均收入将成为稳定学费的主要手段。b.在当前经济条件下国家应该加大对地方高校的教育经费投入力度，以达到稳定学费的目的。建模小组

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