浙江省杭州市下城区启正中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择（每小题3分，共10小题，共30分）1．（3分）已知函数y＝ax2（a≠0）经过点（﹣1，2），则必经过点（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）2．（3分）已知⊙O的半径为6，点A为平面内一点，OA＝8，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定3．（3分）将抛物线y＝﹣3x2先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（）A．y＝﹣3（x﹣4）2﹣5 B．y＝﹣3（x+4）2+5 C．y＝﹣3（x﹣4）2+5 D．y＝﹣3（x+4）2﹣54．（3分）以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是5．（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．18π B．27π C．36π D．54π6．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3，DE＝7，则AB＝（）A．8 B．4 C． D．7．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）A．任意三点可以确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形对角互补8．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，10．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，以下结论：①满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；②不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；③当x＞1时，满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是（）A．②③ B．①③ C．①② D．①②③二.填空题（每小题4分，共6小题，共24分）11．（4分）二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3，则b＝．12．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝．13．（4分）函数y＝（x+1）2﹣3，当x＜﹣2时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．14．（4分）如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），AB为⊙O的直径，且∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为度．15．（4分）已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是．16．（4分）已知，AB、BC是半径为r的⊙O内的两条弦，且AB＝6，BC＝8．若∠ABC＝120°，则半径r＝．三.解答题（共8小题，共66分）17．（6分）不透明的盒中有4个完全相同的球，球上分别标有数字“1，2，3，4”．（1）若从盒中随机取出1个球，取出的球上的数字是奇数的概率是；（2）若从盒中取出一个球，记录球上的数字后不放回．再从剩下的球中取出一个球，并再次记录球上的数字，求两次数字的和为偶数的概率是多少？通过画树状图或列表法解决．18．（6分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE．19．（6分）如图，△ABC位于一平面直角坐标系中．（1）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留π）20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数的顶点坐标；（3）当﹣2≤x≤3时，求y的取值范围．21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．22．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？23．（10分）如图，已知AB、CD为⊙O内位于圆心两侧的两条弦，，过点A作CD的垂线交⊙O于点E．（1）求证：AB∥CD；（2）若AB＝6，CD＝8，AB与CD间的距离为7，求⊙O的半径长；（3）若在弧AC上取一点F，使得＝，连接DF，求证：DF经过圆心O．24．（12分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象与x轴有两个交点，求t的取值范围；（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．请直接写出m的取值范围．2023-2024学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择（每小题3分，共10小题，共30分）1．（3分）已知函数y＝ax2（a≠0）经过点（﹣1，2），则必经过点（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）【分析】利用待定系数法求得解析式，然后分别代入x＝1、x＝2求得y的值即可判断．【解答】解：∵函数y＝ax2（a≠0）经过点（﹣1，2），∴a＝2，∴y＝2x2当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝8，故函数图象必经过点（1，2），故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，求得函数的解析式是解题的关键．2．（3分）已知⊙O的半径为6，点A为平面内一点，OA＝8，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定【分析】由于点A到圆心的距离8大于圆的半径6，从而可判断点A在⊙O外．【解答】解：∵⊙O的半径为6，OA＝8，∴点A到圆心的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．3．（3分）将抛物线y＝﹣3x2先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（）A．y＝﹣3（x﹣4）2﹣5 B．y＝﹣3（x+4）2+5 C．y＝﹣3（x﹣4）2+5 D．y＝﹣3（x+4）2﹣5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2先向右平移4个单位，得到：y＝﹣3（x﹣4）2，再向下平移5个单位，所得的图象解析式是：y＝﹣3（x﹣4）2﹣5．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．4．（3分）以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．5．（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．18π B．27π C．36π D．54π【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r＝9，∴S扇形＝＝27π，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3，DE＝7，则AB＝（）A．8 B．4 C． D．【分析】连接OA，如图，先计算出OC＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．【解答】解：连接OA，如图，∵CE＝3，DE＝7，∴CD＝10，∴OC＝OA＝5，∴OE＝OC﹣CE＝2，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴AB＝2AE＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．7．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）A．任意三点可以确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形对角互补【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．8．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的顶点一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，然后可以写出顶点坐标，然后利用分类讨论的方法可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，∴该抛物线的顶点坐标为（m，2m+1），当m＞0时，2m+1＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；当﹣＜m＜0时，2m+1＞0，此时顶点在第二象限，故选项B不符合题意；当m＜﹣时，2m+1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；当2m+1＜0时，m＜﹣，故顶点不可能在第四象限，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．【解答】解：连接OB，OC，∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．10．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，以下结论：①满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；②不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；③当x＞1时，满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是（）A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【分析】将k＝0，1，2代入，解不等式可判定①③，经过定点（1，0），（﹣1，2）可知k的系数为0，则可判定②．【解答】解：当k分别取0，1，2时，所对应的函数解析式分别为：y0＝﹣x2﹣x+2，y1＝﹣x+1，y2＝x2﹣x，若y1＞y2，则﹣x+1＞x2﹣x，∴x2＜1，即﹣1＜x＜1．则①正确；∵关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]＝（x2﹣1）k﹣x2﹣x+2，∴当x＝±1时，函数值与k无关，即当x＝1，y＝0，当x＝﹣1，y＝2，∴过定点（1，0），（﹣1，2），则②正确；若﹣x+1＞﹣x2﹣x+2，∴x＞1或x＜﹣1；若x2﹣x＞﹣x+1，∴x＞1或x＜﹣1，∴当x＞1时，y2＞y1＞y0，则③正确．故选：D．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，不等式的解法，利用不等式求二次函数的取值范围．二.填空题（每小题4分，共6小题，共24分）11．（4分）二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3，则b＝﹣12．【分析】根据对称轴公式即可解答．【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3，∴x＝﹣＝3，∴b＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键．12．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝9．【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，＝，解得n＝9，经检验n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）函数y＝（x+1）2﹣3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．【分析】根据顶点式可求对称轴，再结合开口方向判断增减性．【解答】解：根据二次函数解析式为y＝（x+1）2﹣3，可知对称轴是直线x＝﹣1，又a＝1＞0，抛物线开口向上，所以，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键．14．（4分）如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），AB为⊙O的直径，且∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为20度．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（4分）已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是4．【分析】先用a表示b，可将代数式中的b替换掉，使其仅含有a，再根据b的取值范围，得出a的取值范围便可解决问题．【解答】解：因为b﹣a＝1，所以b＝a+1，则a2﹣4b+11＝a2﹣4（a+1）+11＝（a﹣2）2+3．又b≥4，则a+1≥4，解得a≥3．又当a＞2时，代数式（a﹣2）2+3的值随a的增大而增大，则当a＝3时，代数式a2﹣4b+11取得最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查二次函数的最值，能用a表示b，并将含有a的代数式配成完全平方与一个常数和的形式是解题的关键．16．（4分）已知，AB、BC是半径为r的⊙O内的两条弦，且AB＝6，BC＝8．若∠ABC＝120°，则半径r＝．【分析】如图，连接OA，OC，在优弧上取一点D，连接AD，CD，作OH⊥AC于H，作AE⊥CB交CB的延长线于E．首先证明∠AOC＝120°，解直角三角形求出AC即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OC，在优弧上取一点D，连接AD，CD，作OH⊥AC于H，作AE⊥CB交CB的延长线于E．∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠AOH＝∠COH＝60°，AH＝CH，在Rt△ABE中，∵∠E＝90°，∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝3，AE＝BE＝3，∴AC＝＝＝2，∴AH＝，∴OA＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三.解答题（共8小题，共66分）17．（6分）不透明的盒中有4个完全相同的球，球上分别标有数字“1，2，3，4”．（1）若从盒中随机取出1个球，取出的球上的数字是奇数的概率是；（2）若从盒中取出一个球，记录球上的数字后不放回．再从剩下的球中取出一个球，并再次记录球上的数字，求两次数字的和为偶数的概率是多少？通过画树状图或列表法解决．【分析】（1）利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次数字的和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵数字“1，2，3，4”中，是奇数的为1和3，∴从盒中随机取出1个球，取出的球上的数字是奇数的概率是＝．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次数字的和分别为：3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7，其中两次数字的和为偶数的结果有4种，∴两次数字的和为偶数的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．18．（6分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE．【分析】解法一：由AB＝CD知，得AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．解法二：证明△ABC≌△CDA（SSS），得∠BAC＝∠ACD，根据等角对等边得AE＝CE．【解答】证明：解法一：∵AB＝CD，∴，即，∴，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．解法二：连接AC，∵AB＝CD，∴，即，∴，∴AD＝BC，又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠ACD，∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．19．（6分）如图，△ABC位于一平面直角坐标系中．（1）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留π）【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵OB＝＝，∴点B经过的路径长为＝．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解答本题的关键．20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数的顶点坐标；（3）当﹣2≤x≤3时，求y的取值范围．【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2+bx+3中得到关于a、b的方程组，然后解方程即可；（2）把一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；（3）分别计算出自变量为﹣2和3所对应的二次函数值，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）把（﹣3，0），（2，﹣5）分别代入y＝ax2+bx+3得，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣1，4）；（3）当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，当x＝﹣1时，y的最大值为4，∴当﹣2≤x≤3时，y的取值范围为﹣12≤y≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．22．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．23．（10分）如图，已知AB、CD为⊙O内位于圆心两侧的两条弦，，过点A作CD的垂线交⊙O于点E．（1）求证：AB∥CD；（2）若AB＝6，CD＝8，AB与CD间的距离为7，求⊙O的半径长；（3）若在弧AC上取一点F，使得＝，连接DF，求证：DF经过圆心O．【分析】（1）连接AC、BD，由可得∠ACD＝∠BDC，根据圆内接四边形的性质得∠ACD+∠ABD＝180°，可得∠BDC+∠ABD＝180°，即可得AB∥CD；（2）过点O作OH⊥AB于H，延长HO交CD于G，连接OB、OD，根据垂径定理得BH＝AB＝3，DG＝CD＝4，设OH＝x，由AB与CD间的距离为7得OG＝7﹣x，利用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x，即可得⊙O的半径长；（3）连接CF，由可得，则∠EAF＝∠AEC，根据圆内接四边形的性质得∠AEC+∠AFC＝180°，可得∠EAF+∠AFC＝180°，可得AE∥CF，则FC⊥CD，∠FCD＝90°，即可得DF经过圆心O．【解答】（1）证明：连接AC、BD，∵，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠BDC+∠ABD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：过点O作OH⊥AB于H，延长HO交CD于G，连接OB、OD，∵AB∥CD，∴OH⊥CD，∴BH＝AB＝3，DG＝CD＝4，设OH＝x，∵AB与CD间的距离为7，∴OG＝7﹣x，∵OH⊥AB，OH⊥CD，∴OB2＝BH2+OH2＝32+x2，OD2＝DG2+OG2＝42+（7﹣x）2，∵OB＝OD，∴＝32+x2＝42+（7﹣x）2，解得x＝4，∴OB＝OD＝＝5，∴⊙O的半径长为5；（3）证明：连接CF，AF，CE，∵，∴，∴∠EAF＝∠AEC，∵∠AEC+∠AFC＝180°，∴∠EAF+∠AFC＝180°，∴AE∥CF，∵AE⊥CD，∴FC⊥CD，∴∠FCD＝90°，∴DF经过圆心O．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等，合理添加辅助线是