《探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密》教学设计(湖北省市级优课)-数学教案

“杨辉三角”中的一些秘密安陆一中李向阳“杨辉三角中的一些秘密”是人教A版选修2-3第一章后的“探究与发现”。杨辉三角蕴含了富的数字规律和数学思想方法，具有数学中的对称美、简洁美、和谐美以及数字的神奇美和数形结合的统一美。笔者以这节课的教学为例，谈谈如何在数学课堂中渗透美育。教学目标设置（1）会用组合数表示杨辉三角中的数；（2）了解杨辉三角中所蕴含的规律，提高观察和分析问题，运用联系及类比的观点看待问题，从而解决问题的能力；（3）结合出杨辉三角研究方法，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯.。学生学情分析知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解.能力结构：学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，利用适时地问题引导就能建立起知识之间的相互联系，解决相关问题.但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当地引导.教学重点：通过从不同的角度研究杨辉三角，得到杨辉三角的性质，并最终总结出一般数阵的研究方法.教学难点：将杨辉三角的规律用组合数来进行总结.教学过程杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．一、复习引入：1．二项式定理：二项式定理：二项式系数：,2.二项式系数有哪些性质？用什么方法研究的？(表格，数表，函数)看一下数表这个表是二项式系数表，与杨辉三角异曲同工。这节课我们进一步研究杨辉三角，看看他还有那些秘密。二、探究数表“杨辉三角”如下表，第n行的系数用组合数怎样表示？探究１、杨辉三角第n行各数的特点①.杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的二项式系数②杨辉三角的各行数字的和等于与之对应的(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n。③杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.④对称性：结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和,即练习1:（04.上海春季高考）在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.略解，探究2：斜行规律：如右图，第一条斜线上：1+1+1+1+1+1=第二条斜线上：1+2+3+4+5=,第三条斜线上：1+3+6+10=,第四条斜线上：1+4+10=思考有什么规律？探究3、横行规律杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第2n-1行的各个数字为奇数。（查找资料，自我探究，为什么即第2n-1行的各个数字为奇数？）第2n行的数字有什么特点？第2n行的数字除两端的1之外都是偶数.练习2想一想：（07）湖南理（15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数都为1的是第一行，第二次全行的数都为1的是第3行，……第n次全行的数都为1的是第行(答2n-1)第一行

第二行

第三行

第四行

第五行探究4如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．从第三个数起，任一数都等于前两个数的和.此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)

这就是著名的斐波那契数列．拓展斐波那契“兔子繁殖问题”中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1,1,2,3,5,8,13,21,34,……练习3：如图的数表，则第n行（n≥2）第2个数是什么？分析:设第n行的第2个数为an,则a2=2,an+1-an=n∴an=2+2+3+…+(n-1)=(累加法)三，小结与作业（1）杨辉三角的秘密，同时也是二项式系数的性质.（2）通过对杨辉