《信息技术应用借助信息技术方程的近似解》教学设计(安徽省县级优课)-信息技术教案

1.3.1二项式定理教材分析《二项式定理》是在初中多项式运算基础上的延伸和深入，初中采取多项式运算展开，然后合并同类项，只是学了几个公式，我们现在上升的定理的高度，将二项式(a＋b)n的展开推广到一般的形式(n∈N+)。本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明本教材用到了计数原理（也可以用数学归纳法），可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为后面学习随机变量及其分布做准备；由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处。总之，二项式定理是综合性较强，能联系不同数学知识，可以在不同知识的交汇处命题。二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“特殊→一般”。与以往教科书比较，不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2、(a＋b)3、(a＋b)4展开式的项的特征进行分析，从而采取同样的证明方法得到(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N+)。课时分配2课时。1.3.1二项式定理（第一课时）教学目标1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；3．培养学生的归纳思想、化归思想；4．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力。重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2、(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，得到二项式定理。教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程。教学过程eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新课))我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学。提问学生完成（时间3分钟）：(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,(n－m)！).(3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)。设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础。进入新课引例：1．乘积有___项.（提问学生）2.（a+b)2展开有几项？每项的次数是多少？合并后是几项？(a＋b)3呢？（提问学生）提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)展开后每项的次数是多少？按a的降幂排列有哪些项？(2)每项的的系数是多少？学生先独立思考，允许小组合作。活动成果：⑴⑵设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数。提出问题1：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是几次式？回答：4次；提出问题2：展开式按a的降幂排列应有哪些形式的项？回答：a4,a3b.a2b2,ab3,b4提出问题3：a4,a3b.a2b2,ab3,b4的系数分别是多少？（提问学生）师生共同探究：上面个括号中，每个括号都不取，即取0个b(也就是都取a)有种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，∴设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法。提出问题2：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论。设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣。师生共同完成下式，并对所给答案给出说明：(a＋b)n＝(_)an＋(_)an－1b＋(_)an－2b2＋…＋(_)an－kbk＋…＋(_)bn(n∈N+)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论。活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：an，an－1b，…，an－kbk，…，bn.(2)展开式各项的系数：展开后共有n个（a+b）相乘，即：每个括号内都不取b，即取0个b(也就是都取a)有Ceq\o\al(0,n)种，an的系数是Ceq\o\al(0,n)；恰有1个取b的情况有Ceq\o\al(1,n)种，an－1b的系数是Ceq\o\al(1,n)，…，恰有r个取b的情况有Ceq\o\al(r,n)种，an－kbk的系数是Ceq\o\al(k,n)，…，有n个都取b的情况有Ceq\o\al(n,n)种，bn的系数是Ceq\o\al(n,n)，∴(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)anb＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N+)，这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式。呈现二项式定理——(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N+)（板书）设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导。活动成果：(1)它有n＋1项，各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…n)叫二项式系数；(2)各项的次数都等于二项式的次数n.设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解。提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导。活动成果：(板书)(1)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n，一般展开各项的顺序固定，不能随便变换。(2)Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，注意n、k的范围：n∈N+，k＝0,1，…n。(3)字母a，b可以是数，式子或其他。设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知))例1展开(1+x)10（提问学生）例2展开(1-x)10（提问学生）设计意图：记忆公式正确应用公式，由易到难。以上两个简单例题，教师引导，学生完成，提问学生，检验课堂效果，教师巡视，发现问题及时解决。例3求(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的展开式先让学生自主练习，然后教师给出学生可能的三种（直接展开；化为分数指数幂再展开；先化简再展开）展开方法，说明有的二项展开式可以先化简再展开。设计意图：记忆公式，合理应用公式。提出问题：公式运用时要注意什么？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导。活动成果：正确合理运用公式；注意运算的准确性。（教师板书）(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6＝(eq\f(2x－1,\r(x)))6＝eq\f(1,x3)(2x－1)6＝eq\f(1,x3)[(2x)6－Ceq\o\al(1,6)(2x)5＋Ceq\o\al(2,6)(2x)4－Ceq\o\al(3,6)(2x)3＋Ceq\o\al(4,6)(2x)2－Ceq\o\al(5,6)(2x)1＋Ceq\o\al(6,6)]＝64x3－192x2＋240x－160＋eq\f(60,x)－eq\f(12,x2)＋eq\f(1,x3).巩固新知求(1＋2x)7的展开式（提问学生）设计意图：进一步熟练记忆和运用公式；检验课堂教学效果。课堂小结1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。2．方法收获：计数原理的再应用。3．思维收获：归纳思想、化归思想；从特殊到一般，再从一般到特殊的认知规律。课后练习反馈提高1．求(2a＋3b)6的展开式中的第3项；2．求(3b＋2a)6的展开式中的第3项的系数；3．用数学归纳法证明二项式定理。板书设计：略教后反思：略eq\o(\s\up12(),\s\do4(设计说明))二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和