相似三角形的综合应用培优提高

-.z.相似三角形的应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进展有关计算．2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题〔如何把实际问题抽象为数学问题〕．【知识回忆】一、相似三角形的性质〔1〕对应边的比相等，对应角相等．〔2〕相似三角形的周长比等于相似比．〔3〕相似三角形的面积比等于相似比的平方．〔4〕相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．二、相似三角形的应用:1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例〔或等积式〕；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．【典型例题】例1：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，〔1〕假设这个矩形是正方形，则边长是多少？〔2〕假设这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？AABCQMDNPE【同步练习】如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？例2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度〞活动中，*数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米〔如图1〕．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一局部影子落在教学楼的墙壁上〔如图2〕，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一局部落在教学楼的第一级台阶上〔如图3〕，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米〔如图4〕．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．图1图1图2图3图4〔1〕在横线上直接填写甲树的高度为米．〔2〕求出乙树的高度〔画出示意图〕．〔3〕请选择丙树的高度为〔〕A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 D、7.25米〔4〕你能计算出丁树的高度吗？试试看．【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

例3：如图，AD是△ABC的中线，M是边AC上的一动点，，BM交AD于N点。⑴如图①，假设，则。如图②，假设，则。如图③，假设，则。⑵猜测，与存在怎样的关系？并证明你的结论。⑶当时，恰有【同步练习】如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则△DMN∶四边形ANME=例4：如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点〔不与、重合〕，过点作，交于点．设，以为折线将翻折〔使落在四边形所在的平面〕，所得的与梯形重叠局部的面积记为．〔1〕用表示的面积；〔2〕求出时与的函数关系式；〔3〕求出时与的函数关系式；〔4〕当取何值时，的值最大？最大值是多少？EDEDBCABCA【同步练习】如图，矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点〔P异于A、D〕，Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.〔1〕求证：△APE∽△ADQ；〔2〕设AP的长为*，试求△PEF的面积S△PEF关于*的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值"最大值为多少"例5：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．〔1〕如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；〔2〕操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．探究1：△BPE与△CFP还相似吗？〔只需写出结论〕探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

【同步练习】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．〔1〕写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；〔2〕连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．例6：如图，抛物线y＝*2＋b*＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为〔－1，0〕，过点C的直线y＝*－3与*轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．假设PB＝5t，且0＜t＜1．〔1〕填空：点C的坐标是___________，b＝_______，c＝_______；〔2〕求线段QH的长〔用含t的式子表示〕；〔3〕依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？假设存在，求出所有t的值；假设不存在，说明理由．AACBQPOH*y

稳固练习中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是〔〕①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形△ADE，EB，CE分别交AD于点G，H．设△CDH，△GHE的面积分别为S1，S2，则〔〕A．．B．C．．D．如图，在RtΔABC有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式〔〕A．b=a+cB．b=acC．b2=a2+c2D．b=2a=2c*班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3…，假设使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每彩纸能裁成的矩形纸条的总数是〔〕A．24B．25C．26D．27如图，点在射线上，点在射线上，且，．假设，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在的照射下，塔影DE留在坡面上．铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，则塔高AB为〔