三角形“四心”的向量表示及应用

三角形“各心”的向量表示及应用石家庄市第十九中学岳儒芳在《平面向量》这一章，用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面．这充分体现了向量知识与平面几何知识的联系．例如以向量为视角研究三角形的“各心”，可以得到三角形“各心”的向量表示．由于三角形的“各心”与向量之间有着密切的联系，这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性．与三角形“各心”有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型，备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材．下面撷取一些例子加以剖析，希望能起到抛砖引玉的效果．一、知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心——三角形的三条中线的交点；2、垂心——三角形的三条垂线的交点；3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．（二）三角形各心的向量表示O是的重心；O是的垂心；O是的外心(或)；O是的内心；注意：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)ACACBCCP(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．(03年新课标)是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，,则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为和，又，则原式可化为，由菱形基本性质可知平分，那么在中，平分，故选B．点评：解决此题，关键是要知道表示向量的单位向量．另外，此题所用的都是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，就很容易求解此题．(二)将平面向量与三角形垂心结合考查例2．(2005．湖南文)是所在平面上一点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心 D．垂心解析：由得.即即,则，所以P为的垂心．故选D．点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识．将三角形垂心定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．(三)将平面向量与三角形重心结合考查例3．P是△ABC所在平面内任一点.G是的重心.证明：，∵G是△ABC的重心，∴==，即,由此得.（反之亦然（证略））(四)将平面向量与三角形外心结合考查例4．若为内一点，，则是的（

）A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等．故是的外心，故选B．点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合．(五)将平面向量与三角形四心结合考查例5．已知向量，，满足条件++=，||=||=||=1，求证:△P1P2P3是正三角形．（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明：由已知+=，两边平方得·=，同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正△P1P2P3的中心，则显然有++=且||=||=||．即O是△ABC所在平面内一点，++=且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心．三、专题训练1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的（）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点2．在同一个平面上有及一点O满足关系式：，则Ｏ为的（

）Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心3．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（

）Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心4．已知P为所在平面上一点，且点P满足，则点P为的（

）Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心5．在中，动点P满足,则P点轨迹一定通过的（）Ａ．外心Ｂ．内心C．重心D．垂心6．已知非零向量与满足,且,则为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形7．（2009年．陕西卷文）在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）Ａ．Ｂ．C．D．8．（2009年．宁夏海南卷理）已知在所在平面内，且，，且，则点依次是的（）A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心9.(2005.全国理)外接圆的圆心为，两条边上高的交点为，，则实数=________．参考答案或提示1、B．提示：取AB边中点M，则，由=(++2),可得，∴，即点P为中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B．2、D．提示：由得,即,,,同理,,故选D．3、C．提示：设边中点为,则有，即,∴过的重心，故选C．4、B．提示：则,所以，因为分别为,方向上的单位向量，所以向量平分,因为与共线，所以平分，同理平分,平分,所以是的内心，故选B．5、A．提示：，即，∴,∴以,为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点在线段的中垂线上，故选A．6、D．提示：，∴角A的平分线垂直