2024届江西省万安中学高三上学期开学考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat25页2024届江西省万安中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质可求出，所以，即可得出集合、，进而根据交集的运算即可求出答案.【详解】由可得，，所以，所以.所以，.所以，即.故选：B.2．若复数的实部与虚部相等，则实数（

）A．7 B．-7 C．1 D．-1【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等求得a值.【详解】因，依题意，实部与虚部相等，而a是实数，则，解得，所以实数.故选：B3．已知为等差数列，为其前项和，，则（

）A．36 B．45 C．54 D．63【答案】B【分析】根据题意求出首项及公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.【详解】设公差为，由，得，解得，所以，所以.故选：B.4．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可．【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，所以，甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，所以，则，故选：B．5．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用导数研究函数的单调性，再结合函数定义域及单调性解不等式即可.【详解】由题意可知，函数的定义域为.又因为恒成立，所以在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：C.6．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.【详解】平面,平面,平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则设平面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.故选：D.7．若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】A选项，构造且，求导得到其单调性，得出，A错误；B选项，构造且，求导得到其单调性，得出；C选项，构造且，求导得到其单调性，证明出；D选项，举出反例即可.【详解】对于A，令且，则，故在上单调递增，则，即，所以，即，故A错误；对于B，令且，则，故在上单调递增，则，即，所以，故B错误；对于C，令且，则，故在上单调递增，则，即，所以，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：C.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.8．如图，设直线与抛物线(为常数)交于不同的两点，且当时，抛物线的焦点到直线的距离为.过点的直线交抛物线于另一点，且直线过点，则直线过点（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后联立方程组并写出根与系数关系，求得直线、直线，进而确定正确答案.【详解】直线，即，依题意，到直线的距离为，所以抛物线方程为，直线，由消去并化简得，，且，设，则.由，直线的方程为，所以，即，则，故，所以，所以，直线的方程为，即，则，故，所以，也即直线过定点.故选：A.【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解.二、多选题9．已知正方体，为对角线上一点（不与点，重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（

）A．只可能为三角形或六边形B．直线与直线BD所成的角为C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大【答案】ABD【分析】由与平面垂直，可得平面，结合正方体的特征即可判断A,根据平面即可判断B,根据三角形为等边三角形，由中位线定理，，易得两个截面周长相等，可判断C,由等边三角形，正六边形PQRSTW，以及一般的六边形的面积作比较即可判断正六边形时面积为最大.【详解】∵正方体，体对角线与平面垂直，则平面，若向点方向平移,则为三角形，若向点方向平移,则可能为六角形，A正确；∵平面，∴直线与直线BD的夹角为，B正确；∵当为对角线中点时，为正六边形PQRSTW，而三角形为等边三角形，根据中位线定理，，易得两个截面周长相等，故C错误；对于D，当为对角线中点时，为正六边形PQRSTW，设边长，面积为，当向下移动时，为六边形，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小，且变化量相等，设，，，而且所有六边形的高都相等，且等于，两邻边夹角都为120°，则当为三角形时，面积最大为，而，∴当且仅当为对角线中点时，的面积最大，故D正确.故选：ABD10．已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，进而可得为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得．【详解】因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，，所以，对选项A：由，令得，，所以，故A正确；对选项B：由，令得，，故，所以B正确；对选项C：由，可得，又，所以，又是奇函数，，所以，又，所以，即，所以，，，所以函数为周期为4的偶函数，所以，故C正确；对选项D：，由题得不出，所以不一定成立，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.11．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率【答案】ABD【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出点A、B的坐标，即可得，由的取值范围即可求得的最小值，从而可判断A项，由中点坐标公式可判断点是A、B的中点，进而可判断B、C项，由余弦定理结合可求得c的值，进而可求得离心率即可判断D项.【详解】对于A项，先求双曲线上一点的切线方程，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由得：，所以，则在点的切线斜率为，所以在点的切线方程为：，又因为，所以在点的切线方程为：，不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，联立，所以点，同理可得：，则，又因为，所以，即：，故A项正确；对于B项，由A项知，，，所以点是A、B的中点，所以，故B项正确；对于C项，因为在点的切线方程为：，令得，所以点，则，当点在顶点时，仍然满足，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，，又因为，所以，解得：，即：，代入得，所以，，所以，解得：，所以，所以离心率为，故D项正确.故选：ABD.【点睛】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．在双曲线上一点的切线方程为.圆锥曲线中的求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．12．已知函数，则以下判断正确的是（

）A．函数的零点是B．不等式的解集是．C．设，则在上不是单调函数D．对任意的，都有．【答案】BD【分析】利用零点的定义可直接判定A，直接解不等式可判定B，利用导数研究函数的单调性计算即可判定C，构造差函数结合函数的单调性计算即可判定D.【详解】对于A项，零点是数不是点，故A错误；对于B项，令，而恒成立，原不等式等价于，解之得，故B正确；对于C项，，所以，设，则，设即定义域上单调递增，，即存在使得，即存在使得，所以时有，则，在上单调递增，故C错误；对于D项，设，由C项结论可知在上单调递增，所以有，又，即成立，故D正确.故选：BD【点睛】本题关键在选项D，结合对函数的单调性的研究，构造差函数利用单调性比较大小来判定比较难想到.三、填空题13．若将函数表示为，其中为实数，则=.【答案】1【分析】由题意可知，，然后利用二项式定理进行展开，使之与进行比较，可得结果【详解】由题可知：而则故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将转化为是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果14．已知数列的前n项和为，若与均为等差数列，请写出满足题意的一个的通项公式，．【答案】（答案不唯一）【分析】利用特值法探讨数列的公差与首项的关系，再验证一般情况即可作答.【详解】令数列的公差为，显然，由是等差数列，得，即，两边平方得，两边平方并整理得，则，此时，，有为常数，即是等差数列，所以数列的通项公式是，取，得.故答案为：15．已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是．【答案】【分析】画出及的图像，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数的图像相切或与的图像有两个公共点，从而可得实数的范围．【详解】因为关于的方程有且只有2个不同的解，所以的图像与直线有两个不同的交点，又及的图像如图所示：当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与相切，与有一个交点，设切点为，从而，解得，．当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与有两个公共点，所以方程有两个不同的解，即有两个不同的解，即，所以，故，综上，．故填．【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零点的个数及各段函数图像的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意可得，再构造，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．【详解】因为，所以可化为，设，则，在上单调递增，因为，，所以，，，所以可化为，所以，在上恒成立，，，设，，则，令，得；，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成，再构造函数.四、解答题17．的内角的对边长分别为，设(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可.【详解】（1）根据题意，由正弦定理可得，即，所以根据余弦定理及中可得.（2）根据题意，由正弦定理可得，所以，解得①，因为②，①②联立可解得或，又因为，则，，（舍去），所以.18．已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项.(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)若，且，求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析；.(2).【分析】（1）证明是以为首项，公差为2的等差数列，再求出即得解；（2）利用累加法求数列的通项得解.【详解】（1）证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，所以，又所以.（2）解：由题得，所以，所以所以，又时符合该式，故.19．如图，在直四棱柱中，，，，，且P为的中点.(1)设过B点的平面为，若平面平面，求平面与四边形和四边形交线的长度之和；(2)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）如图，在四棱柱内找到过点且平行于平面的平面，即平面，然后通过平面的性质找到平面与四边形和四边形的交线，进而求解长度.（2）以C原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）因为在直四棱柱中，，，，，所以平面平面.如图，取的中点E，连接BE.在矩形中，，因为平面，平面，所以平面.取AB的中点G，PB的中点H，连接GH，则.取，，连接GD，DQ，HQ，EF，BF.因为，，，，所以，所以，且.所以四边形DGHQ为平行四边形，所以.因为，且，所以四边形EDQF为平行四边形.所以，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.又，所以平面平面，所以平面即为平面BEF.所以BF，EF分别为平面与四边形和四边形的交线.因为，，所以平面与四边形和四边形交线的长度之和为.（2）以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，.所以，.设平面的一个法向量为，则即∴.取平面ABCD的一个法向量为，则.故平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为.20．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化､极端气候的出现､生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难.某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷，并邀请40名同学(男女各占一半)参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后20组同学得分如下表：组别号12345678910男同学得分4554554455女同学得分3455545553组别号11121314151617181920男同学得分4444445543女同学得分5545435345（1）完成下列列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关：男同学女同学总计该次比赛得满分该次比赛未得满分总计（2）随机变量表示每组男生分数与女生分数的差，求的分布列与数学期望.参考公式和数据：，.0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）列联表答案见解析，没有90%的把握认为“该次大赛是否得满分”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】（1）根据统计表中的数据，列出列联表，然后利用公式，取得的值，再与临界值表对照下结论.（2）根据统计表中的数据，得到的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后利用古典概型分别求得其相应的概率，列出分布列，再利用期望公式求解.【详解】（1）列联表如下：男同学女同学总计该次比赛得满分81119该次比赛未得满分12921总计202040所以，，所以没有90%的把握认为“该次大赛是否得满分”与“性别”有关.（2）的可能取值为-2，-1，0，1，2.，则的分布列为-2-1012所以.21．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4．(1)求的方程；(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值．【分析】（1）由的面积为4可得c，后由离心率可得a，b，即可得椭圆方程；（2）设，利用导数几何意义可得切线l方程，后可得到M，N坐标表达式，后利用两点间距离公式结合可得答案.【详解】（1）的面积为4，则，得．由离心率为，得，解得，所以，所以的方程为．（2）为定值．设，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．由，可得，所以在第一象限内.所以，故．因为，所以，代入直线的方程，得.即．由，可得，所以直线的方程为，即．因为直线的方程为，所以直线