2023-2024学年辽宁省阜新市九年级（上）月考数学试卷（10月份）含解析

2023-2024学年辽宁省阜新市九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.关于x的一元二次方程x2=5x−1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(

)A.1，−5，−1 B.−1，−5，−1 C.1，−5，1 D.1，5，12.用配方法解方程x2−4x−1=0时，配方后正确的是(

)A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=173.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为(

)

A.9.6 B.0.6 C.6.4 D.0.44.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，CD=3，AC=2，则BC的长为(

)A.3

B.4

C.6

D.45.关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是(

)A.若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形

B.若AC=BD，则四边形ABCD是矩形

C.若AC⊥BD，AC=BD，则四边形ABCD是正方形

D.若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形

7.某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周(场内)筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是(

)

A.(30−2x)(20−2x)=214 B.(30−x)(20−x)=30×20−214

C.(30−2x)(20−2x)=30×20−214 D.(30+2x)(20+2x)=30×20−2148.在元旦晚会上有一个闯关活动：将4张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关.那么一次过关的概率是(

)A.1 B.14 C.34 9.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为(

)A.132 B.3013 C.601310.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，已知AD=6(正方形的四条边都相等，四个内角都是直角)，DF=2，则S△AEF=(

)A.6

B.12

C.15

D.30

二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.关于x的一元二次方程x2+3x−m=0的一个根是3，则另一个根是______．12.不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则摸出2个红球的概率为______．13.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为x，则根据题意可列方程_________．14.如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______(第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色)

15.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N.记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB=10，S1=16，则S2的大小为

16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=6，BD=8，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E.点G在直线AC上运动，则BG+EG的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

解下列方程：

(1)x(x+1)=(x+1)；

(2)2x2−3x−1=018.(本小题8.0分)

在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651241783024815991803摸到白球的频率m0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；(精确到0.1)

(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=______；

(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？19.(本小题8.0分)

已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E，交AC于点F．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；

(2)若AE=5，AD=8，则四边形AEDF的面积为______．20.(本小题8.0分)

为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类(分别用A，B，C依次表示这三类比赛内容).现将正面写有A，B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容.选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母.请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．21.(本小题8.0分)

阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．

材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，

∴m+n=1，mn=−1．

则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x22.(本小题10.0分)

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．

(1)△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．

(2)几秒后，四边形APQC的面积等于16c23.(本小题10.0分)

2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？24.(本小题10.0分)

在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图1，现有矩形纸片ABCD，AB=4，BC=7．

动手操作

将图1中的矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后展平，得到折痕BE，连结EF，EC，如图2．

解决问题

请根据图2完成下列问题：

(1)线段CF的长为______.线段CE的长为______．

(2)试判断四边形ABFE的形状，并给予证明．

拓展探究

(3)将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D落在CE上的点N处，然后展平，得到折痕EM，连结MN，如图3，则线段CM的长为______．25.(本小题12.0分)

如图①，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上(不与A，O重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．

(1)求证：PB=PE；

(2)如图②，若正方形ABCD的边长为6，过E作EF⊥AC于点F，在P点运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；

(3)如图③，直接写出线段PC，PA，CE之间的数量关系．

答案和解析1.【答案】C

解：由原方程得到：x2−5x+1=0，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−5，1．

故选：C．

首先将原方程化为一般式，然后由一般式即可求得一元二次方程x2=5x−1的二次项系数、一次项系数、常数项．

本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx2.【答案】C

解：∵x2−4x−1=0，

∴x2−4x=1，

∴x2−4x+4=1+4，

∴(x−2)2=5．

故选：C．3.【答案】A

解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6=9.6．

故选：A．

用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．

本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．4.【答案】D

解：∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，

∴AB=2CD，

∵CD=3，

∴AB=6，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC=AB2−AC2=62−25.【答案】A

解：∵Δ=m2−4×1×(−8)=m2+32>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

根据一元二次方程根的判别式解答即可．6.【答案】D

解：A、若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选项A不符合题意；

B、若AC=BD，则四边形不一定ABCD是矩形，故选项B不符合题意；

C、若AC⊥BD，AC=BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项C不符合题意；

D、∵AO=OC，BO=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；

故选：D．

根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定定理即可得到结论．

本题考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．7.【答案】C

解：设健走步道的宽度为x米，

根据题意得：(30−2x)(20−2x)=30×20−214，

故选：C．

设出健走步道的宽度，然后根据面积间的关系列出方程求解即可．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系并列出方程．8.【答案】D

解：将正方形、圆、平行四边形、菱形分别记为A，B，C，D，

则既是中心对称图形又是轴对称图形的为A，B，D，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中翻开的2张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有：AB，AD，BA，BD，DA，DB，共6种，

∴一次过关的概率是612=12．

故选：D．

画树状图得出所有等可能的结果数以及翻开的29.【答案】C

解：作CH⊥BD于点H，连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，

∴OC=OB，

∵∠BCD=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，

∴BD=CD2+BC2=52+122=13，

∴OC=OB=12×13=132，

∵12BD⋅CH=12BC⋅CD=S△BCD，

∴12×13CH=12×12×5，

解得CH=6013，

∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S10.【答案】C

解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=BC=6，∠BAD=∠ADC=90°，

∵AH⊥AE，

∴∠HAE=∠BAD=90°，

∴∠HAD=∠BAE，

在△ADH和△ABE中，

∠DAH=∠BAEAD=AB∠ADH=∠B=90°，

∴△ADH≌△ABE(ASA)，

∴BE=HD，AH=AE，

∵∠EAF=45°，

∴∠HAF=∠EAF=45°，

在△AFH和△AFE中，

AF=AF∠FAH=∠FAEAH=AE，

∴△AFH≌△AFE(SAS)，

∴EF=HF，

∵DF=2，

∴CF=4，

∵EF2=CE2+CF2，

∴(2+BE)2=16+(6−BE)2，

∴BE=3，

∴HF=HD+DF=5，

∵△AFH≌△AFE，

∴S△AEF=S△AFH=12×HF×AD=12×5×6=15，

故选：C．

过点A作11.【答案】−6

解：设方程的另一个根是x1，

依题意得：x1+3=−3，

解得：x1=−6．

故答案为：−6．

设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于−ba，即可得出关于12.【答案】49解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中摸出2个红球的结果有4种，

∴摸出2个红球的概率为49．

故答案为：49．

画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出2个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．

13.【答案】12【解析】【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

设这次会议到会人数为x，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了66次手，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】

解：设这次会议到会人数为x，

依题意，得：12x(x−1)=66．

故答案为：14.【答案】12解：由树状图可知，共有3×2=6种可能，配得紫色的有3种，所以概率是36=12．

先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．15.【答案】9

解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，

∴OB=OC，∠OBA=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°，

∴∠EOB=∠COF，

在△OBM与△OCN中，

∠OBA=∠OCBOB=OC∠BOM=∠NOC，

∴△OBM≌△OCN(SAS)，

∴S1+S2=S△OAB=14×10×10=25，

∴S2=25−16=9，

故答案为：9．

根据正方形的性质得出OB=OC16.【答案】73解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD，AC⊥BD，

∵四边形BOCE是矩形，

∴BE=OC=3cm，∠EBO=90°，

作B点关于AC的对称点，即D点，连接ED，交AC于点G，连接BG，

∴BG=DG，

∴BG+EG=DG+EG，

∵两点之间线段最短，

∴此时BG+EG有最小值，即线段DE，

在Rt△EBD中，DE=BE2+BD2=32+82=73(cm)，

∴BG+EG的最小值为73cm．

作B点关于AC的对称点，即D17.【答案】解：(1)x(x+1)=(x+1)，

∴x(x+1)−(x+1)=0，

∴(x+1)(x−1)=0，

∴x+1=0或x−1=0，

解得：x1=−1，x2=1；

(2)2x2−3x−1=0，

∴a=2，b=−3，c=−1，

∴x=【解析】(1)移项后，利用因式分解法求解即可；

(2)直接利用公式法求解即可．

本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．18.【答案】(1)0.6；

(2)0.6；

(3)盒子里黑、白两种颜色的球各有40−24=16，40×0.6=24．

解：(1)∵摸到白球的频率为0.6，

∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．

故答案为：0.6．

(2)∵摸到白球的频率为0.6，

∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=0.6．

故答案为：0.6．

(3)见答案．

【分析】

(1)计算出其平均值即可；

(2)概率接近于(1)得到的频率；

(3)白球个数=球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数．

本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．19.【答案】解：(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE/​/AC，DF/​/AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠ADF，

∴AF=DF，

∴平行四边形AEDF是菱形；

(2)24

【解析】(1)见答案；

(2)解：连接EF，与AD交于点O，

∵四边形AEDF是菱形，

∴AD、EF互相垂直且平分，

∵AD=8，

∴OA=4，

根据勾股定理，OE=AE2−OA2=52−42=3，

∴EF=6，

∴四边形AEDF的面积=12·EF·AD=12×6×8=24．

故答案为：24．

(1)20.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有3种，

所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为39=1【解析】用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．

本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．21.【答案】−32

解：(1)∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两个根为x1，x2，

∴x1+x2=−32，x1x2=−12；

故答案为：−32，−12；

(2)∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m，n，

∴m+n=−32，mn=−12，

∴m2+n2=(m+n)2−2mn=94+1=134；

(3)∵实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，

∴s，t是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根，

∴s+t=−32，st=−12，

∵(t−s)22.【答案】解：(1)△PQB的面积不能等于9cm2，

理由如下：

∵5÷1=5s，8÷2=4s，

∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，

根据题意可得：AP=t cm，BP=(5−t)cm，BQ=2t cm，

假设△PQB的面积等于9cm2，

则12(5−t)×2t=9，

整理得：t2−5t+9=0，

∵Δ=(−5)2−4×1×9=−11<0，

∴所列方程没有实数根，

∴△PQB的面积不能等于9cm2；

(2)由(1)得：AP=t cm，BP=(5−t)cm，BQ=2t cm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，

∵四边形APQC的面积等于16cm2，

∴12×5×8−12(5−t)×2t=16，

整理得：t2−5t+4=0，

解得t1=1，t2=4【解析】(1)根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=−11<0，可得所列方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；

(2)根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：23.【答案】解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，

根据题意得：256(1+x)2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．

答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；

(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y−35)元，月销售量为400+20(58−y)=(1560−20y)件，

根据题意得：(y−35)(1560−20y)=8400，

整理得：y2−113y+3150=0，

解得：y1=50，【解析】(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量=4月份的销售量×(1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y−35)元，月销售量为400+20(58−y)=(1560−20y)件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．

24.【答案】解：(1)3；5；

(2)四边形ABFE是正方形，

证明：由折叠可知△FBE≌△ABE，

∴BF=BA，∠BFE=∠A，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABF=90°，

∴∠BFE=∠A=∠ABF=90°，

∴四边形ABFE是矩形，

又∵BF=BA，

∴四边形ABFE是正方形；

(3)52【解析】【分析】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的判定和性质．

(1)由折叠可知△FBE≌△ABE，可得∠AFE=∠A=90°，BF=BA=4，则CF=BC−BF=3，根据矩形的性质得到∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=4，可得到四边形ABFE是矩形，则AE=BF=4，DE=3，根据勾股定理可得CE的长；

(2)由折叠可知△FBE≌△ABE，可得BF=BA，∠A=∠BFE，根据矩形的性质得到∠A=∠ABC=∠BFE=90°，可得到四边形ABFE是矩形，由于BF=BA，于是得到四边形ABFE是正方形；

(3)设CM=x，则DM=4−x，由折叠可知△ENM≌△EDM，可得∠ENM=∠D=90°，DM=NM=4−x，EN=ED=3