2021年中考数学：几何复习之四边形压轴（三）

2021年中考数学：几何专题复习之四边形压轴（三）

1.如图，正方形4宓。中，。是4C的中点，£是距上一点，连接8E,交4C于点“，作W

，能于点尸，AGLBE于点、G,连接/则下列结论中，①4G=8尸；②梦平分NCFG；③

CF-BF=EF；④GF=®OF；⑤加+用=2而，正确的有.（填序号）

2.如图，在正方形/脑中，。是对角线4C与做的交点，〃是仇?边上的动点（点〃不与8,

C重合），CNLDM,CN与AB交干煎N,连接阳ON,MN.下列五个结论：Q2CN聆4

DMC-,②△敛恒△，枷③△OM2XOAD，,④4"+党=麻；⑤若AB=2,贝ljS△刖的最小

值是1,其中正确结论有.

3.如图，在，1所》中，N4仇？=45°,AB=642,笫=14.点M〃分别是边四，47的中点，

连接CM,BN,并取CM,以/的中点，分别记为点E,F,连接EF,则的长

为.

4.如图，在平行四边形被?。中，4=90°,4?=10,48=8,点户在边距上，B.BP=BC,

点"在线段8"上，点〃在线段8c的延长线上，且PM=CN,连接的交。于点F,过点M

作ME1.3于E,则EF=.

5.如图，以△/8C的边4C、3c为边向外作正方形4处和正方形8面冗连接4G、劭相交于

点4连接比、DG,取力8中点K连接雨并延长交〃G于点M下列结论：①AG=BD；

②MNLDG；③C0平分N2CG；④S△诙=5△诩；⑤N40C=45°.其中正确的结论有

（填写编号）.

6.如图，已知四边形48切为等腰梯形，AD//BC,AB=CD,AD=^,E为CO中点、,连接北,

且熊=2«,N%£=30°,作尸交&?于尸，则好的值为.

AD

△

Dpc

7.如图，正方形力成沙的边长是a,点£是对角线劭上一动点（不与点8、。重合），EFL

8c于点尸，fGJLQ?于点G,连接尸G.则下列结论：①四边形&CG是矩形；②四边形京治

的周长是2a；③S△叱+S△诋=25△的；@FG的最小值是李a.其中正确的结论

是.（填写所有正确结论的序号）

8.如图在正方形〃中，NE4尸的两边分别交期、以延长线于£尸点且NE4月=45°,

如果在'=1,DF=7,贝1］炉=.

A

D

9.如图，在矩形49G9中，48=4,AD=6,维平分N/l8a点尸在线段维上.BF=3版.过

点尸作FGJLDF交8c边于点G,交劭边于点H,则G4

10.如图，矩形力成步中，48=3,BC=A,平分N4JC交8c于点£,AF平自NBAD交BC

于点尸，交〃于点G,则要=.

11.对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，

且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的

“最优覆盖菱形”.

问题：如图，在△48。中，AB=AC,BC=4,且△48C的面积为例如果存在“最优

覆盖菱形”为菱形及物V,那么m的取值范围是.

12.如图，已知：PA=®PB=4,以48为一边作正方形熊必，使只。两点落在直线四

的两侧.当NX阳=45°时，则①的长为.

13.如图，正方形48Q的边长为3,连接劭，P、。两点分别在为大3的延长线上，且满

足.NPBQ=45".

(1)劭的长为;

(2)当劭平分N080时，DP、。。的数量关系为;

(3)当劭不平分N阳。时，D4Dg.

14.如图，四边形483是正方形，£是边8c上的任意一点，NAEF=90°,且配交正方形

外角的平分线C尸于点F,过点C作CH。交配的延长线于点H.若＞45=4,BE=\BC,

则CH=__________________.

15.如图，已知矩形483,AB=2,点£为对角线4C上一点(不与4C重合)，

过点£作方二况交为于点尸，连接〃尸，则罂的值等于.

Dr

16.如图，矩形/勿中，AD=®AB,4F平分N84),DFLAF干点、F,8尸的延长线交办于

点H.过尸作MN"DC、交朋于K交8c于N.若AA6,则。/的长为.

17.如图，点C在线段四上，等腰的顶角N4版=120。，点〃是矩形C际的对角线

。尸的中点，连接磔，若48=6加，AC^6,则啰的最小值为.

18.如图，正方形四3的边长为1,点£,尸分别为8C,3边的中点，连接〃；8尸交于点

P,连接股则下述结论：①血防②tanN"/得；③加=DP;④加?中，一定

成立的有.

19.如图，在矩形中，通29点£是边8c的中点，连接侣DE,分别交AC

点户、0,过点夕作外」/交比于点尸，下列结论：

①)4EAC=NEDB；②AP=2PF；③若S△胸=孕，则48=8；

3

④CE、EF=E6DE、其中正确的结论有.(填序号即可)

D

20.如图，Rt4/180中，N4以7=90°,4Q4,8g2.以为边作正方形4成也点M是边

8C上一动点，连接AM,过。作4%的垂线，垂足为N,连接CN.则线段翻的最小值

参考答案

1.解：：四边形4宓〃是正方形,

；.AB=BC,N/8C-90。,

ZABB-ZCBF=90°=NAB&ABAG,

：./CBF=NBAG,

又；N/4G5=NM?=90°,AB=BC,

:.XAB•XBCFQAAS),

：.AG=BF,BG=CF、故①正确；

CF-BF=BG-BF=FG,故③错误；

如图，连接GO,延长G。交我于乂作OM工EB于M,

•.,点。是4C中点,

**.AO=,CO、

'：AGLBE.CFA-BE,

:・AG〃CF、

：2GAO=/NCO、

又；NA0G=4C0N,

:、△AOgXCON<AS4,

：.GO=NO,AG=CN,

:・BF=CN,

:・GF=FN,

又NGFN=9C,GO=ON,

：,4GFO=4NFO=45。,OF1.GO.OF=GO=ON,

：.0F平方乙GFC,FG=®0F,故②，④正确；

■/OFA.GO,OF=GO、OMLFG,

：・FM=MG=OM,

,:F#+H(}=(F砧HM)2+{MG-HM)2=2*+2麻，物+麻=%

:・FV+HG=20#,故⑤正确，

故答案为：①②④⑤.

2.解：在正方形4仇力中，CD=BC,N及Q=90°,

・•・N8即/a290°,

又二,CN1DM,

：.NCD/HDCN=9G,

:・/BCN=/CDM、

又.：/CBN=4DCM=qC,

:ZNBQXDMC〈ASa,故①正确；

、：XCN时"DMC、

1,CM=BN,

又Y/0CM="BN=A50,00=OB,

•••△06侬△的V(S4S),

：.OM=ON,/COM乙BON、

ZDOOZCOM=ZCOB^ZBPN.段/D0M=/CON,

又；DO=CO,

:.△CONQXDOM<SA5,故②正确；

Y/B0N^NB0M=NC0%/B0M=9G,

・・.N胱W=90°,即△伙W是等腰直角三角形，

又•・•△力勿是等腰直角三角形，

:.△OMNsXOAD、故③正确；

,:AB=BC,CM=BN,

：.BM=AN.

又「Rt△喇中，加+加=麻，

・・・4"+却=的匕故④正确；

'：△OC^XOBN、

・•・四边形8欣W的面积=Z\80C的面积=1,即四边形8伙W的面积是定值1,

.•.当△制9的面积最大时，△掰/0的面积最小,

设8胆=x=CM,贝I]BM^2-x,

，△掰V?的面积=」x(2-x)=——%2+x,

22

...当X=1时，△的俗的面积有最大值卷,

此时S△丽的最小值是1-尹春，故⑤错误，

故答案为①②③④.

3.解：如图，连接维交C。于点G,连接G/V,过点G作G/ALZW于点//,

.•四边形力&?〃是平行四边形，

\AD=CB='4,CD=AB=6近,

点M〃分别是边形，4?的中点,

AN=DN=曰AD=1、BQ"B=3®

AB//CD,

•./BME=NGCE'NMBE=NCGE'

••点£是。/的中点，

\ME=CE,

在△曲和△CFG中，

"ZBME=ZGCE

<ZMBE=ZCGE,

,ME=CE

:ZE皓XCEG〈AAS),

：.BE=GE,BM=GC=3啦,

：.DG=CD-GC=3yf^,

•：ND=NABC=45°,GH1DN、

；.D4G4&DG=3,

2

:.N4DN-D41-3=A,

•••G4=VNH^H^=5,

■：BF=FN,BE=EG,

，）是△8G7V的中位线，

1R

：.EF=—GN=—.

22

故答案为：4-

4.解：如图，这点、M俱MH〃BC交.CP千H、

副乙MHP=NBCP,/NCF=4MHF,

\'BP=BC,

「・NBCP=/BPC,

：./BPC=4MHP,

\'PM=CN,

：.CN=MH,

'：MEI.CP,

:・PE=EH,

在△〃石和△叱中，

'NNCF=NMHF

<ZCFN=ZHFM,

CN=MH

:.△NCP2XMHF<AA5,

:・CF=FH、

：.EF=Ekh-FH=^CP,

•・•矩形彳成》中，/4Z?=10,

:・BC=AD=0

・•,BP=BC='O,

22=6

在RtZ\48户中，AP=7BP2-AB2=V10-8»

:・PD=AD-AP="6=4、

在Rt△CPD中,CP=4cD之+PD"482+42=4,

£尸=/c-£X4旄=2遂.

故答案为：2娓.

5.解：如图，连接4。，延长CM至H,疫M4CM,连接47,

,■,四边形加如是正方形，四边形8CGF是正方形,

：.AC=CD,BC=CG,NACD=NBCG=q0°,N40"45°,

上ACG=/BCD,

:.4AC昭XDCB(SAS),

：.AG=BD,ZCAG=ZCDB,NDBC=ZAGC,故①正确；

---ZCAG=NCDB,

二点。，点4点C,点。四点共圆，

：.2D0A=/ACgQG,ZADC^ZA0C^45°,故⑤正确;

AZBOC=45°=NAOC,

：.NAGONOCgNDC侪NODC,

是任意三角形，

不一定等于即勿与8c不一定相等，

J.NQ78与N47C不一定相等，

二N%0与NGCO不一定相等，

ACO不一定平分NDCG,故③错误；

:点〃是48的中点，

又yCM=MH,/CMB=/AMH、

:.△BCMQXAHM(SAS'),

AH=BC=CG,NH=2NBCH,NABC=NHAM、S△8n=

■•丛胸=S&ACH,

■：/DC9ZAC雌ZBCk\80°,N/AN外加N4C附=180°,

：.4CAH=ZDCG、

又,：AXDC、CG^AH,

：.^ACH^/\CDG(S/5),

•'•S^ACH=Sa.,Z.ACH=NCDG,

••S△硼，故④正确；

•.,//必=90°,

/.^DCf^^ACM=9Q°,

:・MN\DG,故②正确，

故答案为①②④⑤.

6.解：如图，延长4F交仇?的延长线于G,

,:E为a中点，

：.CE=DE,

•：AD//BC,

：.ZDAE=NG=30°,

在△?)宏和AGC《中，

'/DAE=/G

<ZAED=ZGEC,

CE=DE

:.△ADE^XGCE〈AA。,

：.CG=AD=®AE=EG=2g

••JG=4日£G=2后2T=4«,

•：AEAF,

.•/月=力aan30°=4«XK=4,

GQ4G+COS30。=4«+返=8,

过点力作AMI.BC于M,过点D作DN1.BC于N,

则MgAD=E

••・四边形48切为等腰梯形，

：.BM=CN,

=总><喙=6,

•••MG=4G・cos30°

CN—MG-MN-C^7=6--V^=6-

'：AF.LAE,AM工BC,

/.ZFAM=ZG=3Q0,

FM=AF-sin30°=4X—=2,

2

:.BF=BM-MF=b-2&-2=4-2M.

故答案为：4-2'日.

7.解：I.四边形48Q?是正方形，

：.BC=CD=a,NCBD=ZCDB=45°,BD=®BC=®a,

■：EFA.BC,EG±CD,Z67=90°,

四边形次冶是矩形，故①正确；

,:EFLBC,EGLCD,

:./DBXNBEF=45°,/CDB=4DEX45°,

：.BF=EF,DG=EG,

，四边形EFCG的周长=EG^F3ERGC=8外FOC侪DG=DC=2a,故②正确;

1.1.1

：心雨+沙产楙苏甘蔗，2Se=2X5■次XCG=EGXEF,

,・当fA-EG时，54延产5△把《=2S△纺6,

••.s△岐+s△颂不一定等于2s回、故③错误；

如图，连接打?,

•••四边形配冶是矩形，

：.FG=EC,

，当EC取最小值时，尸G有最小值，

.•.当劭时，有最小值，

此时

，尸6的最小值是返a,故④正确，

2

故答案为①②④.

8.解：如图，把△/!断绕点4逆时针旋转90°至IJ%,交CO于点G,

由旋转的性质可知，AG=AE,DG^BE,4DAG=NBAE,

•.•/日月=45°,

外尸4=5°,

又；NBAD=90°,

^GAF=45°,

在和△4G尸中，

'AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：./\AEF^/\AGF(.SAS')

：.EF=GF,

•；BE=1,DF=1,

：.EF=GF=DF-DG=DF-BE=1-1=6,

故答案为6.

9.解：如图，过点尸作8c的垂线，分别交8C、4?于点以N,则励吐他延长G尸交四

于点0,

••・四边形4仇?〃是矩形，48=4,AD=6,

.•./腕=90°,AD//BC,

■:BE平债乙ABC、

：.NABE=2EBg45°,

:.△MBF、XABE、ZXfTW是等腰直角三角形,

•；BF=3近,BE=f,

：.EF=BE-BF=^

:.E4NF=3

：.DE=2,DN=3,

：.AN=BM=FM=DN=3,

•：/DFG=/DNF=9Q°,

/FDg/GFM,

在A/TW和△的/中，

rZFDN=ZGFM

•DN=FM,

ZDNF=ZFMG

:.XFD哙XGFM〈AS4,

:.NF=MG=3

由勾股定理得：FG=FD=R,

•：ON//BC,

.FN=FQ=QN

,•而一而一而‘

.1_FQ_QN

.•京"THF

：.F0=^^-,QN=—,

33

设GH=x,贝I］历4x，

•：OD//BG,

.QD=QH

••前一丽’

i,n7iof—

+3+

.­.y=~yvio-x)

3+1x

•.•AY-_--8--V---T--O-.

11

即

11

故答案为：当

10.解：如图，过点G作距的垂线，分别交8c于点“，M,

：.MN=CD=AB=3,CM=DN,

,•・四边形48CZ?是矩形，

C.AD//BC,&?=4?=4,

・"£平分N/IOC交8c于点E,AF平分NBAD交8c于点F,

:./DAG=NADG=NGEF=NGFE=45°,

」.△/I/和△G£F均为等腰直角三角形，

：.GN^DN^—AD^2,

2

:.G4MN-GN=AB-G仁3-2=1,

MC=DN=2,

：.MF=GM^\,

CG=VGM2+MC2=Vl2+22=爬'

.CG_V5_V10

..而一77一亍

故答案为：叵.

2

11.解：•••△48C的面积为

△脑的仍边上的为高方，

如图：当高取最小值时，△/1&?为等边三角形,

点力与〃或4重合，

如图：过力作垂足为。

••,等边三角形力仇?，仇？=4,

^ABC=6Qa,BC=4,NB4g30°.

，故=2,

：.AD=J-22=2^/^,

即III=4A/3-

如图：

当高取取最大值时，菱形为正方形.

.••点4在做的中点,

.,.^•=4,即m=8,

危8,

故答案为：

12.解：-：AD=AB,ZDAB=90°,

.••把如绕点力顺时针旋转90°得到△/咫4。与48重合，外旋转到4月的位置，如

：.AP^AF,4PAF=9Q°,PD=FB,

.•.△力所为等腰直角三角形，

AAPF=^a,PF=®AP=2,

ZBPF=ZAPB^ZAPF=A50+45°=90°,

在Rt△商中，PB=4,PF=2,

•••由勾股定理得加2泥，

...阳=2^/^,

故答案为：2泥.

13.解：(1)..•四边形是正方形，

：.AB=AD^3,々=90°,

BD=yjAB2+AD2=V33+32=3V2(

故答案为：3加；

(2)解：当劭平分N月夕。时，

•：4PBg45°,

.•.N08〃=N"8X22.5°,

,•,四边形人成切是正方形，

：.AB=BC,ZA=ZC^90°,/ABXNCBD=45°,

：.ZABP=Z080=22.5°+45°=67.5°,

在△/加和△C80中，

，ZA=ZC

■AB=BC,

ZABP=ZCBQ

：./\ABP^/\CBO{ASA},

在△胸和△自劭中，

BQ=BP

-ZOBD=ZPBD,

BD=BD

：.4QBD^〉PBD(%S),

：.PD=OD,

故答案为：PMQD；

(3)当做不平分N用0时，

■：AB//CO,

：.4ABQ=4CQB,

■：/QB史/DB4/QB分/ABg45",

：.NDBP=NABQ=NCOB,

ZBDQ=ZADQ^rZADB=900+45°=135°,

ZBDP=ZCDP^ZBDC=9Q°+45°=135°,

4BDgNBDP,

:.△BQD^XPBD、

.BDQD

■•—•

PDBD

PD'09=B©=32+32=18,

故答案为：18.

14.解：过尸作砒18c交8c的延长线于KFN'CD^N、

:./FNC=NFMC=qQ°,

・"尸是NM砌的角平分线，

：.FM^FN,

则四边形是正方形，

:.CN=CM=FM=NF,

在48上截取旗=比；连接G£如图所示：则48把是等腰直角三角形,

BGE=NBEG=43°,

.・.四边形4仇力是正方形，

.\AB=BC,

:,AG=CE,

・・・N4GE=135°,•：NBGE=4S,

••・NBA3/GEA=45°,

由题意知，C尸为正方形外角的角平分线,

/.Z£6F=135°,

ZAGE=NECF,

■:AE1EF,

ZAEF=9QQ,

：・/CERNGEA=45°,

NGAE=NCEF,

在△/IGE和△&产中，

'/GAE=NCEF

<AG=EC,

ZAGE=ZECF

:.△AGEQXECF(ASA)

:・AE=EF,

在△/48E和△叱中，

zZABE=ZEMF=90°

<ZBAE=ZMEF,

AE=EF

:.△ABEQXEMF(/US),

：.BE=FM,AB=EM=A,

114

'/BE=—BC=—AB=—,

333

14

:・FM=±BC=NF=±,

33

o

.\DN=DC-NC=BC-BE=CE=—.

3

•"尸=瓜2+而2=¥，

o

、：CH'DF,

：.2DNF=,

NFDN=2CDH,

:.丛DNFS/\DHC,

.DF=FN

"CD-CH'

W5A

即3=3,

4CH

5

故答案为：

5

15.解：过点E作EM工8C,EN1DC于息M和N,

：,EM//AB,EN"AD、

.DEr：

故答案为：

16.解：根据题意可知：

MN=CD、

.・.四边形48。。是矩形，

：.ZBAD=90°,DCrAD,CD=AB=6,

；,MFLAD,MN=6,

丁力尸平分N&l。，

，BAF=/DAF=45°,

'：AB=6,

.\AD=y/2AB=6yf2,

、：DF工AF,

尸是等腰直角三角形，

:,AF=DF、

・•・点"是四的中点，

；・FM=WAD=3贬,人为△8。/的中位线,

：,FN=MN-FM=6-3&、FN=^CH,

••・CH=2FN=12_&[^.

故答案为：12-

.・.四边形&是矩形，点的是。尸的中点,

二点"是对角线，的交点，

：.MD=MC,

、：MJ工CD,

••DJ=JC、

・•・点"的运动轨迹是直线航/,当8吼LK/时，酬的值最小,

'：DA=DC,N40"120°,AC=6,

/.ZA=ZDCA=30°,

：・CD=--------

cos30

*'•CJ—DJ—»

・・・Cr=G/+cos30°=2,

■「48=6j"^,/4C=6,

：,BT=B8CT=(65/3-6)+2=65/3-4,

'：ZCJT=90°,NJCT=30°,

：.ZBTM=6Q°,

・•・阱®・sin60。=(6如-4)X亭=9-2近,

・•・刚的最小值为9-2虫.

故答案为：9-2«,

18.解：连接加；

,:E,尸分别是正方形4成/边8Q缈的中点,

An

：.CF=BE,一^=2,

DF

在△彳维和△8CF中，

'AB=BC

<ZABE=ZC,

BE=CF

.'.RtA^f^RtA^/7(5^5),

NBAE=NCBF,

又・・・N外日•/酩1=90°,

：・NCBf*/BEA=qG,

B