2021年中考数学核心考点强化突破12份（含解析）

2021年中考数学核心考点强化突破：方程、不等式的实际应用问题

类型1方程(组)、不等式的应用问题

1.某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2

分，负一场得1分，积分超过.15分才能获得参赛资格.

(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；

(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？

解：⑴设甲队胜了x场，则负了(10-x)场，根据题意可得：2x+10-x=18,解得：x

=8,则10—x=2,答：甲队胜了8场，负了2场；

(2)设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：2a+(10-a)>15,解得：a>5,「a为

整数，.••aJH、=6,答：乙队在初赛阶段至少要胜6场.

2.某新建成学校举行美化绿化校.园活动，九年级计划购买A,B两种花木共100棵绿化操

场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元.

(1)若购进A,B.两种花木刚好用去8000元，则购买了A,B两种花木各多少棵？

(2)如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最

低，并求出该购买方案所需总费用.

x+y=100fx=40

解:(1)设购买A种花木x棵，B种花木y棵，则:,,解得：，

50x+100y=8000|y=60

答：购买A种花木40棵，3种花木60棵；

⑵设购买A种花木a棵，则购买B种花木(100—a)棵，根据题意，得：100-a2a,解

得：aW50,设购买总费用为W,则W=50a+100(100—a)=-50a+10000,随a的增大

而减小，...当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元,

3.某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表:

蔬菜品种西红柿青椒西兰花豆角

批发价(元/kg)3.65.484.8

零售价(元/kg)5.48.4147.6

请解答下列问题：

(1)第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg,用去了1520元钱，这

两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？

(2)第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚

钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg?

x+y=300,x=200,

解：.(1)设批发西红柿xkg,西兰花ykg.由题意得解得

3.6—520.,y=100.

200X(5.4-3.6)+100X(14-8)=960(元).

答：两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元钱.

1590—36月

(2)设批发西红柿akg,由题意得(5.4—3.6)2+(14—8)*旦%±三21050.解得

O

aWlOO.

答：该经营户最多能批发西红柿100kg.

类型2方程(组)、不等式与函数的应用问题

4.某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨(含12

吨)时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小

黄家1月份用水24吨，交水费42元.2月份用水20吨，交水费32元.

(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；

(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；

(3)小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？

解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别为a元，b元.依题意得

」2a+l2b=42,[a—1,

■解得

12a+8b=32.Ib=2.5.

答：每吨水的政府补贴优惠价1元，市场调节价2.5元.

(2)当0WxW12时，y=x.当x>12时，y=12+2.5(x-12),.即y=2.5x-18.；.y=

x(0WxW12)

2.5x-18(x>12)

(3)当x=26时，y=2.5X26-18=65—18=47(元).

答：小黄家三月份应交水费47元.

5.某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价

的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.

(D求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

(2)如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分.可以

享受7折优惠，若购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

(3)在⑵的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，.

请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱.

解：(1)设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y.元，由题意得

5x+3y=231,

解得｛x=30,y=27.

2x+3y=141.

答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元.

(2)S0<x^20ff't,y=30x；Sx>20ff't,y=20X30+(x-20)X30X0.7=21x+180.Ay

130x(0<x^20)

-[21x+180(x>20)

(3)设购进玩具z件(z>20),则乙种玩具消费27z元;当27z=21z+180,则z=30.

所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；当27z>21z+180,则z>30.所以当购

进玩具超过30件,，选择购甲种玩具省钱；当27zV21z+180,则z<30.所以当购进玩具多

于20件少于30件，选择购乙种玩具省钱.

6.某工厂有甲种原料130A•0乙种原料144松•.现用这两种原料生产出A,B两种产品共

30件.已知生产每件A产品需甲种原料5检，乙种原料4检，且每件A产品可获利700元;

生产每件B产品需甲种原料3A■■乙种原料6且每件B产品可获利900元.设生产A

产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：

(1)生产A,B两种产品的方案有哪几种,

(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大

的方案，并求出最大利润.

l5x+3(30-x)<130

解：(1)根据题意得：一、一，解得18WxW20,；x是正整数，..一二

18、19、20,共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，

B产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；(2)根据题意得：y=700x+900(30-

x)=-200x4-27000,-200<0,，y随x的增大而减小,，x=18时,y有最大值,y.大

=-200X18+27000=23400元.答：方案一利润最大，最大利润为23400元.

2021年中考数学核心考点强化突破：规律探索问题

类型1数字规律

1.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1,乙报2,丙报3,再甲报4,

乙报5,丙报6,…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数,

则该同学得1分.当报数结束时甲同学的得分是一分.

解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1+3.=4,第3个数为1+3X2=7,第4

个数为1+3X3=10,…，第n个数为l+3(n—l)=3n-2,3n-2=2020,则n=674,甲

报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674+2=337个，得337分.

2.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5,若从某一顶点开始，沿五边形的

边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在

编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3-4-5fl为第一次“移位”，这时他

到达编号为1的顶点；然后从1-2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第

10次“移位”，则他所处顶点的编号为_苣_.

3.计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是_.

解析：l2+22+32+42+52+-+292+-+n2

=0X1+1+1X2+2+2X3+3+3X4+4+4X5+5+-(n-l)n+n

=(1+2+3+4+5+…+n)+[0Xl+lX2+2X3+3X4+-,,+(n—1)n]

n(n+1)-|-{1(1X2X3-OX1X2)+1(2X3X4-1X2X3)+1(3X4X5-2X3X4)

2000

+…+<[(n—1)•n•(n+1)—(n-2),(n-1)•n]}=n+^[(n-1)•n•(n+1)]

o4J

n(n+1)(2n+l)

6

29X(29+1)X(2X29+1)

・・・当n=29时,原式=-------------7-----------=8555.

类型2图形规律

4.观察下列的'‘蜂窝图"

第1个第2个第3个第4个

则第n个图案中的“”的个数是3n+l.（用含有n的代数式表示）

5.将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数，若第n个图形

中“O”的个数是78,则n的值是（B）

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOO

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

A.11B.12C.13D.14

解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1+2=3个小圆：第3个图形有1+2+3=

（1）

6个小圆;第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；第〃个图形有l+2+3+-+/?=--；t

个小圆；•.•第〃个图形中“O”的个数是78,.小二”1）,解得：〃产⑵加=—13（不

合题意舍去）.

6.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形,

挖去中间的一个小三角形（如图1）;对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种

做法继续下去（如图2,图3…），则图6中挖去三角形的个数为（C）

图1图2图3

A.121B.362C.364D.729

解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间

的（1+3+3?）个小三角形，…则图6挖去中间的（1+3+3433+3"+35）个小三角形,即图6

挖去,中间的364个小三角形，

类型3坐标变化规律

7.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a,b）,若规定以下三种变换：①△（a,b）=（一

a,b)；②。(a,b)=(—a,—b)；③Q(a,b)=(a,—b),按照以上变换例如：△(0(1,

2))=(1,-2),则O(Q(3,4))等于(—3,4)

8.如图，正△ABO的边长为2,0为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正

方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△AiBQ,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是―国

痘,翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为（臂©+

896)”

解析:如图作B3E_Lx轴于E,易知0E=5,BsE=小，，B3（5,木）,观察图象可知三次

一个循环，一.个循环点M的运动路径为⑵温黑0，“黑o"=（区段）”，

♦.♦2017+3=672…1,...翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（当士3万+半〃

=（"誓+896）

9.如图，AB，y轴，垂足为B,将AABO绕点A逆时针旋转到△AB。的位置，使点B的对应

点R落在直线丫=-与x上，再将△ABO绕点R逆时针旋转到△ABQz的位置，使点6的对

应点落在直线丫=一叁x上，依次进行下去…若点B的坐标是（0,1）,则点0⑵的纵坐标

•J

为（一9一9+3^^）,.

解：观察图象可知，0。在直线y—-1-x时，0012=6•002=6(1+73+2)=18+673,

二0”的横坐标=一(18+64)•cos30°=-9-&73,

0M的纵坐标=*OW=9+3，5,/.0,2(-9-9^3,9+34).

10.定义：直线L与L相交于点0,对于平面内任意一点M,点M到直线1卜L的距离分别

为P、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是

(1,2)的点的个数是(C)

A.2B.3C.4D.5

解析：如图，•；到直线［的距离是1的点在与直线7,平行且与71的距离是1的两条平

行线图、a2上，到直线4的距离为2的点在与宜线人平行且与乙的距离是2的两条平行线

氏、灰上，"距离坐标”是(1,2)的点是M,成，四，M,一共4个.

11.在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：如图形F上的所有点都在以原点为顶点

的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度.例如,

图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二次函数y=ax2(lWaW3)的图象在直线y=l下

方的部分沿直线y=l向上翻折，则所得图形的坐标.角度a的取值范围是(B)

A.30°WaW60°B.60°WaW90°

C.90°WaW120°D.120°WaW150°

12.赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图

所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点口,

17

Cl,C2,C3,…，Cn在直线y=—那十,上，顶点Di,D2,Da,•••,Dn在x轴上，则第n个阴影

解：设第n个大正方形的边长为a“，则第n个阴影小正方形的边长为点a,,,当x=0时,

□

1.77.7亚

y=x+=={,•*xil=32-1--^，32,32

"22?--25,同理可得：a3

99

222.•.a°=q)"Tai=mq)i,.•.第n个阴影小正方形的面积为

=Ta2,ai=-a3,a^=-at,

(害/=［铲了=(犷7

2021年中考数学核心考点强化突破：函数的实际应用问题

类型1方案与最值问题

1.江南农场收割小麦，己知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦』.4公

顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.

(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？

(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收

割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几

种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用.

解析：(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦

x+3y=1.4x=0.5

y公.顷，根据题意得:解得：J。.答：略.

2x+5y=2.5y=0n.3

(2)设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有(10—m)台，根据题意得：w

=300X2m+200X2(10-m)=200m+4000.V2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用

2X0.5m+2X0.3(10-m)N8

不超过5400元，一解得：5WmW7,.•.有三种不同方案.

[200m+4000W5400

=200m+4000中，200>0,；.w值随m值的增大而增大，.•.当m=5时，总费用取最小值,

最小值为5000元.答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低,

最低费用为5000元.

2.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建

筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(0)，占地面积为y(前.

(1)如图1,问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

(2)如图2,现要求在图中所示位置留2面宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小

敏说：“只要饲养室长比.(1)中的长多2勿就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否

正确.

*，，，/，，，，//////J，，，，，，，，，，，，,

xH-------x------H

图1图2

50—xI625

解：(1).；尸工・一万一=一5(%—25)2+寸，.•.当x=25时，占地面积最大，即饲养室

长x为25nl时，占地面积了最大：

50—(x—2)1

(2)'：y=x-----------------------=-5(*—26尸+338,.•.当x=26时，占地面积最大，即饲

养室长x为26m时，占地面积y最大；..9一25=1#2,.•.小敏的说法不正确.

3.(2017•河南)学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方，已知购买2个A种魔方和

6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.

(1)求这两种魔方的单价；

(2)结合社员们的需求，社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50

个).某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔

方更实惠.

购买一个A种魔方

❽送一个B种魔方归

解：(1)设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据题意得:

2x+6y=130x=20

解得:

3x=4yy=15

答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个.

(2)设购进A种魔方m个(0WmW50),总价格为w元，则购进B种魔方(100—m)个，根

据题意得：Wjjxij=20mX0.8+15(100—m)X0.4=10m+600；w=20m+15(100—m—m)

=-10m+1500.当w话&Vw活动：时，有10m+600<-10m+1500,解得：m<45；当w活动=

w话苟时，解得：m=45；当w附机>w.时，解得：45<mW50.综上所述：当45<mW50时，

选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m>45时，选择活动

二购买魔方更实惠.

类型2建立函数模型问题

4.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后，水流路线呈抛物线，

把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm

洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2c0的圆柱型水杯去接水，若水流所在

抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为24—8、历cm.

图1图2

解：建立如图的直角坐标系，过/作于G,交切于0,过必作"L/G于只由

题可得，四=12,图=必=6,故4—6,46=36,.,.&△/〃，/中，,，册—8,故园=8=%,

...园=12—8=4,由偌〃CC可得，XABQ^XACG,

•••%=整，即白，=告，，»=12,比三12+8=20,."(20,0),又\•水流所在抛物线

CGAGCG36

经过点〃(0,24)和8(12,24),.,.可设抛物线为y=a*+6x+24,把以20,0),8(12,24)

3Q

代入抛物线，可得抛物线为尸一万/+/+24,又•.•点2的纵坐标为10.2,.•.令尸10.2,

ZU□

3QLL

则10.2=一药"/+24,解得汨=6+8噂，用=6—8位(舍去)，.•.点£的横坐标为6+

8乖,又30,.•.9=30—(6+8/)=24—84.

5.湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了

2000。松淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同，放养10天的总

成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).

(1)设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；

(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(例)，销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:

20000(0WtW50)

m与t的函数关系为m=«”,MM一A。；y与t的函数关系如图所示.

100t+15000(50<t^l00)

①分别求出当0WtW50和50<t^l00时，y与t一的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大?

并求出最大值.(利润=销售总额一总成本)

10a+b=30.4a=0.04

解：(1)由题意，得:

20a+b=30.8'

(2)①当0Wt<50时，设y与t的函数解析式为丫=1<七+山，将(0,15)、(50,25)代

入，可求得y与t的函数解析式为：y=1t+.15；当50VtW100时，设y与t的函数解析

式为y=kzt+n2,将点(50,25)、(100,20)代入，可求得y与t的函数解析式为：丫=一2

t+30；②由题意，当0WtW50时，W-20000(1t+15)-(4001+300000)=36001,V3600

>0,.,.当t=50时，W/人=180000(元)；当50ctW100时，W=(100t+15000)(-^t+30)

一(400t+300000)=-10(t-55)2+180250,—.*.当t=55时，W簸大180250(兀).

综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元.

2021年中考数学核心考点强化突破：函数图像与性质的选、填

问题

类型1二次函数图像与字母的关系

1.如图，抛物线y=ax2+bx+c(aW0)的对称轴为直线x=-l,给出下列结论：

\/IOx

①b?=4ac；②abc>0；(3)a>c；④4a—2b+c>0,其中正确的个数有(C)

41个82个£3个4个

解：①•・•抛物线与x轴有2个交点，•••△=b2-4ac>0,①错误;@Va>0,对称轴在

y轴的左侧，；.a、b同号,Ab>0,Vc>0,Aabc>0,②正确；③・・、=—1时，y<0»

即a—b+cVO,:对称轴x=—1,，一上=—1,.*.b=2a,/.a—2a+c<0,即a>c,.③

正确；④•・•对称轴为x=-L,.・.x=-2和x=0时的函数值相等，即x=-2时，y>0,A4a

-2b+c>0,所以④正确.故选C

2.如图，抛物线yi=/x+l)2+l与y?=a(x—4尸一3交于点A(l,3),过点A作x轴的平

2

行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且1)、E分别为顶点.则下列结论：①a=g；②AC

=AE；③4ABD是等腰直角三角形；④当x>l时，yi>yz.其中正确结论的个数是(B)

41个A2个C.3个44个

2

解析：•.•两抛物线交于点A(l,3),.•.3=a(l—4)2—3,a.=§,故①正确；：E是抛物

线的顶点，...AE=EC,...无法得出AC=AE,故②错误；当y=3时，3=1(x+l)2+l,解得:

x.=l,X2=-3,则AB=4,AD=BD=2*,...AD,+BDZMAB、.♦.③AABD是等腰直角三角形,

19

正确；•.•5(x+l)2+l=W(x—4/一3时，xi=l,X2=37,・••当37>x>l时，yi>y2,故④错

误.

3.抛物线y=3x?—3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为(A)

A.y=3(x—3)2—3B,y=3x‘

C.y=3(x+3)2—3D.y=3x2—6

4.若函数y=x?—2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(A)

A.b<l且bWOB.b>l

a0<tb<lD.b<l

[△=(-2)2-4b>0

解：：函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，・・・，),解得

[bWO

bVl且bWO.

5.如图是二次函数y=ax"+bx+c(aWO)图象的一部分，对称轴为x=g,且经过点(2,0),

有下列说法：①abcVO；②a+b=O；(3)4a+2b+c<0；④若(0,y),(1,丫2)是抛物线上的

两点，则w=y2.上述说法正确的是(A)

A.④B.③④

C.@@④D.①②

6.二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象如图所示，若卜1=@+1>,—c,N=4a—2b+c,P=2a

7.下图是二次函数丫=2/十6*+。的图象的一部分，对称轴是直线x=l：①b?>4ac；②4a

—2b+c<0；③不等式ax'+bx+c>。的解集是x》3.5；④若(-2,y),(5,y2)是抛物线

上的两点，则yi<y?.上述4个判断中，正确的是(B)

A.@@B.①④

C.0@④D.②③④

8.下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实

数，x=3+n时的函数值大于x=3—n时的函数值；③若n>3,且n是整数，当nWxWn+

1时，.y的整数值有(2n—4)个；④若函数图象过点(a,y。)和(b,yo+1),其中a>0,b>0,

则a<b.其中真命题的序号是(C)

4①8.②C③D.@

解析：y有最小值1,故①错误；x=3+"和x=3—〃时的函数值相等，故②错误；：

抛物线尸V—6x+10的对称轴为x=3,a=l>0,.,.当x>3时，y随x的增大而增大，当

x=〃+l时，y=(P+1)—6(n+l)+10,当时，y=〃‘一6〃+10,(/?+1)2—6(/?+1)+

10-[/72-6/7+10]=2/?-5,：力是整数，.，的整数值有2〃-5+1=2〃一4个，故③正确；

•••抛物线—6x+10的对称轴为x=3,1>0,...当x>3时，y随x的增大而增大，x<

3时，y随x的增大而减小，'：y0+l>y0,.•.当0C3V3,0<6<3时，a>b；当a>3,b>

3时，a〈b；当0<a<3,6>3时，a<b,故④错误；故选C.

9.如图，二次函数丫=2乂2+6*+。3>0）的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的

横坐标分别为一1,3,与y轴负半轴交于点C,在下面五个结论中：①2a—b=0；②a+b+

c>0;③c=-3a；④只有当a=；时，AABD是等腰直角三角形；⑤使AACB为等腰三角形

的a值可以有四个.其中正确的结论是③④.（只填序号）

类型2三种函数的综合运用

10.一次函数丫=@*+1）和反比例函数y=£在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二

次函数y=ax?+bx+c的图象可能是（A）

解析：观察函数图象可知：a<0,b>0,cVO,・••二次函数y=ax」+bx+c的图象开口

向下，对称轴x=—《>0,与y轴的交点在y轴负半轴.

2a

11.若abVO,则正比例函数y=ax与反比例函数y=g在同一坐标系的大致图象可能是（B）

ABCD

12.在同一直角坐标系中，函数y=—：与y=ax-+l（a#0）的图象可能是（B）

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kix+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,

k1

与反比例函数y=12在第一象限内的图象交于点B,连接B0,若%诋=1,ta/?ZBOC=-,则

k2的值是（D）

14.如图，函数y=-x的图象是二、四象限的角平分线，将y=-x的图象以点O为中心旋

转90°与函数y=:图象交于点A,再将y=-x的图象向右平移至点A,与x轴交于点B,

则点B的坐标为（2,0）.

15.如图，一次函数yi=kix+b（kir。）的图象与反比例函数丫2=§（1<2甘0）的图象交于A、B

两点，观察图象，当yi>yz时，x的取值范围是x>2或一l<x<0.

16.如图，将二次函数y=x,一m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的

其余部分保持不变，形成新的图象记为y”另有一次函数y=x+b的图象记为yz,则以下说

法：①当m=l,且力与yz恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当b=2,且yi与y?恰有两

7

个交点时，n>4或③当m=—b时，1与y?一定有交点；④当m=b时，yi与y?

至少有2个交点，且其中一个为（0,m）.其中正确说法的序号为②④.

当直线y=x+b与抛物线相切时，也有三个交点.但bWl,故①错

误.

fy=x+2

②如图2中，观察图象知m>4时，外与yz恰有两个交点.由『2,,消去y得到

ly=­x+m

77

xJ+x+2—m=0,当△=()时，1—8+4m=0,.*.111=-,观察图象知当时，yi与y?

恰有两个交点.故②正确.③如图3中，当b=-4时，观察图象可知，yi与y?没有交点,

故③错误.

④如图4中，当b=4时，观察图象可知，b>0,外与y?至少有2个交点，且其中一个

为(0,b),故④正确.故答案为②④.

2021年中考数学核心考点强化突破：函数与几何综合运用

类型1存在性问题

存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行一一位置关系；等腰、直角三角形、

(特殊)平行四边形一一形状关系；最大、最小值一一数量关系等.

13

1.如图，已知二次函数yL—x'+7x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的

交点为B,过A、B的直线为yz=kx+b.

(1)求二次函数的解析式及点B的坐标；

⑵由图象写出满足外＜%的自变量X的取值范围；

(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得aABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求

出点P的坐标：若不存在，说明理由.

解：⑴将A(4,0)代入yi=-x^+^x+c,得-42+~^X4+C=0,解得c=3.所求二

44

13

次函数的解析式为y1=—x?+才x+3..当x=0时，yi=3,...点B的坐标为(0,3).

(2)满足y】Vy2的自变量x的取值范围是：xVO或x>4.

⑶存在，理由如下:作线段AB的中垂线1,垂足为C,交x轴于点R,交j轴于点P2.・；A(4,

____5

0),B(0,3),.,.0A=4,OB=3./.^y?fAAOBAB=V°^+OB2=5-V^AACPi

5

APiACAPi225

与灯2X013有公共/OAB,.../AACPy应&\0民即解得AP尸匚而OPi

xiijuaD~Eo

2577

=0A-APl=4-y=-,・••点B的坐标为(10).又・・•欣4P2cB与应ZXAOB有公共NOBA,

5

PBBCP田225257

.,./N△P2CBS〃〃\A0B.即解得PZB=Y•.而0P2=P2B-0B=7-3=>.・.

ABBO536o6

点P2的坐标为(0,一3).所求点P的坐标为4，0)或(0,-1).

2.如图，抛物线y.nax'+bx—3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点

C,且0C=30B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在y轴上，且/BDO=/BAC,求点D的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A,B,M,N为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

解：⑴由y=ax'+bx—3得C(0.-3),/.0C=3,V0C=30B,，OB=1,0),

[4a+2b—3=—3fa=l

把A(2,—3),B(—1,0)代入y=ax~+bx—3得，，，抛物线的

a—b—3=0b=-2

解析式为y=x>—2x—3；

⑵设连接AC,作BF,AC交AC的延长线于F,：A(2,-3),C(0,一3),；.AF〃x轴,

.\F(-1,-3),；.BF=3,AF=3,；.NBAC=45°,设D(0,m),则0D=|m,VZBDO=ZBAC,

.,.ZBD0=45°,；.0D=0B=l,A\m\.=l,，m=±l,AD.CO,1),D2(0,-1)；

O~/Ex

(3)设M(a,a?—2a—3),N(l,n),①以AB为边，则AB〃MN,AB=MN,如图2,过M

作ME_L对称轴于E,AFJ_x轴于F,则aABF丝ZiNME,；.NE=AF=3,ME=BF=3,A|a-l

=3,；.a=4或a=-2,AM(4,5)或(一2,5)；②以AB为对角线,BN=AM,BN/7AM,如

图3,则N在x轴上，M与C重合，，网。，-3),综上所述，存在以点A,B,M,N为顶点

的四边形是平行四边形，M(4,5)或(一2,5)或(0,-3).

类型2几何最值、定值问题

3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点0顺时针

旋转90°得到平行四边形A'B'0C'.抛物线y=-x?+2x+3经过点A、C、A'三点.

(1)求A、A'、C三点的坐标；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'0C'重叠部分的面积：

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大

面积是多少？并写出此时M的坐标.

2

解：(1)当y=0时，-X+2X+3=0,解得XI=3,X2=-L.,.€(-1,0),A'(3,0).当

x=0时，y=3,3).

(2)设A'C与OB相交于点D.(—1,0),ACO,3),，B(L3).：.0B=yj32+l2=

1Q

〈lb..・.S,A=5><1><3=5.又・・•平行四边形ABOC旋转90°得到平行四边形A'B'0C'，

AZAC0=Z0C,D.XVZAC0=ZAB0,AZAB0=Z0CzD.又「NC'0D=ZA0B,

人，ASACoo/0C'、2/1、23

AACOD^ABOA.---=(-7=)'.ASAC'OD=-

1△BOAUD\l10NU

(3)设M点的坐标为(m,—m2+2m+3),连接0M.SAA^'=S△M<)A'+SAW—SA.WA=gx3X(—

113933.273

in2+2m+3)+5X3X111—/X3义3=—亍/+即=—不加一寸+g.(0VmV3)当m=押,SAAMA-

取到最大值,，.Fl(|,牛).

4.如图，已知抛物线y=ax2—2#ax—9a与坐标轴交于A,B,C三点，其中C(0,3),ZBAC

的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线1与射线AC,AB分别交于点M,N.

(1)直“接写出a的值.、点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若aPAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

(3)证明：当直线1