2021年中考数学压轴模拟试卷03（山西省专用）（解析版）

2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷

2021年中考数学压轴模拟试卷03（山西省专用）

（满分120分，答题时间120分钟）

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.计算1一3的结果是（）

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】B

【解析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题

的关键.

1-3=1+（-3）=-2.

2.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、

器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简

图中，不是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】根据轴时称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

4是轴对称图形，故本选项不合题意;

8.是轴对称图形，故本选项不合题意;

C.不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D是轴对•称图形，故本选项不合题意.

3.下列运算正确的是（）

A.3a+2a=5a2B.-8/+4。=2。

C.（-2〃丫=-8/D.4a3.33=12。6

【答案】C

【解析】利用合并同类项、单项式除法、塞的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可.

A.3Q+2Q=5Q,故A选项错误；

B.一8。2+4。=一2。，故B选项错误;

C.（―2/丫=_&/6,故C选项正确；

D.4a3.3/=12a5，故D选项错误.

4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该

位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）

【答案】A

【解析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视

图图形即可.

从正面看所得到的图形为A选项中的图形.

【点拨】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从

上面看到的图象是俯视图.掌握以上知识是解题的关键.

DE1

5.如图，点£是%BCO的边AO上的一点，且一=-,连接8E并延长交C。的延长线于点E若

AE2

DE=3,DF=4,则QABC£>的周长为()

C.34D.42

【答案】C

【解析】•••四边形A8CD是平行四边形,

,.AB//CF,AB^CD,

AABESADFE,

DEFD1

AE~AB~2

:DE=3,DF=4,

\AE=6,48=8,

\AD=AE+DE=6+3=9,

,.平行四边形ABC。的周长为：(8+9)义2=34.

'2x+5〉3(xT)

6.不等式组:4X:X+7的解为()

,x~2~

A.8<x<l.B.l<x<8.C.3<x<5.D.2<x<16.

【答案】B.

【解析】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式

组的解集.

解不等式2x+5>3(x-1),得：x<8,

解不等式得：x>l,

2

不等式组的解集为：l〈xV8.

7.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，Z

ABC=90°,C4L轴，点C在函数y=k(x>0)的图象上，若AB=1,则k的值为()

A.1B.返C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】根据题意可以求得0A和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得上的值，本题得

以解决.

,等腰直角三角形A8C的顶点A.8分别在x轴、y轴的正半轴上，NABC=90°,CA_Lx轴，1,

：.ZBAC=ZBAO=45°,

，OA=OB=返，AC=®

2

.,.点C的坐标为（返，、历），

2

•.•点C在函数y=K（x>0）的图象上，

X

"=四后1

8.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘，其形状是扇形的

一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=5。=12cm,C,。两点

之间的距离为4CT?7,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是（）

图①图②

A.SQ/rcm2B.40%cm2C.24兀c*D.2^cnr

【答案】B

【解析】先证明△COD是等边三角形，求解。C,。。，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可

得答案.

如图，连接CD,

OC=OD,NCOD=60。,

.,□COD是等边三角形，

-CD=4,

.-.OC=OD=4,

AC=80=12,

OA=OB-16,

6（）万*162x4?

所以则图中摆盘的面积S扇形.—S扇形诩=-^------—一=40万。加2.

JOUJOU

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

9.关于二次函数y=/+2x-8,下列说法正确的是（）

A.图象的对称轴在y轴的右侧

B.图象与y轴的交点坐标为（0,8）

C.图象与x轴的交点坐标为（-2,0）和（4,0）

D.y的最小值为-9

【答案】D

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而

可以解答本题.

【解析】二次函数y=/+2x-8=（x+1）2-9=（x+4）（x-2）,

•••该函数的对称轴是直线x=-1,在），轴的左侧，故选项A错误；

当x=0时，y=-8,即该函数与y轴交于点（0,-8）,故选项B错误；

当y=0时，x=2或x=-4,即图象与x轴的交点坐标为（2,0）和（-4,0）,故选项C错误：

当x=-1时，该函数取得最小值y=-9,故选项O正确。

10.一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，然后

放回摇匀，再随机摸出一个.下列说法中，错误的是（）

A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球

B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球

c-第一次摸出的球是红球的概率是:

D.两次摸出的球都是红球的概率是三

9

【答案】A

【解析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案.

4第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误：

员第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；

•不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，.♦.第一次摸出的球是红球的概率是士故本选项正确；

3

D共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次

摸出的球都是红球的概率是士故本选项正确.

9

第n卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.计算：3娓一疵=.

【答案】2旗.

【解析】直接合并同类二次根式即可求解.

原式=2遍.

12.数轴上0,4两点的距离为4,一动点夕从点月出发，按以下规律跳动：第1次跳动到40的中点

4处，第2次从4点跳动到4。的中点4处，第3次从4点跳动到4。的中点4处，按照这样的规

律继续跳动到点4,4,4,…，A„.（〃》3,〃是整数）处，那么线段4/的长度为（心3,

〃是整数）.

P

O出力2月14

【答案】4-3.

2"/

【分析】根据题意，得第一次跳动到力的中点4处，即在离原点的长度为，x4,第二次从4点跳

2

动到4处,即在离原点的长度为（-）*2X4,则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（1）”X4=，y,

222"2

再根据线段的和差关系可得线段AJ的长度.

【详解】由于曲=4,所有第一-次跳动到物的中点4处时，0Ai=-0A=—xA=2,同理第二次从4

22

点跳动到4处，离原点的（,）2><4处，同理跳动〃次后，离原点的长度为（［）"X4=」于，故

222"-2

线段4/的长度为4一一I（〃23,〃是整数）.

2r2

13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运

动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：

甲12.012.012.211.812.111.9

乙12.312.111.812.011.712.1

由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选

中的运动员是.

【答案】甲

【解析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案.

解：x'i'=-(12.0+12.0+12.2+l1.8+12.1+11.9)=-x72=12,

66

-X4=—1(/12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1、)=12x72=12,

66

甲的方差为

22

1[(12.0-12)+(12.0-12)+(12.2—12)2+(11.8—12)2+(12.1-12)2=lx01=±(

乙的方差为

,[(12.3-12)2+(12.1—12)2+(11.8-12)2+(12.0-12)2+(11.7—12)2+(12.1—12)2

-x0.24=—

625

6025

即甲的方差〈乙的方差,

甲的成绩比较稳定.

故答案为甲.

【点睛】本题考查了方差的定义.一般地，设n个数据，芭,々，…％”的平均数为X，则方差为

的一引.

52=-q2+(—)-+••.+(%

14.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场

对口罩需求量大增，为满足市场需求.工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200

个.口罩日产量的月平均增长率为.

【答案】10%.

【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意，得

20000（l+x）2=24200

解得犬1=-2（舍去），jr2=0.1=10%,

15.如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航

行24〃加/e到达8处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，

当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile.（结果保留一位小数，

V3M.73)

【答案】20.8.

【分析】过P作PDLAB于D,易证△A8P是等腰三角形，得到BP=AB=24nmile.然后在直角△

P8O中，利用三角函数的定义求得尸。的长即可.

【解析】过P作POLA8于。.

'：ZPAB=30a,ZPBD=60°,

.".ZPAB^ZAPB,

：.BP=AB=24nmile.

在直角△P8O中，PC=8P・sin/P8O=24x9=12V5*20.8(nmile).

即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8“"由e.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤）

16.（8分）（1）计算（-12/25）（-3/5）

【答案】4/5

【解析】(-12/25)L(-3/5)

=(-12/25)X(-5/3)

=4/5

、收h4/X+2x~—2xx—4j..,

（2）先化简再求值：（-----------------）+-----，其中x=4tan450+2cos30°.

x-2-4x+4x-2

【答案】见解析

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再据特殊锐角三角函数值求得x的值,

代入计算可得.

原式『之x(x-2)x-4

-------h-----

。-2)~--x-2

/x+2x、x-2

(----------)•-----

x—2x-2x-4

__x__•_x__-_2_

x-2x-4

x

7^4

@=4+6

当x=4tan450+2cos30°=4x1+2x时,

2

的I、4+64+64月+3

原式=---尸——=—尸一=-------.

4+V3-4V33

17.（8分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元.为了拓展销路，商店准备打折销售.若

使利润率为20%,则商店应打几折？

【答案】8

【解析】设商店打x折，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出

结论.

设商店打X折,

依题意，得:180x--120=120X20%,

解得：x=8.

18.（9分）如图，四边形。钻。是平行四边形，以点。为圆心，OC为半径的口。与43相切于

点、B,与A。相交于点O，A。的延长线交口。于点E，连接£3交OC于点F,求NC和NE的

度数.

【答案】45°,22.5°

【解析】连接OB,即可得NO84=90°.再由平行四边形得出/BOC=90°,从而推出NC=45°,再由平

行四边形的性质得出NA=45°,算出/AOB=45。，再根据圆周角定理即可得出/E=22.5；

解：连接08.

QA5与□。相切于点8,

：.OB1AB.ZOBA=90°.

•.•四边形。A5C是平行四边形，

..AB//OC

；.NBOC=NOBA=90°

•;OB=OC，

,-.ZC=ZOBC=1(1800-NBOC)=gx(180。—90。)=45。

•••四边形OABC是平行四边形，

.•.ZA=NC=45°

ZAOB=180°-ZA-AOBA=180°-45°-90°=45°.

Z£=-NDOB=-ZAOB=，x45。=22.5°.

222

【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的性质，关键在于根据条件结合性质得出角度的变换.

19.（10分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是

“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、Q.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意

向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有一名，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为一度;

（2）请你将条形统计图补全；

（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的

学生共有多少名？

（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一

个项目的概率.

【答案】见解析。

【解析】（1）本次被抽查的学生共有：20・40%=50（名），

扇形统计图中％书画类”所占扇形的圆心角的度数为蔡x36。。=72。；

故答案为：50,72；

（2）8类人数是：50-10-8-20=12（人），

补全条形统计图如图所示：

8-

(3)—x600=96名,

50

答：估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有96名;

（4）列表如下：

ABCD

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)(£>,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)(£),D)

由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，

•••王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率=白=；.

20.（10分）如图，C为线段A8外一点.

（1）求作四边形ABC。，使得CQ〃AB,且CD=2A&（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕

迹）

（2）在（1）的四边形ABC。中，AC,8。相交于点P,AB,C£＞的中点分别为M,N,求证：M,

P,N三点在同一条直线上.

r--------------------'B

【答案】见解析。

【分析】（1）利用尺规作图作CZ）〃AB,且CD=2AB,即可作出四边形A8CZ）；

（2）在（1）的四边形A8C。中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M,P,N三点在同一条

直线上.

【解析】（1）如图，四边形48co即为所求;

:"ABP=/CDP,』BAP=/DCP,

：./XABP^/XCDP,

.ABAP

・"CD-PC'

・・,AB,CO的中点分别为M,N,

：.AB=2AM,CD=2CN,

.AMAP

•,CN.PC

连接MP,NP,

•：/BAP=NDCP,

J△APMs/XC/w,

・・・NAPM=NCPN,

•••点P在4c上,

ZAPM+ZCPM=180°,

••NCPN+NC尸例=180°,

：.M,P,N三点在同一条直线上.

21.（12分）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；

在点M北偏东45°方向上距离6V2千米处是学校艮（参考数据：sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,

tan36.5°=0.75）.

北

4

（1）求学校A,8两点之间的距离；

（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C,使得A,B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个

最短距离.

【答案】见解析。

【分析】（1）过点A作C£>〃MN,BE1.MN,在中求出CM,AC,在中求出

BE,ME,继而得出A。，8。的长度，在RtZ\A8O中利用勾股定理可得出A8的长度.

（2）作点B关于MN的对称点G,连接AG交于点P,点尸即为站点，求出AG的长度即可.

【解析】（1）过点4作CQ〃MMBE工MN,如图：

在RtZXAC例中，/CAM=36.5°,AM=^5kin,

Vsin36.5°=冬=0.6,

.\CA=3,MC=4km,

在RtaMBE中，ZNMB=45Q,MB=6在km,

•,Ac°BE、12

…加=乘=7

:.BE=6,ME=6km,

：.AD=CD-CA=ME-CA=3km,BD=BE-DE=BE-CM=2km,

在RtZVIB。中，

（2）作点8关于MN的对称点G,连接AG交MN于点P,连接尸8,点尸即为站点,

此时用+PB=/^+PG=4G,即A,8两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长

在Rt/XADG中，A£>=3,DG=£>E+EG=OE+3E=4+6=10,ZADG=90°,

：.AG=vAD2+DG2=V32+102=、砌h”.

答：最短距离为Vi丽h”.

北

.

如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），

连接OE，作石尸1_£坦交射线84于点尸，过点E作M7V〃3c分别交CO,AB于点/、N,

作射线。F交射线C4于点G

（1）求证：EF=DE；

（2）当AF=2时，求GE的长.

【答案】（1）见解析；（2）GE的长为（后，50

【解析】（1）要证明EF=DE,只要证明^DME丝ZXENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的

性质，可以得到△DMEV^ENF的条件，从而可以证明结论成立；

（2）分两种情况：①当点F在线段AB上时，②当点F在BA的延长线上时；均可根据勾股定理和

三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长.

【详解】（1）证明：；四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

/ECM=45°,

：MN〃BC,ZBCM=90°,

ZNMC+ZBCM=180°,ZMNB+ZB=180°,

.\ZNMC=90°,ZMNB=90°,

.'.ZMEC=ZMCE=45°,ZDME=ZENF=90°,

・・・MC=ME,

•・・CD=MN,

・・・DM=EN,

VDE1EF,ZEDM+ZDEM=90°,

VZDEF=90°,

.•./DEM+NFEN=90。，

；./EDM=/FEN,

在Z^DME和AENF中

ZEDM=ZFEN

<DM=EN,

NDME=/ENF

.".△DME^AENF(ASA),

EF=DE

D________yC

/A.F\NB

(2)如图1所示，由(1)知,△DME^AENF,

0£>_________MC

图1

.,.ME=NF,

•.•四边形MNBC是矩形，

，MC=BN,

又・・'ME=MC,AB=4,AF=2,

.,.BN=MC=NF=1,

VZEMC=90°,

・・・CE=0,

•・・AF〃CD,

.-.△DGCCOAFGA,

,CDCG

••二,

AFAG

.4CG

••—,

2AG

VAB=BC=4,ZB=90°,

・・・AC=4&，

VAC=AG+GC,

.s_4及…蚯

••AU------，-----，

33

.c—rrr匚―8啦A5屈

..GrE=GC-CE=-----72=------；

33

如图2所示，

/G图2

同理可得，FN=BN,

VAF=2,AB=4,

AAN=1,

VAB=BC=4,ZB=90°,

*'•AC=4yp2，

•・・AF〃CD,

AAGAF^AGCD,

.CDCG

••=,

AFAG

即4AG+40

2AG

解得，AG=40,

；AN=NE=1,NENA=90。，

；・AE=72，

；.GE=GA+AE=5血.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似判定和性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

23.（14分）综合与探究

1,

如图，抛物线y=-x-》一3与x轴交于A，B两点（点A在点3的左侧），与＞轴交于点C.直

-4

线/与抛物线交于A，。两点，与y轴交于点E，点。的坐标为（4,一3）.

（1）请直接写出A,8两点的坐标及直线/的函数表达式；

（2）若点尸是抛物线上的点，点尸的横坐标为阳（m20）,过点尸作PMLx轴，垂足为M.PM

与直线/交于点N,当点N是线段PM的三等分点时，求点尸的坐标；

（3）若点。是＞轴上的点，且NAOQ=45。，求点。的坐标.

【答案】⑴A(—2,0),8(6,0),直线/的函数表达式为：y=—⑵当点N是线段PM

的三等分点时，点P的坐标为(。,一3)或(3,一：；(3)点。的坐标为(0,9)或(0,一.

【解析】(1)令一V—%—3=0,可得A,5两点的坐标，把A,。的坐标代入一次函数解析式可得/的

4

解析式；

(2)根据题意画出图形，分别表示P,M,N三点的坐标，求解的长度，分两种情况

讨论即可得到答案；

(3)根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点。在y轴正半轴上时，记为点0].过点2作

直线/,垂足为再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，

②如图，当点。在V轴负半轴上时，记为点Q.过点必作Q2G，直线/,垂足为G,再利用相似

三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案.

1,

解：(1)令一x—x—3=0,

4

X2-4x-12=0,

/.(X-6)(x4-2)=0,

x]=-2,x2=6.

.・.A(—2,0),3(6,0),

设直线/的函数表达式为：y"+b,

把A(—2,0),0(4,—3)代入得：

-2k+b=0

4k+b=-3

L__l

解得：\2

b=-\

直线/的函数表达式为：y=--x-i.

2

（