2021年中考数学压轴题满分训练 –几何综合问题

2021年中考数学压轴题满分训练-几何综合问题

1.如图，两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，且NDFE=

ZACB=60°,BC=1,EF=2.设EC=m(0WmW4)点M在线段AD上，且

ZMEB=60°.

(1)如图1,当点C和点F重合时，专器=

(2)如图2,将图1中的aABC绕点C逆时针旋转，当点A落在DF边上时，求

错的值；

(3)当点C在线段EF上时，ZXABC绕点C逆时针旋转a度(0va<90°),

2.在AABC中，ZBAC=90°,点E为AC±=点，AB=AE,AG±BE,交BE于

点H,交BC于点G,点M是BC边上的点.

(1)如图1,若点M与点G重合，AH=2,BC=V26,求CE的长；

(2)如图2,若AB=BM,连接MH,NHMG=NMAH,求证:AM=2=&HM；

(3)如图3,若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点M,连接AN、MN、

EN,请直接写出NAMH、NME、NMNE之间的角度关系.

图1图2图3

B

3.已知NAOB=a(0°<a<90°)，点P、点M分别在射线OA、OB上，ZPMO

为钝角，将线段PM绕点P顺时针旋转180°-a,得到线段PN,连接ON.

（1）如图1

①求证：NOMP=ZOPN；

②若a=45°,OP=2,直接写出AOPM的面积为；

（2）如图2,点C在射线OB上，使PC=OM,点D为MC的中点，连接PD.

①若a=60°,求证:AOPD是等边三角形；

②若a=30°,直接写出NOPD的度数为

4.（1）问题发现：

如图1,在aABC中，AB=AC,NBAC=90°,点D在线段BC上运动（不与点

B重合），连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.填空:

线段BD和CE的数量关系为,位置关系为:

（2）探究证明：如图2,在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上运动，请

你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图3,在锐角4ABC中，ABWAC,AC=2=V2,ZACB=4°,若点D在线段

BC上运动，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AB,连接EC,

过点D作DF±AD交CE于点F.请求出线段CF收得最大做时aADC的面积.

图1图2图3

5.已知aABC是等边三角形，AD±BC于点D,点E是直线AD上的动点，将BE

绕点B顺时针方向旋转60°得到BF,连接EF,CF,AF.

(1)问题发现:如图1,当点E在线段AD上时，且NAFC=35°,则NFMC的度

数是;

(2)结论证明：如图2,当点E在线段AD的延长线上时，请判断/AFC和NFMC

的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展延伸:若点E在直线AD上运动，若存在一个位置，使得4ACF是等腰直

角三角形，请直接写出此时NEBC的度数.

6.(1)D为aABC上一点，ZADC=60°,ZACD-ZEBD=60°,SAADB=9V3.

①如图(1),若BD=CD.求证，AC=BE；②如图(2),CD=2DB,BE平分

ZABD,求AB•ED的值.

(2)如图(3),将RZkABC顺时针旋转a，(K«90)得到AB=2.

BC=1.AE、BD交于点F,在运动过相中BF的最大值为.

7.综合与实践，探究特殊三角形中的相关问题问题情境：

某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板

ABC和AFE按如图1所示位置放置，且RtAABC的按短直角边AB为2,现将

RtAAEF绕A点按逆时针方向旋转a(00<a<90°),如图2,AE与BC

变于点M,BC与FF交于点N,BC与EF交于点P.

（1）初步探究:勤思小组的同学提出：当旋转角a=时，AAMC是等

腰三角形；

（2）深入探究:敏学小组的同学提出在旋转过程中.如果连接AP,CE,那么AP所

在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；

（3）再探究:在旋转过程中，当旋转角a=30°时，求AABC与△AFE重叠的面

积；

（4）拓展延伸：在旋转过程中，^CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋

转角a的度数:若不能，说明理由.

8.如图，点B,C,D在同一条直线上，4BCF和4ACD都是等腰直角三角形.连接

AB,DF,延长DF交AB于点E.

（1）如图1,若AD=BD,DE是4ABD的平分线，BC=1,求CD的长度：（2）

如图2,连接CE,求证:DE=&CE+AE:

（3）如图3,改变ABCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A,C不

重合）.将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP,取AD的中点O,连接OP.当AC

=2时，直接写出OP长度的最大值.

9.在R4A0B和R4C0D中，ZAOB=ZCOD=90°,直线AC与BD交于点M.

（1）如图1,若ZOAB=ZOCD=45°，填空：①器的值为

AL

-:②NAMB的度数为.

（2）如图2,若NOAB=ZOCD=a,求器的值（用含a的式子表示）及

NAMB的度数；

3）若NOAB=ZOCD=30°,OD=2,OB=4,将三角形OCD绕着点O在平面

内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长.

图1图2图3

10.如图，在aABC中，AC=BC,NACB=CB点D、E在AB边上（点D在点E

的右侧），且NACB=2NDCE.将线段CD绕点C'针旋转a角得到线段CF,连

接AF、EF.

［感知］如图①，当a=60°时，则4CBD丝ACAF,ACDE^ACFE.（不需要证

明）

［探究］如图②，当a=90°时，（1）NEAF的度数为.（2）线段AE、

ED、DB之间什么数量关系?请说明理由.

［应用］（3）如图③，当a=120°,ZBCD=15°时，请直接写出ABCD、

△DCE、4ACE这三个三角形的面积比.

11.如图，R4ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6.点P从点A出发，沿射线

AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A里合时，将

线段PM绕点P旋转使PH〃AC（点N在点P右侧），过点A'作A'M±AB

交射线AB于点M.设点P运动的时间为t（秒）（1>0）.

(DAM的长为(用含t的代数式表示).

(2)求点A'落在边BC上时t的值.

(3)当AABC与aPM'M重叠部分图形为三角形时，设三角形的面积为S(平方

单位)，求S与t之间的函数关系式.

(4)设点A'关于直线AB的对称点为A",连接A"B,当直线A"B和4ABC

的边垂直时，直接写出t的值.

12.(1)(问题发现)如图1,ZSABC和4ADE均为等边三角形，点B,D,E在同

一条直线上.填空:①线段BD,CE之间的数量关系为；②NBEC=

(2)(类比探究)如图2,AABC和4ADE均为等腰直角三角形，ZACB=

ZAED=90°,AC=BC,AE=DE,点B,D,E在同一条直线上，请判断线段

BD,CE之间的数量关系及NBEC的度数，并给出证明.

(3)(解决问题)如图3,在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5,点

D在AB边上，DE_LAC于点E,AE=3,将4ADE绕点A旋转，当DE所在直线

经过点B时，CE的长是多少？(直接写出答案)

13.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90°,

ZB=30°,

［操作发现］①如图2,固定△ABC,使ADEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边

上时，则NACD的度数是:②aBDC的面积与4AEC的面积之间的数

量关系是.

［探究论证］当ADEC绕点C旋转到图3所示的位置时，猜想4BDC的面积与

△MEC的面积的数量关系，并说明理由.

B

14.［问题发现］如图1,在R4ABC中，AB=AC,D为BC边上-点(不与点B、C

重合)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AEo连接EC,则线段BD与CE

的数量关系是，位置关系是:

［探究证明］如图2,在R4ABC和R4ADE中，AB=AC,AD=AE,将4ADE绕

点A旋转，当点C,D,E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明

理由；

《拓展延伸」如图3,在R4BCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,将4ACD绕

顺时针旋转，点C对应点E,设旋转角NCME为a(0°<a<360°),当点C,

D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度.

15.如图1,在RAACB中，ZACB=90°,AB=2BC,点M,F分别为边AB,

AC的中点，点D在边AC上，且CD=2AD,点N为CD的中点，过点D作

DE〃AB交BC于点E,点G为DE的中点.将4DCE绕点C顺时针旋转，旋转角

为a.连接MG,FM.

(1)当a=0°时，得=:直线MG与直线FN相交所成的较小夹角

的度数为.

（2）拓展应用

若AB=4,直线MG和直线FN交于点0,在旋转的过程中，当点O与点N重合

时，请直接写出线段FN的长.

16.(1)如图1,在aABC内有一点D,且AD=BD=CD,若NBAC=40°,则

ZDBC=°.

（2）如图2,在aABC中，ZCAB=ZCBA=45°,AB=\sqrt2.作线段CD=3,

将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE、AD、BE.求

证：4ACD之ZSBCE:

（3）在（2）的条件下，设AD、BE所在直线交于点Q（如图3）,求4ABQ面积

的最小值.

17.如图1,在RAABC中，ZB=90°，AB=4,BC=2,点D,E分别是边BC,

AC的中点，连接DE.将4CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a.

（1）问题发现

①当a=0°时，需=:②当a=180°时，需=:

（2）拓展探究

试判断当0°<a<360°时，票的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明：

DU

（3）问题解决当4CDE绕点C逆时针旋转至A,B,E三点在同一条直线上时，求

线段BD的长.

18.直线111〃11,点人、B分别在直线m,n±（点A在点B的右侧），点P在直线m

上，AP=^AB,连接BP.将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC,连接AC

交直线n于点E,连接PC,且4ABE为等边三角形.

（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出NABP与NEBC的数量关系是

，AP与EC的数量关系是.

（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立?若成立，请给予证明:

若不成立，请说明理由.

（3）如图②，当点P在A的左侧时，若aPBC的面积为苧，求线段AC的长.

19在R4ABC中与RADCE中，ZACB=ZDCE=90°,NBAC=NDEC=30°,

AC=DC=百.将RaDCE绕点C顺时针旋转，连接BD,AE,点F,G分别是

BD,AE的中点，连接CF,CG.

（1）观察猜想如图1,当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是

,位置关系是;

（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立?如果成立，请权

就图2的情形给出证明：如果不成立，请说明理由，（3）问题解决在R