2021年中考数学综合题冲刺24 因动点产生的面积问题（拔高）（含答案及解析）

专题24因动点产生的面积问题（提优）

一次函数）=*+4的图象与x轴相交于点A,与y轴相交于点8,。为坐标原点.

（1）求点B的坐标；

（2）请在坐标系中用描点法画出该函数的图象；

（3）若点C是该函数图象上的动点，当aOBC的面积为6时，求点C的坐标.

【分析】（1）根据当x=0时，夕=4,即可得出点3的坐标为（0,4）；

（2）根据点A㈣点8的坐标，用描点法即可画出该函数的图象；

2

（3）设点C的坐标为（x,-X+4）,则点C到），轴的距离为国.依据△OBC的面积为6,列方程求解即可

得到点C的坐标.?,''*

7

【解答】解：⑴在尸1+4中,当x=0时，），=4,

点8的坐标为.（0,4）；\；<

.（2）在尸学+4中；当尸。时，x=-6,「

.•.点A的坐标为（-§,（））；•,

函数图象如图所示：

■

2

（3）设点C的坐标为（x,-x+4）,则点C到y轴的距离为国.

丁点B的坐标为（0,4）,

/.6B=4,

「△O8C的面积为6,

解得x=±3,

...点C的坐标为（3,6）或（-3,2）.~

【/评】本题主要考章了一次就数图象上点的坐标特征,篦决问题的关键是蒙握丁次卤数的图象的画肉

经过两点（0,»）、（-1，Q）作直线丫=心+。.

2.如图，在平面直角坐拯系xO），中，抛物线y=-『+2r+3与x轴交于点A,8（点A在点B的左侧），与/

轴交于点C,抛物线顶点为点D

（1）求B,C,〃三点坐标;

（2）如图1,抛物线上有E,尸两点，且EF〃x轴，当△£>£：尸是等腰直角三角形时，求线段E尸的长度;

（3）如图2,连接BC,在直线BC上方的抛物线上有一动点P,当△PBC面积最大时，点尸坐标.

【分析】(1)对于y=-/+2x+3,令y=-/+2x+3=0,解得x=3或-1,令x=0一则y=3,故点A、B、

C的坐标分别为(T,0)、(3,0)、(0,3),函数的对称轴为x=l,4尸1时，y=-/+2x+3=4,即

•••

,可求解；/1一，，「・•，，.「1/

.(2)△£>£/是哪直角三角形，E尸〃x轴J则根据函数的对称性，只有NEOF为直角一种情况，即“尸

=DH,即可求解；,.♦，*、」

，If/，一*M

(3)由△尸8C面积=S»gSM”B=/PH・O8,即可求解.

【解答】解：(1)对于y=-7+2X+3,令y=-/+益+3=0,解得大=3或-1,令x=0,则y=3,

‘故点4、B、C的坐标分另『为(-1,0)、(3,0)、(0；3),

函数的对称轴为=1,当*=1时，y=-/f2x+3=4"

故点Q的坐标为(1,4),­

**A>j/.rjJrA>”.FJKM

故B,C,。三点坐标分别为(3,0)、：(0,3)、(1,4)；

「心［,.•△£>£尸势等腰直角三4形，EF//x^,^一.一

则根据函数的对称性，只有为直角一种情况，、、•..

设点E(x,-7+2x+3),点F和点E关于函数对称轴对称，故点F(2-x,-/+2x+3),

••••

图1

过点。作与点H,

••,△CM是等麻直角三角形，故△£>〃？病腰直角三角形，

*♦♦

14.

故HF=DH,B|J-EF=(yn-yr),

].

则一(2-x-A)=(4-x2-2x-3),解得x=l(舍去)或0,

♦2••,・

故x=0,

则EF=2-'x-片2；

(3)过点P作PH〃y轴交8c于点从

设点P的坐标为(x,-X2+2X-^),则点“(X,-x+3),,

一T

则△尸8c面积=6AP〃C+SAP，B=*PH・OB=}x3X(-7+2x+3+x-3)=—%，

・'>

v-1<0,故△P8C面积存件最大值，此时x=|,

,,,315

故点P(-,一).

24

【点评】本题为上次函数综合题，主要考查了一次函数的解析式的求港和与几何图形结合的综合能力的

培养.要会利用缘形结合的思想把代数和儿桁图形结合起来，利用点撷标的意义表示线段的长怠从

而短出线段之间的关系.

••<

3.如图，在平面直角坐标系中，己知A(a,0),BCb,0),其中a,1满足Va+1+(h-3)2=0.

(1)填空：a=,b=3；

(2)若在第三象限内有一点M(-2,m),用含〃?的式子表示的面积；

(3)在⑵条件下，当〃?=-|时，线段与)，轴相交于C(0,-。)，点P是坐标轴上的动点，当

满足△P8M的面枳是aABM的面积的2倍时，求点P的坐标.

【分析】(八期日负数的性质得出答篥即D；

(29根据三角形面积公两求叶答案即可：

(3).分P点在/轴工或在y轴上时，根据面蔽式求出即可.

【解答】解：(1/Va,人满足行H+(b-'3)2=0,

「・〃+1=0,8~3=0,，

：・a=-1,。=3；

故答案为：-1,3.

(2)'：a=-1,7启,

(-I,0)?S。3,0),»,

."8=4,,

,:M为(-2,加，旦M在第三象限，:

■.■

/\ABM的面积=^*x4x(―m)=—2m；-w

Y3)①当点。在炉轴上时；

白〃?.=一，时，M(-2,-2)»S/、ABM=-2〃z=3s

■

,/在y轴上有一汽P,使得△P8A/的面积=△A8M的面积的2倍=6,

%.〜丁'tI飞\»・，.,〜飞上，*

11

「△PBM的面积=Z\MPC的面积+/SBPC的面积=护CX2+/PCX3=6,

解得：PC=¥，

,•£(0,一2)，....

9

・•・℃=奇.

当卢P在点、。的卜方时，P(0,一.一养，即0(°，—第)；

1293*

当点尸在点C的上方时，P(0,—--),即P(0,-)；

5102

②当点P在a扁上时，

'V4PBM的面积=PBx|=6,

?.尸8=8,

•:B(3,0),/•//

・・・P(11,0)或(-5,0)「

综合以上可争点尸的坐标为(Q,-得).或(0,|)或(U，0)或(-5,0).・

【点评】本题是三港综合题型，考查了绝;对寇、算术平方根的非负性、三角形的面积、坐标与囱彘

柱质等知识点：曲表出符春的所有情况是年3窗的关穗，熟练运用4类讨*论的数学思想是解题而羹£

4.如图，在平面直角坐标系中，过点C(0,6)的直线AC与直线0A相交于点A(4,2).

(1)求直线AC的表达式；

(2)求△OAC的面积；

(3)动点M在线段04和射线AC上运动，意否存在点M,使△OMC的质积是△OAC的面积的工？若

4

存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式;

(2)利用三.角形的面积公式即可求解；•

-1

(3)当△OMC的回积是SOAC的面积的JJ,根据面积公式即可求得M、的横坐标，然后代入解析药即

可宠得M的坐标.

【解答】解：(1)设直线AC的解析式是y=fcr+i,

根据题意籥｛:V/=2，'•〜「-

♦.解得：=71.**，'*'-

则直线AC的解标式是：y--x+6；

(2)VC(0,6),A(4,2),

・・・OC=6,.

/.S^OAC=1x6X4=r12；

♦(?)设。A的解析式是y=m：r,则4m=2,♦,*f

解得：/〃=%.

,则直线的解析式是：)=春•

1

•当△0MC的面积是△OAC的面积的［时/；

，••••到y轴的距离是：x4=l；,zz

二点例的横坐标为1或-1：

当举的横坐标是：1,

在Y=Jx中，当<=1时，)=)，则”的坐标是(1,V)；

2.，22・•

»»1»•I'♦•f*

♦在y=-x+6中，x=l则y=5,则Af的坐标是(1,5).

•,,・，••

，1

则M的坐标是：Mi(1,-)或M2(1,5).

当M的横坐标是：-1,

.在户-A+6中，当产-1时，"y=7,,则M的坐标是(-*1,7)..

1・

统上所述：例的坐标是：Ml(1,-)或M2・CJ5)*族(-1,7).­.

【点评】本题主要考查了一次函数综合题，用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，

熟练掌握坐标与图形的性质是解题关键.

■♦♦♦

I，"1/~ibL>*CL>*>〜itwL>*

5.如图，在平面直角坐标系xO)，中，抛物线y=o?-2ox-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点4在点8

的左侧)，经过点A的直线/：尸=依+6与y轴负半轴交于点C与抛物线的另一个交点为。，且力点的横

坐标为4.

(1)直接写出点A的坐标，并求直线/的函数表达式(其中％、5用含a的式子表示)；

25

(2)点E是直线/上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为二，求抛物线

4

(aVO)的解析式；

(3)在⑵的泵件下，求四边形CDBE的面积.

十一

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)设E(x,ax1-2cix-3〃)：则F(x,ax+a),则EF=(7.v2-2ax-3a-(ar+〃)=ax1-3cix-4a,由

SAACE=SM:E-SLME,荥出4的值，进而求解？

«3)利用S四造七CDAE=S四/形AO8E--^△ACE即可求解.

【解答】解：(1)・・・0=a”r2av・3m

(-1,,0),

•・,直线过点

•..*.0=;-k+b,b=k,.*.w

.\y=kx+kf、、\

乙点。的横坐标为4,令av?-2ax-3a=fcc+A,

：.aX42-2aX4-3a=kX4+k,

:,k=a,

....直线/的函数表达式为y三4抖4(aWO)；..

，(2)如图1,过点E作E/〃y轴，交直线/于点凡

.Ef=ax~-2ax-3a-ax+a)=ax2-3ax-4a,,

11212，

S/、ACE=S^AFE-S&CFE=~(ax?-3ax-4“)(x+1)--(ax-3ax-4a)x=-(ax"-3ar-4a)

-1,3—25..

.尸一4(犬-一)一-Ch

228

一.！，25

「.△ACE的面积跑最大值为-方■o,

25

.；/VICE的面积的最大值为~7,.,

4

g〃=字，解得4=-2;，

84

,，抛物线的解析式为：)=-2M+4X+6；

(3)在⑵的条件下，x=|时，△4CE的.积取得最大值，

3

-点£

2

S四边形CDBE=S四边形AO8E-S^ACE=S^ABE+SMBD-SMCE=工X4X彳+之x4X10-彳=

【点评】主要考查/三次向数的解析式的求法和与疝5J图形结合的综合能力的雇养.要会利用数形结咨

的思想把代数和几何图形结合起来,，利用血的坐标的意义表布线段的良附，从则求出线段之间的关系.

6.平面直角坐标系中，直线yi=|r+3与x轴、），轴分别交于A、C两点，直线），=%-1与x轴、），轴分别

交于B、O两点.

725

⑴如图1,点尸是，直线x=V上的动点，当用。尸的面积等于不时，旬一线段MN=4（点M在京

N的左侧）在直线BQ上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF的周长最小时，点N的

横坐标.

（2）如图2,将△£>8C绕点。逆时针旋转a°（0°<a°<180°）,记旋转中的△QBC为△OB'C,

若直线B'C'.与直线AC交于点P,直线8'C与直线DC交于点。，当△CP。是等腰三角形时，直

接写出CP的值.

【分析】（1）作点A关于直线BD的对称点4,把4沿平行直线2。方向平移到4,且&&=西，连

接A1F,受直线于点N,把点N沿直线BD向左平移花得点M,.求出直线A1F的解析式和直线BD

,解病与，算出交点解标支即为四边形AMNF的周长最4访■点N的横坐检_

（2）先根据等面积达求出DH的长，算出tanZACD的值，再分①当，做=?。呼，②当PC=CQ时，

@当QC=PQ时，④当PC=C。时，分别求出PC的值即可.

【解答】解二⑴作点％关于直线BD的对称点才|,把4沿平行直线BD方自平移到42,且4也=法:

连接4F,金鲁线8。于点N,

把点N沿直线BD向左平移近得点M,此时四边形AMNF的周长最小，理由如下:

'：MN//A}A2,MN^AiA2,则MNAMI为平行四边形，则4W=4MI=A2M

〜，J，i*»一/，A二,」X

则四边形AMNF的周长=AM+MN+NF，AF=MN-^-AF+A\M+NF=MN+AF+^+NF=MN+AF+上广为最小，

:直线yi=-弓％+3与x轴、y轴分别交于.A、、C两点，直线y=-,1①与x轴、y轴分别交于8、D

两点，

故A、C、B、。的坐标分别为(-4,0)、(0,3)、(2,0)、(0,1-I)；

'：08=2,。£>=1,

•：AXi±BD,故设直线A4i的衰达式为y=-2x+b,将点，的坐标代入上式并解得："直线A41的表达式

为)=-2(x+4),②，

•Jfr*~-

1_4JM

占

设直线A4I与一线产Jr-1交于点R,则联立@②并解得「一一5故Hz

\<V

12_,失

5

由函数的对称性知，点R是点4、4的中点，由中点公式得，点4(「?，一g),

二由直线y=%-1知”A1A2沿BD方向平移V5个单位，则向右平移了2个单位向上平移了1个单位，盛

点A2的坐标为

设直线8£>交直线于点H,设鬲H(-|,I),

则△AO尸的面积另xFaXCm』)=|(r+|)义4=学，解得/=学，故尸(一|,当，

由点42、尸的坐标得，沏尸的解析式为y=—岩x-5③，.-.-

联立①③得，X=-去，’

--N点的横坐标为：一书耳；,,,

..⑵VC(.0,3),B(2,0)ZD(0,-1),

•,51FJ»aJ♦，♦.J♦♦z"-,-

：.CD=-4,BC.=A，OB=2,

BC边上的高威力。，

1.1/-,

根据等面积法得，-BCxDH=-CDXOB,

22

.„CDxOB4x28713

••n°H=-^-=7n=k

VA(-4,0),C(0，3),.....・

[04=4,OC=3,

/.tanCD=铝=

①当PC=PQ时，如图，

・••设CG=3a,则QG=3mPG=4a,PQ=PC=5a,

：.DQ=CD-CQ=4-6小

■:APGQ-ADHQ,.

.PGPQ

"DH-DQ':'

..4QSa

:在二

13

.25底

・巴=3一^~，

.u1025同.

••PoCr=5Q=-g-为一；

*,'t•

②当PC=C。时，如图，,

过点P作PG±CD,过”作HDLPQ,

VtanZACD=

・,•设CG=3m则PG=4e'

，；・C＜Q=PC・=5。,〜

:.QG=CQ-C'GA=2a,/"\

：.PQ=2V5a,

：.DQ=CD-CQ=4-5a,

.[，

当△PG。〜

・‘­•*

用①的方法得出，PC=4-4等，

当△QPGMQDH,

过点Q作QGLPC,过点C作CN±PQ,

或GG=3a,「则QG=4a,PQ=CQ=5a,

；.PG=3a,

?.PC=6af''

/.DQ=CD-CQ=4-5〃，

利用等面积法得，CNXPQ=PCXQG,

CN=芍Q

:,丛CQNSRDOH,

•1”1,—•工，>•>n1•.1•'

用①的方法得出PC=答一当空

……”1025m-4展2410V138>/65

综上所述，PC的值为三-———;-：4----To—：—-————；—~—4.

3391351313

【点评】本题是对一次函数及四边形几何的综合考查，熟练掌握一次函数及相似三角形性质是解决本题

i••的关键，难度较大，源于压轴题型.：，•-'.一••.，

7.如图，抛物线尸以^Zor+cQWO)与)，轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式；.

(2)若点M、N分别为x轴、y轴上的动点，点E为直线4C上方抛物线上的动点，连接AE,CE,当

△ACE的面积最大时.，请求出E点的坐标.，连接EM、EN、MN,求EM+EN+MN的最小值；

(3)若平行于x轴的动直线/与该抛物线交于点P,与线段AC交于点F,点。的坐标为(2,0).问：

是否存在这样的直线/，使得△0〃尸是等腰三角形？若存在，请再接写出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】(1,),把C(0,4),71.(4,0)代入抛物线的解析式得到本于。与c的方程组，解方程组即可；

(2)求得直线AC的解析式为y=-x+4,过点E作)，轴平行线,交线段正于点F,设以上,-*+k+4),

F(k,-什4),・根据三角形ACE的面积取得最大值，得到E(2,4).作E点关于y轴的对称点E\,E

点关于x轴的对称点良连接后及交x轴、y城分别为例，N,此时的周长最小，其周长等于衮

段自良的长；根据勾股定理即可得到寤论j

(3»存在这样的直线/,使得△。。尸是等腰三角形；分三种情况讨论，在△。£)尸中％①若£＞。=£＞尸，

②若FO=FD,⑧若8=OF,根据已知匿件求出点F的坐标，再有咽物线的解析式得出x的值，从而

荥出点P的坐标4,

【薜答】解：(1)把C(0,4),A(4,0)代入，y=o?二2ax+c(aVO)得，

(16a—8a4-c=0

lc=4

解傅卜二T,

lc=4

该抛物线的解析式为了=一4/+户4；.J.

(2)设直线AC的解/折式为y=mr+〃，..「’."§

VA(4,0),C(0,4),

.(4m+n=0

*in=4

解得｛:二jl,:*

直线AC的解嫉式为产-x+4,

过点E作y轴平行线:交线段AC于点尸，设E’(k,-jfc2+/c+4),FCk,-A+4),

图1

EF=—^fc2+fc+44-fc—4=-^fc2+2fc,

•••

，SAACE=|XFFXO/1=|x(-1/C2+2/C)x4=-l?+4k=-(k-2)：2+t,

：»=2时，△入CE.面积最大，此时E点施标为⑵4),

作2点关于y轴的对称点Ei,'E点关于x轴的对称点E2；连接E1E2交x轴《y轴分别为M,N,

此时△EMN的周长最小，即EM+EN+MN最小，其周长等于线段臼及的长；

VE1(-2,4),£2(2,-4),•*•.

'：.E1E2=J(-2-2/+(4+4)2=475.

即EM+EN+MN最小为4V5'.

存在.在△中，•

(3)ODfF,/

①若DO=,DF,

VA(4,0),D(2,0),

；AD=OD=DF=2、..

又在RtZ\AOC中，AO=OC=4,、、・.、

：.ZOAC=4509.

.".ZDM=ZOAC=45°.

，ZADF=90°,.

此时，点F的坐标为(2,.2)7

由一聂2+工+4=2,得知=1+西，x2=l-V^.

此时，点尸的坐标为：Pi(l+V5,2)或尸2(1-V5,2)；,

②若FO=FD,过点八作FMLX轴于点M.

：.F.(1,3).

1

由一］无2+工+4=3,得%】=1+\/^,X2=1~y/3.

此时，点尸的坐标为：P3（1+V3,3）或内（1-V3,3）；

③若OD=OF,

VOA=00=4,且NAOC=90°.

：.A€=4y/2.・

.•.点。到AC的@:离为2&.

，,“，♦[»'力iTjJ>>1

ffi]OF^OD=2<2^2,与O尸22位矛盾.、限

...沌4c上不存在点使得OF=0D=2.

此时，不存在这样的直线/，使得△0£>F是等腰三角形:

综上所述，存在这样的直线/,便得△<?£>尸是等腰三角形..所求点尸的坐标为：（1+4，2）或（1-西，

'2）或'（1+百,3）或（1-V3,3）.

【点评】本题属卡上次函数综合题，考查了，次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，

轴对称最短问题等知外解题的关键是学会利用酗对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题,,

属于中考压轴题.

8.如图，平面直角坐标系中，ABC。为矩形，其中点A、C坐标分别为（-8,4）、（2,-8）,且A£>〃x

轴，交y轴于M点，AB交x轴于N.

（1）求B、。两点坐标和矩形ABCQ的面积；

（2）一动点P从A出发（不与A点重合），以*个单位/秒的速度沿AB向8点运动，在P点运动过程中，

连接MP、0P,请直接写出/AMP、NMPO、NPON之间的数量关系：

1

(3)是否存在某厂时刻3使AAMP的面积等于矩形面积的;？若存在，>及，的值并求此时点P的坐标；

♦，•工》

若不存在请说明理由.

、・，，if'A.

JA<

AtM\D

.

Fvo|一x.

-JP。,尸二iZ1勺百

2-,Jr--ifd

【分析】(1)根据点4、C的坐标、矩形的性质分别求出点B、D坐标,根据矩形的面积公式求出矩形

48co的面积：-

.-(25分点P在线段4V上、•技P在线段N8-上两种情况，"根据平行线的隹我解答；'

♦9-W

(3)根据三角形口勺面积公式用r表示出△窈2的面积，根据题意列出中程，解方程得到答案.二：,

【解答】解：(1)•••点4、C坐标分别为(-8,4)、(2,8),四边形A8CO为矩形，

.-j，：'

:.点B、。坐标分别为(-8,-8)、(2，4),

<*'EMK^2

二矩形‘ABC。的面枳=(2+8)X(4+8)=120；

[⑵当点P在线段AN上时，如图1,作PQ〃A,■.

■♦/♦；-**<^r]A/aj9r*#

U：AM//NO,

•■pA*——*'ifTun-«>•...

：.AM//PQ//NO,

；「NQPM=NAMP,吆QPO=NPON,

(•

：.ZMPO=NAMP+NPON,

当点P在线段N8上时，同理可得：ZMPO=ZAMP-"ON；

(3)存在，•

jff>•■，，'21A*

由题意得，AA/=8,'AP=，Jkr>*.上」

11--j-

•'•SAAMP=2x手X8=27,

由题意得，2/=120xj,

,解得，f=20,--,*・>F・/•»y^r

1

>•\f>*

AAP=20x^=10,jLry

点P的坐标为(-3，-6)：

【点评】本题考番的是矩形的性质、平行线的性质、三角形的面积讦羸“正确作出辅助线、灵活会甫分

情况讨论思想是解题的关键.,.

9.如图1,二次函数y=-x2+1+c的图象过点A(3,0),B(0,4)两点，动点P从A出发，在线段4B

匕沿A-8的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点尸作POLy于点O,交抛物线于点C.设运动

♦・、♦.♦

(1)求二次函数y=-7+bx+c的表达式；

(2)连接BC,当U视时，求△8£>P的面积；

6

(3)如图2,动点P从4出发时，动点。同时从O出发，在线段。4上沿OfA的方向以1个单位长度

的速度运动，当点。与8重合时，P、。两点同时停止运动，连接。0、PQ,将△OPQ沿直线PC折一叠

到在运动过程中，当PE与AB重合时求r的值.

【分析】(1)把A(3,05,B(0,4)代入y=-/+历;*,即可求解；

r，♦f,

OBABQfc4BDPD

(2)PC//X则=,求出OE>=KXZ=53由—=—,求出P。，进而求解；

ODAP563OBOA

(3)如图，当PE与A6重合时，则点E在A8匕则OO=QM=ME=誓，由殁=丝，求解即可.

•5OB'OA

=°,解得小=£

【解答】解:⑴&⑶0),B(0；4).勺亡=4+贰中。｛慧3b

(C=4

，二次函数y=-7+bx+c的表达式为：y=-W+%+4；

(2)如图1,当时，AP=2t,

・・・•PC〃x轴，•

,OBAB

ODAP

45

一OD~2t'

.“8t85*4

,*DO—~r~=己Xz=亍，

□□OJ

At

当v=5时，_=—/+5x+4,

333

3；r-5x-8=0,

8

XI=-।1,X2=可

・・・PO〃OA,'

44

BDPD4工，

：—=—,即一^=一PD,

OBOA43

则PD=2,

；.S建DP=ixPDXBD=鼻2乂2x,=小

(3)如图，当PE与A5重合时，则点E在A8匕

.口八_16t

・・EQ=-g-，

由折叠得：EQJJP/5：则EQ〃y轴,

'.丝一丝-

•""""""=»

OB0A

*

故.PE与AB重合时求t的值为一.

，，17

【点评】本题考查的是二次函数综合点用，涉及到一元二次方程而求解、三角形相似、图形而折叠、面

积的计算等,.媒合性强，难度适中.

10.如图，直线），=一条+3与x轴交于点C,与y轴交于点8,抛物线产一+"世经过&C两点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和ABEC

面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线8C于点M,连接AM,点。是抛物线对称轴上

的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、0、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请

直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【分析】（1）由直线表达式求出点8、。的坐标，将点8、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）S&BEC=SABEM+S&MEC,即可求解;

,（3）分AM为边、和为.对角线两种情况，•分别求M即可.

【解答】解：（i：：直线丁'=一鼠+3与（后爰于点C,与y轴交于近8：

点8的坐标是（0J3）,点C的坐标是（4,0）,

>••.

3（3

16a+5x4+c=0?解得：Q=

{c=31c=3

.♦32,3：•

1..y=一/”+炉+.3：

（2）如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,.

..•点£是直线BC上方抛物线上的一动点,

2

设点E的坐标是(x,-|x+|x+3),则点M的坐标是(x,-+3),

33333

X2+X+3X2+X

一

8-4-4一82-

1133-|x2+3x=—'(x_2)2+3,

:.SAREC=SLBEMKSEC=•OC=[x(-g%?+2％)x4=

，VA**■■■■

...当x=2时，即点E的坐标是(2,3)时，ABEC面积最大,最大面面是3；

(3)在抛物线上存在点P,使得以人。、4、加为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(-3,—告、

(5,一为、(T，学).'

由(2)可得点K的横坐标是2,

•点M在直线y=-%x+3上，rf.

4।•

.•.点M的巫捺星(2,|),

①当AM为边时，如图2：•

•.•由AM平移可售PQ,而丁=一>2+权+3的对称轴是*=1,

,0、

・・