2021学年第一学期高三数学试卷

2021学年第一学期质量监控高三数学试卷

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果.

1.已知集合4=｛刈了>2｝,B=｛x|x<3｝,则AD8=.

2.函数y=log2（x—l）的定义域是.

3.若复数z满足iz=K-i（i为虚数单位），则|z|=.

4.（x+2,的展开式中/的系数为.（结果用数值表示）

11sina

5.己知cosa=一，则行列式.的值为_______.

3sina1

6.某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小

区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的

人数为.

V.2

7.设P为直线y=2x上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线亍-V=i的两条渐近线的距离之积

为27,则点P的坐标为.

41

8.已知%>0,y〉0,且一+—=1,则4x+y的最小值为_____.

xy

9.有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任

意一位同学高的概率是.（结果用最简分数表示）

io.已知耳、P]、鸟、…、&是抛物线V=8%上不同的点，点E（2,O）,若用+理+…+瓯=6,

则I所1+1至1+…+1西1=.

11.若数列｛4｝满足a“+a,,+i+a“+2+…=0（〃eN*,ZeN*）,则称数列｛%｝为“左阶相消数

列已知“2阶相消数列“物,｝的通项公式为b„=2coscon，记7；=b]b2-力，L,4，2021,〃eN*,

则当n=时，7；取得最小值.

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12.已知点0（0,0）、4（2,3）和耳（5,6）,记线段AA的中点为《，取线段44和线段4综中的一条，

记其端点为A、⑸，使之满足（16>A1-5）（1。41-5）<o；记线段AM的中点为P2,取线段48和线

段鸟片中的一条，记其端点为42、与，使之满足（IO&I-5）（|0与|-5）<0；依次下去，得到点6、

鸟、…、匕、…，则lim|AM|=

/1—>0011

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的

相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

b

13.已知。、Z?eR,则“一〉1”是“匕〉的（）.

a

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

14.下列函数中，以乌为周期且在区间上单调递增的是（）.

242

(A)/(x)=|cos2x\(B)f(x)=|sin2x|

(C)/(x)=sin4x(D)/(x)=cos2x

15.如图，在棱长为1的正方体ABC。—A3CA中，P、Q、R分别是棱AB、BC、的中点,

以△PQH为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABC。-A的表

面上，则这个直三棱柱的体积为（）.

（A）1

（B）⑻得

8©2

16.已知向量Z与5的夹角为120°,S.a-b=-2,向量工满足展=/1£+（1-；1历

（0</1<1）,且7"=尻S记向量"在向量£与B方向上的投影分别为x、y.现有两个结论：①若

1一一））3

2=-,则|。|=2|切；②V+V+xy的最大值为巳，则正确的判断是（).

34

（A）①成立，②成立（B）①成立，②不成立

（C）①不成立，②成立（D）①不成立，②不成立

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要

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的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，已知圆锥的底面半径r=2,经过旋转轴SO的截面是等边三

角形SAB,点。为半圆弧的中点，点尸为母线S4的中点.

(1)求此圆锥的表面积；

(2)求异面直线PQ与SO所成角的大小.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知函数f(x)=3x.

⑴设旷=尸(力是y=/(x)的反函数,若尸(无也)=1,求尸3)+尸但)的值；

(2)是否存在常数meR,使得函数g(x)=l+7为奇函数.若存在，求机的值，并证明

/W+1

此时g(x)在(―,”)上单调递增；若不存在，请说明理由.

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

落户上海的某休闲度假园区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直

IT

角三角形的迎宾区，NACB=一，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点8处.游客可从入口沿着观景

2

通道A—C-3到达出口，其中AC=300米，3C=200米，也可以沿便捷通道A—0一3到达出口(尸

为VA8C内一点).

(1)若VP3C是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速卜\

度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可jX

以快几分钟？(结果精确到1分钟)

兀

(2)园区计划将VP3C区域修建成室外游乐场，若NBPC='2,该如

3

何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

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已知P（（）,l）为椭圆C:3+匕=1内一定点，。为直线/:y=3上一动点，直线P。与椭圆。交于A、

B两点（点8位于P、Q两点之间），。为坐标原点.

7T

（1）当直线PQ的倾斜角为一时，求直线。。的斜率：

4

3

（2）当aAOB的面积为万时，求点Q的横坐标；

（3）设衣=4巨方，AB=^BQ,试问4一〃是否为定值？若是,请

求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

己知有穷数列｛q』的各项均不相等，将5,,｝的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列｛2｝,称

｛P“｝为｛叫的“序数列”.例如:数列2M3满足G〉%>外，则其“序数列”0｝为1，3,2.若两

个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.

（1）若数列3—2x,5x+6,/的“序数列”为2,3,1,求实数比的取值范围；

（2）若项数均为2021的数列｛X,,｝、｛），”｝互为“保序数列”，其通项公式分别为乙,

y„=-n2+M（f为常数），求实数，的取值范围；

（3）设凡=q"T+p,其中〃、4是实常数，且q>—1,记数列｛%｝的前〃项和为S”.若当正整数

匕.3时:数列｛%｝的前&项与数列｛S,｝的前攵项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求P、4满足

的条件.

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高三数学试卷评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题

纸的相应位置直接填写结果.

1.{x[2<x<3}；2.（L+oo）；3.2；4.160；5.；

6.200；7.（3,6）；8.25；9.—；10.40;11.2020;

20

12.V2.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的

相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.D14.A15.C16.C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：⑴由5A=AB=4,得S厕=无〃=7ix2x4=8无.........3分

又S底=兀/=4兀，故S全=S底+S侧=12兀.........6分

即此圆锥的表面积为12兀.

（2）取的中点连接PM.因点尸为母线S4的中点，故PMHOS.所以NMP。为异面直线P。

与SO所成的角.........9分

在吊△SQ4中，SO=Q4-tan60°=2百，楸PM=；SO=M.由点。为半圆弧AB的中点，知

OQA.AB,在心△MOQ中，QMZoC+OM）=也.........12分

由SOJ■底面知AW_L底面QAB,在中，tan4MPQ=^=去=号,故

ZMPQ=arctan

3

即异面直线PQ与SO所成角的大小为arctan-14分

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：(1)因为函数/(x)=3*,所以尸(x)=log3X,xe(0,+oo).2分

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3

=log3X1+log3%2=31og3（FX2）=3・..............6分

（2）由题意得：g（x）=l+-J.

解法一：因为g（x）为奇函数，所以g（-x）=-g（x）,即1+£^=-1-亍£『…8分

整理得：（5+2乂3'+1）=0,故，n=-2...............12分

解法二：因为g（x）是定义域为R的奇函数，故g（（））=0,即1+5=0,解得

m=-2...............8分

此时g（x）=i__J=定义域为R关于原点对称，且g（-x）=j」=「-=-g（x）.故当

\"3X+13'+1\）3-,+11+3A'，

〃=—2时,g（x）为奇函数......12分

任取再5,则g（xAg（Z）=（l-占>]1-岛卜号一岛

2（3”—35）

一（3为+1）（3电+1）.

因为不<々，所以3为-3*<0且（3"+1）（3*+1）>0,

故g（内）一g（W）<（），即函数g（x）在（-8,+oo）上单调递增.........14分

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）若游客走观景通道4一。一8,则所需时间为30°+20°=io分钟;……2分

50

由VBBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，可得CP=PB=100底且NACP=:.

在7PAe中，由余弦定理可得：PA1=AC2+PC2-2AC-PC-cosZACP

PA=100V5.……4分

故游客若走便捷通道4一尸一3,所需时间为幽叵担如叵a7.3分钟；……5分

50

因此，游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快大约3分钟.……6分

（）解法一：S=-PC-PBsinZBPCPC-PB.分

2△rPnlCtc24……8

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在VP8C中，由余弦定理可得：BC2=PC2+PB2-2PCPB-cosZBPC-

即40000=PC2+PB2+PCPB>3PCPB，……10分

当且仅当尸8=尸。=剪走时，等号成立.……12分

3

所以当PB=P。时，可使室外游乐场的面积最大.……14分

解法二：可设NPC6=6，

尢、“。「用PC_BC^_400……。八

fan，c：

sinZPBC-;iinZBPC

“1400.f

=-PCBCsinNP(-B=------j=-sin

22GI

(垂＞A1./.八20000

•sin〃=——

122JG

fV3.„1-cos2£^_20000F

,sin26

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“皿.。3—；—\（—8k丫-84712^+6

从而I玉iZa+w）-4中2=《[诉14・薪力=-^-

由％"90PW%rl=|，得^^=3解得y=；」=土g.……8分

故直线PQ的方程为〉=±；工+1.令y=3,得点。的横坐标为±4.……10分

(3)①当直线P。与y轴重合时，2="=2+6，〃=奥4=1+6,故

|P8|\BQ\

一〃=1.12分

②当直线PQ不与y轴重合时，设直线P。的方程为了="+1/。0).

-8k

设A(X，X)、B(x2,y2),由(2)知＜从而

中2=就7

2

—X一1（"+九2）+2X|X

一内kI2

"〃一1=』一^1^-1=・・・•••]4

X]2丫“22X

一L一L

2一可।2一8

即九一〃二

k4,3——4*1+3=0,116分

综上，丸一必为定值1.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

5x+6>x2

解：(1)由题意得O,>q>4，即｛......2分

x>3-2x

解得1cx<6.♦••♦•/分

......5分

当〃=1时，々一%>。即％2>玉，当〃22时，龙“+1一七<。即x"+i</，...7分

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288

故%>%,*2>%3>*4>…>工2021，又入1=1，^=—,X4=~,因此｛怎｝的序数列为2,3,1,4,5…,

279

2021....8分

又因｛%“｝、｛%｝互为“保序数列”,故%>%>%>%>%>…>为021，

只需满足2〈!<2,解得：4<r<5.……10分

22

(3)解：①当4=±1或4=()时，数列｛4｝中有相等的项，不满足题意.……11分

②当4>1时，数列｛““｝单调递增，故｛£,｝也应单调递增，从而S“+1—S“=4+|=q"+p>(H、j〃eN*

且〃〈攵恒成立.又数列｛8+p｝单调递增，故

p+cj>0....13分

③当0<9<1时，数列｛4｝单