广义ginzmann-landau方程的性质

广义ginzmann-landau方程的性质

吉兹堡-吕瑟的广义方程式如下所示。{du+(κux-γuxx-u)dt=(β|u|2u-δ|u|4u-μu2¯ux-ν(|u|2)ux)dt+u˚dW(t)u(0‚t)=u(1‚t)=0x∈R1‚t≥0u(x‚t0)=u0(x)x∈R1(1)其中β=β1+iβ2,γ=γ1+iγ2,δ=δ1+iδ2,μ=μ1+iμ2,ν=ν1+iν2均为复数,κ,βi,γi,δi,μi,νi(i=1,2)为实数.我们假设γ1>0,δ1>0且δ1γ1>|μ|2+|ν|2.随机函数W(t)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的双边实值Wiener-过程,其中Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0}.F是由Ω的紧-开拓扑诱导的波雷尔-sigma代数,P是Wiener测度.广义Ginzburg-Landau方程作为一个确定性的系统已经被广泛地研究,确定性的情况可参考文献,带有可加白噪音的广义Ginzburg-Landau方程的研究可参考文献.首先,我们引入一些符号.记RDS为随机动力系统.记Η=L2(0‚1)‚V=Η10(0‚1)‚Au=-∂2∂x2u.∥⋅∥和(·)分别表示H中的范数和内积,‖·‖V表示V中的范数.算子A是从D(A)=V∩H2(0,1)到H上的同构映射.设{en}是H的一组由特征向量构成的正交基,其相应的特征值λn满足λn>0,当n→∞时λn↗∞.对于λ1,有不等式λ1‖u‖2≤‖u‖2V.对方程(1)作变换v=αu,其中α(t)=e-W(t),则dα=-α。dW.方程(1)可改写成如下形式(无随机微分项出现):dvdt+κvx+γAv-v=βα2|v|2v-δα4|v|4v-μα2v2¯vx-να2(|v|2)vx(2)v(0‚t)=v(1‚t)x∈R1(3)类似于参考文献中定理2.6的证明,我们可知对于ω∈Ω几乎处处成立如下结论:(ⅰ)对几乎所有的t0∈R,v(t0)∈H,方程(2)和(3)存在唯一解v∈C([t0,T),H)∩L2([t0,T),H);(ⅱ)若v(t0)∈D(A),则v∈C([t0,T),V)∩L2([t0,T),D(A));(ⅲ)对于所有的t≥t0‚v(t0)|→v(t)是H到H的连续映射.定理1如果存在一个随机紧集吸收X中的任意一个有界集B,则RDSφ有一个随机吸引子A(ω):A(ω)=¯∪B⊂XΛB(ω),其中ΛB(ω)=∩s≥0¯∪t≥sφ(t‚θ-tω)B是B的ω-极限集.由定理1,我们可以得到以下主要结果:定理2与随机Ginzburg-Landau方程(1)相关的RDS在L2(0,1)中有一个随机吸引子A(ω).A(ω)是紧的不变集,且吸引L2(0,1)中的所有有界集.引理1假设v是方程(2)和(3)的解,则存在一个随机半径K1(ω)>0,使得对∀ρ>0,存在t(ω,ρ)≤-1,对∀u(t0)∈H,有‖u(t0)‖<ρ,t0≤t(ω,ρ),且对ω∈Ω几乎处处成立:∥v(t‚ω；t0‚α(t0‚ω)u0)∥≤Κ1(ω)∀t∈[-1‚0](4)B(0,K1(ω))是RDSφ在H中的一个随机吸收集.证方程(2)和v作内积再取实部,得12ddt∥v∥2+γ1∥vx∥2=∥v∥2+β1α4∥v∥44-δ1α4∥v∥66-1α2Re(μv2¯vx‚v)-1α2Re(νv2vx‚v)(5)由Hölder不等式和Young不等式,得1α2Re(μv2¯vx‚v)≤|μ|α2∫10|v|3|vx|dx≤γ14∥vx∥2+|μ|2γ1α4∥v∥661α2Re(νv2vx‚v)≤|ν|α2∫10|v|3|vx|dx≤γ14∥vx∥2+|ν|2γ1α4∥v∥66选取ε1=δ1-|μ|2+|ν|2γ1,则ε1>0(由δ1γ1>|μ|2+|ν|2可知),则有ddt∥v∥2+γ1∥vx∥2≤2(-ε1α4∥v∥66+β1α2∥v∥44+∥v∥2)(6)因为-ε1α4|v|6+β1α2|v|4+|v|2=-ε1α4(|v|3-α2(β1+1)2ε1|v|)2-1α2|v|4+((β1+1)24ε1+2)|v|2-|v|2≤-1α2|v|4+2C1|v|2-|v|2=-1α2(|v|2-C1α2)2+C21α2-|v|2≤C21α2-|v|2(7)其中C1=(β1+1)28ε1+1＞0,则由(5)式到(7)式,可得ddt∥v∥2+γ1∥vx∥2≤2C12α2-2∥v∥2(8)ddt∥v∥2+2∥v∥2≤2C12α2(9)对∀t0≤t,t∈[-1,0],由Gronwall引理得∥v(t)∥2≤e2t(∥u(t0)∥2α2(t0)e2t0+C12∫-∞tα2(s)e2sds)∀t≥t0(10)由文献可知lims→-∞W(s)s=0,从而α2(t0)e2t0→0(t0→-∞).对∀ρ>0,存在t1(ω,ρ)≤-1,若t0≤t1,有∥u(t0)∥2α2(t0‚ω)e2t0≤ρ2α2(t0‚ω)e2t0≤1对∀ε>0,存在t2(ω,ρ)≤-1,若s≤t2,有|W(s)s|＜ε,因此α2<e-2εs.若t0≤t2,有C12∫-∞tα2(s)e2sds≤C12∫-∞0e2-2εsds≤γ1(ω)ε≤1取t(ω‚ρ)=min{t1‚t2}Κ12(ω)=e2[1+γ1(ω)]我们得到(6)式.最后,若t0≤t(ω,ρ),由φ(-t0,θt0ω)v0=v(0,ω;t0,α(t0,ω)u0)和(6)式,容易证明|φ(-t0,θt0ω)v0|≤K1(ω),从而表明B(0,K1(ω))为H中的随机吸收集.引理2在引理1的假设下,对几乎所有的ω∈Ω和t0≤t(w,ρ),存在随机半径K2(ω),有∫-10∥vx(s‚ω；t0‚α(t0‚ω)u0)∥2ds≤Κ2(ω)证对(8)式作积分,可得∥v(0)∥2-∥v(-1)∥2+γ1∫-10∥vx∥2ds≤2C12∫-10α2(s)dsα(s)是连续函数,因此∫-10α2(s)ds≤c,从而∫-10∥vx∥2ds≤2C12cγ1+1γ1Κ12(ω)=Κ2(ω)引理3存在随机半径K3(ω)满足以下性质:对∀ρ>0,存在t(ω,ρ)≤-1,当t0≤t(ω,ρ),u0∈H且‖u0‖<ρ时,对几乎所有的ω∈Ω,有‖vx(0,ω;t0,α(t0,ω)u0)‖≤K3(ω).特别地,B(0,K3(ω))是V中的吸收集.证(2)式和-vxx作内积,取实部,得12ddt∥vx∥2+γ1∥vxx∥2-∥vx∥2=-βα2(|v|2v‚vxx)+δα4(|v|4v‚vxx)+μα2(|v|2vx¯‚vxx)+να2(v2vx‚vxx)(11)首先有∫01|v|2|vx|2dx≤‖v‖2∞‖vx‖2,由Agmon不等式:‖v‖4∞≤c1(‖v‖2+‖vx‖2)‖v‖2,我们有∫01|v|2|vx|2dx≤c1∥v∥2+∥vx∥2∥v∥∥vx∥2≤c2∥vx∥4∫01|v|4|vx|2dx≤∥v∥∞4∥vx∥2≤c1(∥v∥2+∥vx∥2)∥v∥2∥vx∥2=c1(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2由Young不等式有Re(-βα2|v|2v‚vxx)≤|β|α2|(|v|2v‚vxx)|≤3|β|α2∫01|v|2|vx|2dx≤c3α2∥vx∥4Re(δα4|v|4v‚vxx)≤|δ|α4|(|v|4v‚vxx)|≤|δ|α4|3∫01|v|4|vx|2dx+2∫01v2|v|2vx¯2dx|≤5|δ|α4∫01|v|4|vx|2dx≤c4α4(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2(12)Re(μα2|v|2vx¯‚vxx)≤|μ|α2∥v2vx¯∥∥vxx∥≤γ14∥vxx∥2+|μ|2γ1α4∥v2vx¯∥≤γ14∥vxx∥2+c5α4(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2(13)Re(να2|v|2vx‚vxx)≤γ14∥vxx∥2+c6α4(∥v∥4+∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2(14)选取适当的C,我们得到ddt∥vx∥2+γ1∥vxx∥2≤(2+Cα4∥v∥4+Cα2∥vx∥2+Cα4∥v∥2∥vx∥2)∥vx∥2令g(τ)=2+Cα4(τ)∥v∥4+Cα2(τ)∥vx∥2+Cα4(τ)∥v∥2∥vx∥2在[s,0]⊂[-1,0]上使用Gronwall引理,得‖vx(0)‖2≤‖vx(s)‖2e∫0sg(τ)dτ,再对此式从-1到0关于s作积分,有∥vx(0)∥2≤e∫-10g(τ)dτ(∫-10∥vx(s)∥2ds)令K32(ω)=K2(ω)eK(ω)与Κ(ω)=2+Csup-1