高密度点法在隧道围岩分类勘探中的应用

高密度点法在隧道围岩分类勘探中的应用

近年来，高密度电法的应用越来越广泛。该方法的显著利益在于它拥有巨大的数据来源、高精度的勘探和广泛的应用。例如堤坝病害检测、岩溶勘探、地质分层以及在铁路勘探中都有很好运用。高密度电法作为一种电性勘探方法,不可避免的受到地形条件的制约。在大多数勘探运用中,由于都在较平地形上进行,故可以不考虑地形影响。然而在地形起伏较大时,如铁路、公路隧道勘探中,它导致视电阻率曲线畸变严重。有时淹没地质体的信息,有时歪曲有用信息,有时呈现假信息,使人们不能作出正确的推断解释,降低了电阻率法的解释精度,甚至导致错误的解释。因而,研究地形影响及其改正方法,是提高山区高密度电法勘探地质效果的一个关键。高密度地改方法有多种,精度较高的是有限元法,其次是如有限差分法、角域法等。有限元法计算量大,一般在运用中不可能划分太多单元格,因而也导致精度降低,特别是如果要进行三维地改时,其速度和效果更成问题。角域法相对精度低,但突出优点是计算速度快,特别适合野外工程勘探的要求。但在角域法地改计算中,也因计算方法不同而导致精度差异,本文将着重讨论这一点。另外,在铁路隧道物探围岩勘探中,经常由于地质构造(如断层)有不同产状,导致划分的围岩类别错误,这时辅以高密度电法查明构造情况(产状),可以大大提高围岩类别划分准确度。这也是我们要研究的内容。1复杂地形的修正曲线我们借助数学公式解析单元地形的点源畸变电场,再将单元地形的视电阻率畸变曲线组合叠加,就能近似地取得复杂地形的改正曲线。此方法的基本思想为:(1)复杂地形可以由一些简单的规则地形单元组成。只要能算出单元地形(“角域”)的畸变电场,就能通过简便的组合叠加,近似地算出复杂地形畸变。(2)点源场角域地形的电位是可以求解的。计算出它的电位畸变值,再通过组合叠加获得复杂二度体地形的点源场畸变值。1.1rc点及规划法上的电位研究地形对点源场的畸变影响问题的难度比线源场要大,仅对最简单的二度体角域地形才能求得完全解。角域只有一个拐点,两侧坡长“无限”,如图1所示。角域顶角为ϕ=π+β+α,当ϕ<π时为无限长山脊,ϕ>π时为无限长山谷。同时规定左坡的水平坐标或径向坐标取负值;右坡的取正值。角域下面均匀介质的电阻率为ρ0。以拐点为原点建立圆柱坐标系(r,θ,z),点电源在(rc,0,0),测量点在(rp,θ,z)。电位方程和边界条件如下:{∂2V∂r2+1r∂V∂r+1r2∂2V∂θ2+∂2V∂z2=0∂V∂θ|θ=0=0,∂V∂θ|θ=ϕ=0V在rc点有奇性limr→∞V=0(1)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂2V∂r2+1r∂V∂r+1r2∂2V∂θ2+∂2V∂z2=0∂V∂θ∣∣θ=0=0,∂V∂θ∣∣θ=ϕ=0V在rc点有奇性limr→∞V=0(1)用分离变量法解方程,得电位公式:V=Ιρ0πϕ√|rcrp|{12Q-12(ξ)+∞∑m=1cosmπθϕQmπϕ-12(ξ)}(2)V=Iρ0πϕ|rcrp|√{12Q−12(ξ)+∑m=1∞cosmπθϕQmπϕ−12(ξ)}(2)其中ξ=|r2c+r2p+z22rcrp|ξ=∣∣r2c+r2p+z22rcrp∣∣。当rc与rp的符号相同时,θ=0;否则θ=ϕ。Qv(ξ)为第二类勒让德函数,V是它的阶。在上述电位公式中,由于Qv(1)不存在,不允许ξ=1。因此,凡在rc,rp和z三者满足r2c+r2p+z22rcrp=±1r2c+r2p+z22rcrp=±1的电位上,电位V有奇性。然而,实际上V仅在电源点(rc)上,即rp=rc,z=0情况时才有奇性,其他情况均应有解,如下:当电源点与测量点分别在两侧山坡上,而且两者到顶点的距离相等,即rc=-rp,z情况时的电位公式为:V(rp,ϕ‚0)=Ιρ0πϕrc{π4+∞∑m=1(-1)m[φ(m+12)-φ(mπϕ+12)]}(3)V(rp,ϕ‚0)=Iρ0πϕrc{π4+∑m=1∞(−1)m[φ(m+12)−φ(mπϕ+12)]}(3)式中ϕ(x)=limn→∞[lnn-1x-1x+1-1x+2⋯-1x+n]另外,当电源点或测量点有一个在角域顶点上时,电位公式为:V=Ιρ02ϕr′(4)式中:r′——是顶点到测量点或电源点的距离。当z=0时,r′等于|rp|或|rc|。利用(2)、(3)、(4)中的公式即可计算角域电位。1.2种装置类型的设计通过上面的论述,不难得到高密度的地形改正公式。设电极的间距为dx,则三种装置类型,即α,β,γ装置的地改计算公式为:(ρsρ0)=Κ2π[U(τAΜ)|rA-rΜ|-U(τAΝ)|rA-rΝ|+U(τBΝ)|rB-rΝ|-U(τBΜ)|rB-rΜ|](5)其中:1.3畸变电位的计算在上面讨论的角域电位V中,包含了正常电位V0这个背景。为了突出地形的影响,用V/V0表示为电位畸变值,并以符号U来代替。由于正常电位为V0=Ιρ02π(rA-rp)(7)则有U(τ)=VV0=2|1-τ|ϕ√t{12Q-12(ξ)+∞∑m=1[τt]Qmπϕ-12(ξ)(8)其中τ是rp和rc之间的比值,可以证明U(τ)=U[1τ],所以只要考虑-1≤τ≤1的情形,即当|rp|<|rc|时,τ=rprc;当|rp|＞|rc|,τ=rcrp。而t=rcrp‚ξ=1+t22t当τ=0或τ=1时,要用(4)或(3)公式改写。至此,我们可以通过上面的解析式来计算畸变电位。由以上可知,畸变电位是τ、ϕ的函数。如图2所示,对τ、ϕ离散地取一些点(ϕ从90°→270°,τ分别取0.9,0.7,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01,0)进行了计算,得到了角域电位畸变值U量板。对U量板进行分析,可以发现其中的变化规律,从而为改进计算方法提供依据:(1)在τ=0附近,U值变化剧烈,尤其是在ϕ>180°时;(2)在τ>0.5时,畸变值趋向1,并且大致呈线性变化;(3)在τ<-0.5时,尽管此时畸变值较大,但变化规律更为规则,对于所有ϕ畸变值几乎呈线性变化,且变化很平缓。1.4改进多项式算法最开始人们是根据解析解绘制了角域电位畸变值U量板,并从量板中读取相应的畸变值来进行地形校正,人工计算过程繁琐,效率低,而且容易出错。随着计算机发展,人们尝试整个地改过程由计算机执行,然而由于计算中包含了第二类勒让德函数,致使在做地改时还要耗费比较多的时间,这对野外即时处理带来不便。后来人们根据上面分析的变化规律,在“点源场角域电位畸变量板”的基础上,运用曲面拟合原理,提出了多项式快速计算方法。与直接计算解析解进行地改比较,它避免了电位公式中复杂函数的冗长计算;与从量板数据读取地改值比较,它由电算代替人工查找量板和进行计算,既提高了速度,又可任意内插各种顶角的角域,非常简便。运用多项式算法的思路是在尽量不降低精度的前提下用多项式拟合解析解以便进行快速地改。既然如此,能不能把最精确的解析解和最快速的多项式算法两者结合起来呢?我们就是从这条思路出发,在前人工作的基础上,对多项式算法进行了改进。计算结果表明,本算法已把两者的优势成功地互补了。从图2中可以看出,在τ=0附近,U值变化剧烈,尤其是在ϕ>180°时;在|τ|>0.5时,畸变值大致呈线性变化,尤其是在τ>0.5时。在计算勒让德函数时,整数阶的勒让德函数计算很快,而非整数阶的勒让德函数为了精确到10-5将做大量的循环计算而比较耗时。但从勒让德函数的计算过程看,当|τ|越小时其达到精度的速度越快,亦即计算速度越快。只有当|τ|大到一定程度时计算勒让德函数的速度才会明显地慢下来,而且|τ|越大,计算速度越慢。在实际计算中发现,当|τ|<0.5时勒让德函数的计算速度比较快,计算时间比较合适。我们还发现,对勒让德函数的计算速度|τ|<0.5比ϕ的影响大,同时ϕ越大勒让德函数收敛的越快。综上所述,我们可以通过下面的途径改进多项式算法,并在计算时间延长不多的情况下进一步提高算法精度:(1)当|τ|>0.5时,采用三阶多项式拟合的方法,并在ϕ取不同的值时分别用不同的多项式进行拟合。我们将ϕ分为四段,分段点为120°、180°、220°。通过求二元列表函数在最小二乘意义下的最佳拟合多项式,共有2×4×4×4=128个多项式系数。这样进行拟合所能达到的精度是非常高的,例如,当120°<ϕ<180°且τ>0.5时:ϕ0=147.5,τ0=0.741666665105,其平均平方偏差为:4.3501238377944×10-5,其最大偏差为:9.1600304934214×10-5,偏差均值为:3.59148700119863×10-5(2)当|τ|<0.5时,直接用勒让德函数求得解析解。由于在此区间内U值的变化比较快,用多项式拟合精度上有一定的限制,以前的多项式算法误差主要也是来源于此。因此,用解析解计算将会提高其精度。下面给出本项目中的多项式拟合计算公式:U=4∑i=1{[4∑i=1A(i,j)(ϕ-ϕ0)j-1](τ-τ0)i-1}(9)通过公式(9)则可以计算出多项式拟合系数。例如,当ϕ<120°且τ>0.5时:ϕ0=105,τ0=0.741666665,其系数列于表1。其他情况下的系数限于篇幅,不再赘述。1.5角域3的视电阻率分析下面用两个单斜角域组合成一个双斜角域的例子,来分析组合叠加的精度。设角域1的β1=θπ,α1=0,ϕ1=π+θπ;角域2的β2=0,α2=θπ,ϕ2=π+θπ;角域3的β3=α3=θπ,ϕ3=π+2θπ。现将角域1和角域2两者的拐点重合,则组合地形是与3一样的角域。而叠加所得的视电阻率与角域3的视电阻率的对比,就选择供电极位于拐点上的特殊情况来具体分析,这时,可以得到:ε=(θ1+θ)2,假定允许ε≤4%,则:θπ≤π4。换言之,坡度≤45°,组合叠加误差就在4%以内。若点位不同,其叠加精度略有差别,对不同复合地形,叠加精度也略有不同。往往随坡角变陡,叠加误差也略为增加。严格地讲,前述二度体地形资料适用的条件是测线与地形走向大致垂直(斜交角<20°),侧线两侧的地形在A与MN中点距离的范围内没有多大变化。根据前人资料,对于山谷地形,其三度体与二度体在畸变值上的差异可以不必考虑(一般仅减小10%左右);对于山脊地形,其三度体畸变值比二度体大些,两者曲线的主要形态仍然相似。当山顶附近测线两侧走向长度都小于A到MN中点距离的一半时,那里的畸变值与二度体相比偏差可达20%以上。这时应视为三度体山脊,这应引起充分的重视。因而我们认为,二度体的地形资料的适用条件可扩充为任意走向长度的山谷和总走向长度(山顶附近)大于A到MN中点距离一半的山脊。2高阻异常特征就最典型的山脊山坳兼有的地形模型做纯地形异常试算,只做了四极装置,其他两种装置和四极装置类似。给出山脊山坳地形数据如表2所示。高密度等视电阻率剖面如图3所示。山脊地形纯异常特征是在山脊下方形成一柱状低阻带,然后向两侧形成两个倾斜柱状的高阻带,最后向两边影响减小。山坳地形的等值线和山脊地形的等值线情况正好相反,在山坳下方形成一柱状高阻异常,紧靠两边形成低阻异常,然后,异常才逐步减小。这正是我们常说的“镜像异常”现象。3构造形式在隧道物探围岩分类勘探中,物探根据弹性波速度大小和岩性来对围岩进行分类,而获得的弹性波速度是围岩界面的速度,并不能得到整个围岩范围的速度参数。因此,在围岩完整,也没有岩性变化的情况下,这种方法很有效。但当围岩存在构造(如断层、岩性分界)时,由于构造一般都有一定产状(走向和倾角),这时会得到错误的围岩分类,如图4所示。通过高密度电法,在条件许可的情况下,可以较好的反映构造形态,得到构造产状。特别是在进行了地形校正之后的高密度数据,其有效性更高,