用牛顿定律推导小球运动微分方程

用牛顿定律推导小球运动微分方程

1含加速度的小鼠动力学质量m的小树可以认为是一个纹理，挂在一线上，线的另一端围绕半径为r的固定圆柱体，并在圆柱体的中心轴的水平配置中调整。当平衡时，垂直线的长度为l，不包括线的质量，而是写下了小球的运动方程。在文献中，这个问题被用作分析力学练习的示例。在这项工作中，我们改进了基于加速度定义方法和坐标跟踪方法的小球量比率。用牛顿定法或拉格朗日方程导出小球项目的运动微分方程。利用机器的可靠性，全面分析了小球项目的可能运动，并给出了用统一的运动方程来描述小球项目周期振动的条件。讨论了当小球项目的悬挂角速度最大值的位置，并通过计算机值计算绘制小球项目的循环动力学图。2加速度的比较小球摆离平衡位置,摆线与铅直向下方向的夹角用θ表示,并称为摆角.规定小球在平衡位置右方的摆角为正,在平衡位置左方的摆角为负;小球逆时针摆动时角速度为正,顺时针摆动时角速度为负.由图1可以看出绳上变动的悬点C与圆柱体中心O点连线与水平向右方向的夹角亦为θ.因此在小球作周期振动条件下,小球(质点)的位置完全可以由摆角θ确定.设在某时刻t,绳上C点为悬点,摆角为θ,角速度为˙θθ˙且大于零,在t+Δt时刻,悬点由绳上的C点转移到C′点,摆角由θ(t)变为θ(t+Δt),角速度由˙θ(t)θ˙(t)变为˙θ(t+Δt)‚t时刻绳上悬点C在t+Δt时刻的速度已不再为零.由图2不难看出:vc(t+Δt)=CC′⋅˙θ(t+Δt)=r[θ(t+Δt)-θ(t)]˙θ(t+Δt)速度的方向垂直于绳斜向上,根据加速度的定义知ac=limΔt→0vc(t+Δt)-vc(t)Δt=limΔt→0vc(t+Δt)-0Δt加速度的大小为ac=limΔt→0vc(t+Δt)Δt=limΔt→0r[θ(t+Δt)-θ(t)]˙θ(t+Δt)Δt=r˙θ2加速度的方向为Δt→0时,vc(t+Δt)的极限方向,此极限方向沿OC向外.小球在t时刻,相对悬点C的加速度在垂直于绳和绳方向的分量分别为:a′θ=(l+rθ)¨θ‚a′r=(l+rθ)˙θ2小球在t时刻的绝对加速度在垂直于绳和绳方向的分量分别为:aθ=(l+rθ)¨θ+r˙θ2(1)ar=(l+rθ)˙θ2(2)上面推导过程物理概念清楚,直观易懂.为比较或者说为验证式(1)、(2)的正确性,我们取水平向右为x轴正向,坚直向下为y轴正向,建立直角坐标系Oxy(如图1所示),当摆角为θ时,小球(质点)的坐标为:x=(l+rθ)sinθ+rcosθ(3)y=(l+rθ)cosθ-rsinθ(4)对x、y求时间的一阶导数得:˙x=(l+rθ)˙θcosθ(5)˙y=-(l+rθ)˙θsinθ(6)对式(5)、(6)求时间的一阶导数得:¨x=r˙θ2cosθ+(l+rθ)¨θcosθ-(l+rθ)˙θ2sinθ¨y=-r˙θ2sinθ-(l+rθ)¨θsinθ-(l+rθ)˙θ2cosθ将上面两式平方相加后整理得¨x2+¨y2=(r˙θ2)2+(l+rθ)2¨θ2+[(l+rθ)˙θ2]2+2r(l+rθ)˙θ2¨θ=[r˙θ2+(l+rθ)¨θ]2+[(l+rθ)˙θ2]2=a2θ+a2r两种方法推导的结果相同,对坐标求导得到加速度是力学、理论力学中常用的方法,需要较多的数学运算.3拉格朗日方程小球在作周期性运动中受到重力mg和绳子的张力T作用,将重力沿垂直于绳和绳方向进行分解.根据牛顿第二定律和(1)、(2)两式得m[(l+rθ)¨θ+r˙θ2]=-mgsinθ即[(l+rθ)¨θ+r˙θ2]=-gsinθ(7)m(l+rθ)˙θ2=Τ-mgcosθ(8)式(7)可改为d˙θ2dθ+2rl+rθ˙θ2=-2gsinθl+rθ上式是以˙θ2为变量的一次型微分方程,根据通解公式可求得˙θ2=1(l+rθ)2(2glcosθ+2grθcosθ-2grsinθ+c)(9)式中常数c由初始条件确定,将式(9)代入式(8)可得知绳中张力为θ的函数.式(9)可改写成12m(l+rθ)2˙θ2-mg(lcosθ+rθcosθ-rsinθ)=E上式表示运动中的小球机械能守恒.因此可用保守系的拉格朗日方程求解小球的运动微分方程,由式(5)、(6)可求得小球速度v=±√˙x2+˙y2=(l+rθ)˙θ小球的动能为Τ=12m(l+rθ)2˙θ2以小球的平衡位置为势能零点,在摆角为θ处小球的重力势能为V=mg[l-(l+rθ)cosθ+rsinθ]拉格朗日函数为L=Τ-V=12m(l+rθ)2˙θ2-mg[l-(l+rθ)cosθ+rsinθ]代入拉格朗日方程ddt(∂L∂˙θ)-∂L∂θ=0中,得mr(l+rθ)˙θ2+m(l+rθ)2¨θ+mg(l+rθ)sinθ=0即(l+rθ)¨θ+r˙θ2+gsinθ=0显然由保守系的拉格朗日方程能够得到式(7),但不能得到式(8),即不能求出绳中张力.若用第一类拉格朗日方程可得到式(8),但没有应用牛顿第二定律方便.4重力势能/应当拉直至合适的学习方法上面推导小球的加速度和运动微分方程过程中都是以绳子不松弛、小球作周期性运动为前提的,小球能否作周期性运动即小球运动的全过程能否用式(7)、(8)描述,需要加以讨论.为方便实验验证下面的讨论结果,我们将小球拉离平衡位置且在绳被拉直的情况下由静止释放小球,即取θ=θ0‚˙θ=0为初始条件.根据前面对θ的正负规定,当θ0＞π2且x(θ0)>r时,根据式(3)可知小球的坐标x(θ0)＜x(π2).因小球是由静止释放,初速度为零,绳中张力为零,小球将在重力作用下竖直下落,绳处于松弛状态,直到θ＜π2且满足x(θ)=x(θ0)时,绳被拉直,小球开始作逆时针摆动.当θ0＞π2且0<x(θ0)<r时,小球在重力作用下竖直下落,并与圆柱体碰撞.当θ0≤π2时,小球一开始就作逆时针摆动.若y(θ0)<r,即小球初始位于与圆柱体底部(图1中B点)相切的水平面之上,根据机械能守恒可知,小球向左摆回到该水平面时(θ=-π2),仍具有垂直于绳且向上的速度,即具有逆时针摆动的角速度,小球将继续作逆时针摆动,摆角将继续减小(θ＜-π2),导致重力沿绳的分量-mgcosθ为正即指向悬点.角速度的绝对值继续减小,由式(8)知绳中张力将出现等于零的情况,由于此时小球的运动速度不为零,小球将以此时的速度为初速度向右作斜抛运动,绳子将在一段时间内呈现松弛状态.若θ0值使得y(θ0)≥r,由机械能守恒和式(8)易知,小球在来回摆动的整个过程中,绳都不会出现松弛,即小球(质点)在与圆柱体底部相切的水平面内或之下,且绳被拉直状态下静止释放小球,都可实现小球的周期振动.当取θ=θ0‚˙θ≠0为初始条件时,仍以小球平衡位置为重力势能零点,当小球的能量满足12m(l+rθ0)2˙θ20+mg[(l-(l+rθ0)cosθ0+rsinθ0]≤mg(l-r)时,也可实现小球的周期振动.5惯性力-mr2-mgsin2的垂直分布根据机械能守恒易知,小球的速度在平衡位置取最大值.为讨论小球的角速度˙θ取最大值的位置,我们将式(7)改写成m(l+rθ)¨θ=-mr˙θ2-mgsinθ其中-mr˙θ2实际上是在以变动的悬点为参考点的平动非惯性系中观察到的惯性力,无论小球是从平衡位置右侧摆向左侧,还是从平衡位置左侧摆向右侧,惯性力-mr˙θ2始终垂直于绳且指向绳的左侧.当小球在平衡位置左侧时,θ<0,从而使得-mr˙θ2-mg