2021年重庆年中考24题阅读材料题综合

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题

1(育才2021级初三上定时训练二)中国古贤常说万物皆自然.而古希腊学者说万物皆数.小学我们就接

触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、

质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数--“欢喜数”.

定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然

数是一个“欢喜数”.

例如：24是一个“欢喜数”，因为24=4X(2+4),125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5=8,125不

是8的整数倍.

(1)判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；

(2)有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”.

2(育才2020级初三下中考模拟5月份)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p

Xq(p,q是正整数，且pWq),在n的所有这种分解中，如果p,q两因数之差的绝对值最小，

我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：F(n)=之例如12可以分解成1X12,2X6或3

q

X4,因为12-「>6-2>4-3,所以3X4是12的最佳分解，所以F(12)=~.

(1)若F(a)且a为100以内的■正整数，则a=

(2)如果m是一个两位数，那么试问F(m)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大(或

最小)值以及此时m的取值并简要说明理由.

3(育才2020级初三下中考模拟二)先阅读，再解答问题.

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，

可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.如

当*=百+1时，求的值，为解答这题，若直接把*=我+1代入所求的式中，进行计算，

显然很麻烦.我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.

方法一将条件变形.因x=J§+l,得x-1=«.再把所求的代数式变形为关于(x-1)的表达式.

3

原式(X-2X-2X)+2

2

=—[x(x-1)-x(x-1)-3x]+2

2

=—[x(x-1)2-3x]+2

2

=A(3x-3x)+2

2

=2

方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x-1=«,

可得*2-2x-2=0,即，x-2x=2,x=2A+2.

原式=2X(2A+2)-X-A+2

2

=x+x-x-x+2

=2

请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题:

(1)若/-3>1=0,求2a-5a?-3+-^—的值；

a2+l

(2)已知x=2+g求x4-x3-9三:§工+5.的值.

x-4x+3

4(育才2020级初三下中考模拟三))阅读理解：

添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的

作用，例如：

例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(3,6+1)(332+1)

解：原式=3(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(3,6+1)因由)

=—(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

2

=y(34-1)(34+1)(38+1)(3,6+1)(332+1)

^364-1

2

例2：因式分解：AA1

解：原式=彳4+/+1=/+2/+1-?

=(x+1)2-X

=(f+1+x)(f+1-x)

根据材料解决下列问题:

(1)计算：(1+y)(1+^2-)(1+今)(1+3)Q4^)；

(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算.(；4)号.9)(学)……(.：±4)通过思考,

(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)

他发现计算，式中的式子可以用代数式之f+4来表示，所以他决定先对V+4先进行因式分解，最后果然

发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：

①分解因式：U+4；

②计算.(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(J+4)(5，+4)(94+4)……(494+4)

''(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)

5(育才2019级初三下中考模拟一)阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌.这是武侠小

说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的

“对子”，如(灰+3)(遥-3)=-4,(V3+V2)(V3-V2)=1.它们的积不含根号，我们说这两个二次

根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如

曷黑哼篝二黑慧案*―像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分

母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化.

解决间题:

⑴比较大小：选一备(用

或“="填空)；

,、2222

(2)计算：西百+而+诉।7妻+W7+…卜99VM9+西；

(3)设实数x,y满足(x+7x2+2019)5^2+2019)=2019,求广齐2019的值

6(育才2020级初三下中考模拟二练习)我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：

3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数.

(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a=26l,6

=2〃?+2〃，。=24+2"1(〃为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股

数.

(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提

至IJ：当a=擀(.m-n),b=mn,c=~(石+〃?)(〃、"为正整数，m>"时，a、b、c构成一组勾股数；

利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37,且〃=5,

求该直角三角形另两边的长.

7(双福育才2020级初三下中考模拟一)阅读材料:若加2—2〃妨+2〃2—8〃+16=0,求小〃的值.

解：Vw2-2mn+2r^-8/7+16=0':.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

:.(机一鹿产+(九一4)2=0,：.m-n=0,n-4=0,n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)己知f+2孙+2/+2y+l=0,求x—y的值.

(2)已知AABC的三边长a,6,c都是正整数，且满足/+〃一6。一8匕+25=0,求边c的最大值.

(3)若己知。一人=4,。人+。2-6c+13=(),求a—Z?+c的值.

8（育才2020级初三下入学测试）阅读材料：

材料1:数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：11、171、

1661、134431、…，像这样的数我们叫它“完美数”.

材料2：如果一个三位数abc,满足a+%+c=9,我们就称这个三位数为“长久数”.

（1）请直接写出既是“完美数”又是“长久数”的所有三位数；

（2）若三位数是大于500的“完美数”，它的各位数字之和等于〃，〃是一个完全平方数且〃为奇数，求这

个三位数（请写出必要的推理过程）.

9（育才2020级初三上第二次月考）阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数加都可以表示

为：m=p2+q（〃、4是正整数），在加的所有这种表示中，如果加一同最小时，规定：=例

如：21可以表示为：21=12+20=22+17=32+12=42+5,因为|1—29>[2-17|>|3-1[>[4-5|,

所以/（21）=；.

（1）求网33）的值；

（2）如果一个正整数〃可以表示为产-，（其中且是正整数），那么称〃是次完全平方数，证明:

任何一个次完全平方数n,都有F（n）=1；

（3）一个三位自然数左，左=100«+1仍+°•（其中l«a49,0<b<9,04c〈9,且aWc,a,b,c为整

数，）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且攵与其十位上数字的2倍之和能

被9整除，求所有满足条件的左中尸化）的最小值.

10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）一个形如Mede的五位自然数（其中a表示该数的万位上

的数字，。表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该数的十位上的数字，e表示该

数的个位上的数字，且若有“=e,6=d且C=“+。，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自

然数12321中，3=2+1,则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的

平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，432-342=693,

则43734是一个“智慧对称数”.

（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称

交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。例如：12321与21312为一组“相关对称数”，求证:

任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；

（2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”.

11（育才2020级初三下开学试卷）请阅读下列材料：

问题：已知方程f+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为y,则y=2x所以*=着.

把x书代入已知方程，得（看）%-1=0

化简，得d+2y-4=0

故所求方程为7+2y-4=0.

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：

(1)已知方程V+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程

为：;

(2)已知关于x的一元二次方程a¥+6"c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根

分别是已知方程根，的倒数.

12(育才2020级初三上期末试卷)如果一个正整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差

(通常用大减小)是11的倍数，则这个正整数一定能被11整除.比如整数90827,奇数数位上数字之

和为9+8+7=24,偶数数位上数字之和0+2=2,24-2=22,因为22为11的倍数，所以整数90827能被

11整除；又比如143,奇数数位上数字之和为1+3=4,偶数数位上数字之和4,4-4=0,因为。为11

的倍数，所以143能被11整除；

(1)直接写出能被11整除的最小的三位正整数为,能被11整除的最大的四位正整数为

(2)若四位正整数a6cd能被〃整除.求证：正整数bed-a也一定能被11整除；

(3)若一个三位正整数a6c能被11整除(其中0VaW5,0<cW5),在这个三位数的首位数字前添上

1后，得到的新的四位数/abc还能被7整除，求原来这个三位正整数.

13(育才2020级初三上开学测试)定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位

上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数.设《为一个开合数，

将4的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与力相加的和记为①(⑷.例如：852是“开合数”,

则①(852)=852+258=1110.

(1)已知开合数片103+10x(0cxW9,且为“整数)，求①(加的值;

(2)三位数力是一个开合数，若百位数字小于个位数字，花㈤是一个整数,且①(⑷能被个位数

\111

字与百位数字的差整除，请求满足条件的所有力值.

14(育才2020级初三上期中试卷)对于任意一个自然数乂将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们

把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K,

我们把K称为〃的“终极数”，并记H(a=/例如，456T4+5+6=15-1+5=6,，"456)=6.

(1)计算：f(2019)=3.f(20192020)=7.

(2)有一个三位自然数代京，已知大(就=4,且xVyVz,请求出所有满足条件的自然数〃

15(育才2020级初三下入学测试)一个三位自然数m,将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为

0的新三位自然数“(m，可与m相同)，设礼的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,在”的所有

的可能情况中,当a+b+2c最大时，称此时的五是m的“友好数”，记作:K(m)=m'.

例如：815按上述方法可得新数：851,518,185；因为8+5+2X1=15,5+1+2X8=22,1+8+2X5=19,15<19<22,

所以518是815的“友好数”，即K(815)=518.

(1)求值：K(426)=,K(531)=；

⑵设三位自然数n=200+10/y1Wy<9,x,y为自然数)，且Ky,交换其个位与十位上的数字

得到新数n，，若13n+2n'=3429,那么我们称n为“长久数”，求所有“长久数”中K(n)的最小值.

16(育才2019级初三是哪个期末测试)平面直角坐标系中有两点B(x2,y2~),我们定义A、B两

点间的Z值”直角距离为4(A,B),且满足4(4切=布|一百+仅|一%|，其中%>0。

小静和佳佳在解决问题：【求点0(0,0)与点“(2,5)的“1值”直角距离4(0,M)］时，采用了两种不同的

方法：

【方法一】：4(O,M)=lx|2—q+|5—q=7；

【方法二】：如图1,过点M作MN_Lx轴于点N,过点M作直线y=—x+7与x轴交于点E,则

d\(O,M)=ON+MN=OE=1

请你参照以上两种方法，解决下列问题:

（1）已知点。（一2,1）,点Q（2,3）,则P、。两点间的“2值”直角距离4仍,Q）=

（2）函数>=d（x<0）的图像如图2所示，点C为其图像上一动点，满足O,C两点间的“左值”

X

直角距离4（o,c）=5,且符合条件的点。有且仅有一个,求出符合条件

的“攵值”和点C坐标。

答案：

1.((1)V2+8=10,28不是10的整数倍，

，根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；

V1+3+5=9,135=15X9是9的倍数，

,根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；

(2)①设这个数为一住数明且。为自然数，。去0,

根据题意可知a=4a,

又。手0,

，这种情况不存在；

②设这个数为两位数五，。，》为整数，

；・10Q+A=4(。+)),即5=2Q,

.•.产1或产2或产3或产4,

Ib=2Ib=4Ib=6Ib=8

,这种欢喜数为12,24,36,48;

③设这个数为三位数本，a,b,c为整数,

100a+10b+c=4(.a+b+c),

则96a+6b=3c,

又a,b,c为0到9的整数，且

，这种情况不存在；

④设这个数为四位数忘a,b,c,d为0到9的整数，且a'l,

1000a+100Z>+10c+</=4(.a+b+c+d"),

•*.996a+96b+6c=3d,

故没有0到9的整数a,h,c,d使等式成立，

由此类推，当这个数的位数不断增加时，更加无法满足等式，

...当一个欢喜数等于各数位数字之和的4倍时，这个数为：12或24或36或48.

2.解：解：(1)2X3=6,4X6=24,6X9=54,8X12-96；

(2)F(m)存在最大值和最小值.

当m为完全平方数，设m』2(n为正整数)，

:|n-n|=0,

nXn是m的最佳分解，

AF(m)=—=1；

n

又TF(m)且pWq,

，F(m)最大值为1,

此时m为16,25,36,49,64,81

当m为最大的两位数质数97时，F(m)存在最小值，最小值为上■.

91

故答案为：6,24,54,96.

3.解：(1)・・・。2-3。+1=0,

-3a=-1,a2+l=3a,=3,

・・・2〃3-5a2-3+,

=2a(/-3〃)+(/-3〃)+3〃-3+_5_

3a

=2〃X(_1)+(-1)+3。-3+—

2a-1+3〃-3+2

a

=a-4+—

=3-4

(2):元=2+«,

Ax-2=5/3,

.x4-x3-9X2-5X+5

x2-4X+3

「X3(X-2)+X：(X-2)-7X(X-2)-19(X-2)-33

(x-2产-1

_V§X3+>/§X2-7V^X-19V^-33

3<

_畲*26-2)+3ax(x-2)-我6-2)-214-33

2

_3X2+9X-3-21J§-33

2

_3x(x-2)+15(x-2)-6-21\/3

2

_3V^x+]5«_6_21相

2

_3V3(x-2)-6

2

9-6

-_3-.

2

4.】解：（1）原式=2X（1-x（1+y）（1+表）（1+今）（1+j）

]

=2X(1-21024)

_21024T

一21。23，

(2)(T)X4+4=X4+4X2+4-4A2

=(X2+2)2-(2JC)2

=(JC2+2X+2)(JC2-2x+2)

=[(x+1)2+l]»[(x-1)2+l]

②当x=l时，「+4=1X5,当x=3时，34+4=5X17,

当x=5时，54+4=17X37,当x=7时，74+4=37X65,

当x=9时，94+4=65X101,当x=U时，114+4=101X145,

1X5X17X37X65X101X……X(好+口

X

5X17X37X65X101X145X……X(9D2+1)(522+1)

IX5X17X37X65X101X.......X⑸2+1)

5X17X37X65X101X145X.......X(®2+l)(522+1)

1__1

=2X9

52^+152。1

12

(-9-)

522+1

1_1”(5/^+2)_V^+2

5.解:

VG-2(V6-2)(A/6+2)2

1________1”（后_回我

事（V5）（V5+V3）2

VV6+2>/5+V3

-1

V6~2

故答案为：＞

(2)..2=2:(99西-97俗)=2,(99西-97、廊)

・99V97+97A/99(995/97+97\^9)(997^7-97^99)992X97-972X99

2>(99V97-97V99)_99V97-97799_V97J/99

99X97X(99-97)~99X97979T

二原式:（1专）+（与《）+（哈平）+•3日二33-VH

199'=~33~

22

(3),­'(X+7X+2019)(y+Vy+2019)=2019-

,/-?-----2019

x+Vx+2019=~~-----

yb/y+2019

•，•x+Vx2+2019=7y2+2019_y01

同理：yh/y2+20192019-x②，

，①+②得x+y+VX2+2019+Vy^+2019=7y2+2019+Vx2+2019~(x+y)，

，x+y=O,

・・・x+y+2019=2019.

6.

(1).；。2由=(2/z+l)2+(2/产+2〃)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4/z2=4n4+8/i3+8/z2+4«+1,

c2=(2层+2〃+1)2=4〃4+8〃3+8〃2+4〃+I,

.\a2+b2=c2,

•:n为正整数,

：.a、b、c是一组勾股数；

(2)解：(m2-n2),b=mn,c=-^-(m2+n2),

'.a2+b2=c2,

.'△ABC是直角三角形，且c为直角边，

Vn=5,

(.m2-52),b=5m,c=-^-(m2+25),

•.,直角三角形的一边长为37,

分三种情况讨论，

①当a=37时，y(m2-52)=37,

解得，〃=±3，五(不合题意，舍去)

②当5=37时，5m=37,

解得”?=%(不合题意舍去)；

5

③当c=37时，37=£(〃，+/),

解得"2=±7,

V/n>/?>0,机、〃是互质的奇数，

:・m=7,

把相=7代入①②得，a=12,6=35.

综上所述：当〃=5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,35.

7(1)9

(2)可能为6,7,8,9,10

(3)A+b+c=8

8.(1)171,252,333,414

(2)565,646,727,808,898,979

9.解：(1g

5

(2)1

(3)最小值为,

7

10.

解：证明：由题意知：任意一个五位“对称数”都为此形式万砺(。,。分别取1,2「“,9且。。0)

(1)设任意的两个“相关对称数”分别为方而，bacab(分别取1,2,…,9且CHO)

c=a+babcba+bacab=10101(a+2?)+1110(a+/?)=11211(a+Z?)

二“相关对称数”之和是11211的倍数•.•最小“对称数”为11211.

二两个“相关对称数数”之和是最小“对称数”的倍数.

(2)由(1)知五位“对称数”形式为abcba.若此“对称数”为“智慧对称数”，

/.(10a+b)2-(10b+a)2=99(a2-b2),且/一〃被7的奇数倍整除.

vl<«<9,1<Z?<9.

.•.-80<«2-/?2<80,

/.a2-b~=±7,±21,±35,±49,±63,±77,

当。2一后=7时，〃=4,b=3,c=7,

当。2—b1=—7时，a=3,b=4,c=7,

当a2—〃=21时，a=5,b=2,c=7；当Q?—〃=—21时，a=2,h=5,c=7,

当Q2—〃=35时，a=6,b=l,c=7；当Q?—〃=—35时、a=l,b=6,c=7,

当一〃=49时，不符合题意；当。2一〃=_49时，不符合题意.

当。2—人2=63时，Q=8,Z?=l,c=9；当。2一从=~63时，。=1,6=8,c=9,

当。2一片=77时,不符合题意；当。2一〃=-77,不符合题意.

二所有的“智慧对称数”为：43734,347^8,52725,25752,6171646761,81918,18981.

・♦.最大的“智慧对称数”为81918.

11.

解：(1)设所求方程的根为y,则y=-x所以x=-y.

把冗=->代入已知方程，得炉->-2=0,

故所求方程为产-厂2=0；

(2)设所求方程的根为y,则丁=L(xWO),于是(yWO)