《平均值不等式》PPT课件(江西省县级优课)-课件

选修4-5基本不等式江西省上饶县综合高中黄玮飞【教学目标】

1、知识与技能目标

：（1）掌握基本不等式，认识其运算结构；

（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标：

（1）学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

2002年国际数学家大会会标

创设情境、体会感知：三国时期吴国的数学家赵爽

《勾股圆方图》思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1一、探究问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=

则正方形的面积为S=

。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？易得，s>s’,即ADCBHGFE问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？定理1：对于任意实数a、b，都有当且仅当a=b时，等号成立探究2问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？形数此不等式称为重要不等式2.代数意义：几何平均值小于等于算术平均值2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解1.思考:如果用去替换中的,

能得到什么结论?必须要满足什么条件?算术平均值几何平均值基本不等式3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。构造条件三、应用例1、若,求的最小值.变3:若,求的最小值.变1:若求的最小值变2:若,求的最小值.发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？三、应用例2、已知,求函数的最大值.变式:已知,求函数的最大值.发现运算结构，应用不等式应用要点：一“正”二“定”三“相等”①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，

则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2=18/2=9得xy81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。1、本节课主要内容？你会了吗？四、小结2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。

2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”

即“一正，二定，三相等”课堂小结x＞0,当x取何值时，的值最小？最小值是多少？已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？

作业证明:要证只要证

()①

②要证②，只要证

()③

要证③，只要证（－

)

④显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.探究３oabABPQ如图,AB是圆