2019年秋人教版八年级上学期数学导学案：12.3 角的平分线的性质

2019年秋人教版八年级上学期数学导学案：12.3角的平分线的性质一、知识概述在三角形中，如果一条直线既与一个角的两边相交，又把这个角分成两个相等的角，那么这条直线就叫做这个角的平分线。1.角平分线的判定在三角形中，如果一条直线既与一个角的两边相交，又把这个角分成两个相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。2.角平分线的性质性质1：角平分线上的点到角两边的距离相等。性质2：角平分线将角分成两个相等的角。性质3：角平分线所在直线上的点与角内部任一点所成角的大小相等。性质4：角平分线所在的直线（线段）中点到角顶点的距离等于角两边的一半。二、案例探究案例一如图，在△ABC中，D在BC上，且AD为角BAC的平分线，求AB：AC。解析：由题意可知，∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC，即∠BAF=∠CAF。因此，△ABF≌△ACF。根据全等三角形的性质可得，AB=AC，即△ABC为等腰三角形。案例二如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AD的中点，EF交AC于G点，证明：EG是∠AEB和∠DEC的平分线。解析：链接DE，BD，因为△BED≌△CDF（相应角相等、公共边BD≌CD），所以∠EBD=∠DCF。链接AE，AF，EF是平行四边形ABCD的对角线中线，“对角线平分”的性质可知AE=EF=AF。所以，EF=AE+AF也就是EF=2×AE因此，∠EAF=∠EAB+∠FAB=2∠EAB因此，∠EBG=∠GAF=∠CAF，所以EG次分∠AEB。对于∠EDC，容易证明：由BD平行于AC得KL1=LK2.连接JL1，JL2.因为J是EF的中点，所以JL1平行于BD，JL2平行于AC，于是竖角∠1=∠2案例三如图，在△ABC中，AB=AC，BF是角B的平分线，CF过点F与AB相交于点E，交角ACF的平分线于点D，若BD+CD=2，求∠ACB的度数。解析：连接AD，AB，因为BD和CD的和等于2，所以BD+CD=BD+AD-AB=BD+BF-AB=BF-AF+BF-AB=2BF-AB因为AB=AC，所以AB/BC也就是AC/BC，故△ABC为等腰三角形。因此BF是AC的中线。所以CF=2BF-AB。所以BD+CD=CF-AB=BF这就说明BD和CD分别是三角形ACF的AB所对的角的两个平分线，所以BD=CD，于是角B的平分线也是角C的平分线，所以BE也是角ACF的平分线。因此，∠FED=∠FBD=1/2∠B，以及∠BAC=∠BCA。设∠ABF=x，则∠ACF=180°-2x，∠EFD=90-x，∠FBD=x/2，∠FED=x/2，因此∠DEC=90°+3x/2。而又有∠BCA=(∠BAC)/2+(∠CAB)/2=3x/2，所以角B和角C的平分线重合，在D点上。于是，∠BAB=x+3x/2=5x/2。由于AB/BC=1，∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，那么∠BAC=180-2y，∠BAB=5y/2。根据三角形内角和定理，得∠BAC+∠ABC+∠ACB=180所以180-2y+y+y=180，解得y=