2023届湖南省A佳经典联考试题高考冲刺模拟（四）数学试题试卷

2023届湖南省A佳经典联考试题高考冲刺模拟（四）数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若，则的值等于（）A． B． C． D．2．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A．2 B． C． D．3．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，184．已知复数满足，则（）A． B． C． D．5．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)6．在中，，则=（）A． B．C． D．7．已知函数满足，当时，，则（）A．或 B．或C．或 D．或8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A． B． C． D．9．已知数列的通项公式是，则（）A．0 B．55 C．66 D．7810．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（）A． B． C． D．011．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．12．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．14．已知，，则与的夹角为.15．若一组样本数据7，9，，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.16．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）18．（12分）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.19．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．21．（12分）记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，.（1）求抛物线的方程；（2）若，直线与交于点，，求直线的斜率.22．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面积；（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由函数的奇偶性可得，【详解】∵其中为奇函数，也为奇函数∴也为奇函数∴故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数2、C【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．3、A【解析】

利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：故选A．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．4、A【解析】

根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】由题可知：由，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.5、D【解析】

由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.【详解】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6、B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．7、C【解析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【详解】由，可知函数关于对称当时，，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.8、B【解析】

根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.【详解】，.运行第一次，，不成立，运行第二次，，不成立，运行第三次，，不成立，运行第四次，，不成立，运行第五次，，成立，输出i的值为11，结束.故选：B.【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.9、D【解析】

先分为奇数和偶数两种情况计算出的值，可进一步得到数列的通项公式，然后代入转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当为奇数时，，当为偶数时，所以当为奇数时，；当为偶数时，，所以故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.10、B【解析】

根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选：B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.11、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．12、A【解析】

根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，，此为球的半径，.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.14、【解析】

根据已知条件，去括号得：，15、1【解析】

根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案．【详解】根据题意，数据7，9，，8，10的平均数为9，则，解得：，则其方差.故答案为：1．【点睛】本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值，属于基础题．16、1【解析】

根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．【详解】解：圆的圆心为（1，1），半径，

因为直线被圆截得的弦长为2，

所以直线经过圆心（1，1），

，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】

选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.【详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、（1）；（2）不存在，理由见解析【解析】

（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.【详解】（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.点为椭圆的右顶点时，的坐标为，即，，化简得：，即，解得或（舍去），所以；（2）椭圆的方程为，由（1）可得，联立得：，设B的横坐标，根据韦达定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，则，化简得：，，此方程无解，所以不存在使得成立.【点睛】此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.19、（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【解析】

（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算可得结论．【详解】解：（1）．（2）抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．20、(1)(2)4【解析】

（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B点坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算的值即可．【详解】（1）将点P横坐标代入中，求得，∴P（2，），，点P到准线的距离为，∴，∴，解得，∴，∴抛物线C的方程为：；（2）抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为，；设，直线AB的方程为，代入抛物线方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，