2021中考复习：等腰三角形（含答案）

2020-2021中考专题复习：等腰三角形

一、选择题

1.一个等腰三角形两边的长分别为限和田，则这个三角形的周长为（）

A.10小+3小B.5/+6啦

C.10小+36或54+6y[2D.无法确定

2.

(2020.临沂)如图，在A/U3C中，AB=AC,NA=40。，CD//AB,则

NBCD=()

A.40°B.50°C.60°.D.70°

3.

如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点，MN，AC于点N

,则MN等于（）

A-5B5

4.（2020.毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周

长为（）

A.13B.17C.13或17D.13或10

5.（2020.烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在aAOB中，射线OC

交边A8于点。，则NAOC的度数为（）

A.60°B.70°C.80°D.85°

6.一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B

处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42。方向上，在海岛B的北偏西84。方向上.

则海岛B到灯塔C的距离是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

7.（2019•梧州）如图，OE是△ABC的边A8的垂直平分线，。为垂足，DE交AC

于点E,且AC=8，BC=5,则△5EC的周长是

A.12B.13

C.14D.15

8.

如图，在△ABC中，AB=AC,BC=12,E为AC边的中点，线段BE的垂直平分

线交边于点D设8。=无，tan/AC8=y,则（）

B.2x-7=9

C.3x—/=15D.4x~y2=21

二'填空题

9.已知等腰三角形的底角是30。，腰长为2内，则它的周长是.

10.如图，将AABC绕点A逆时针旋转150。，得到△AOE,这时点8,C,。恰

好在同一直线上，则N8的度数为

E

11.如图，△ABC是等腰三角形,AB=AC,NBAO45。，点。在AC边上，将△A3。

绕点A逆时针旋转45。得到△AQT,且点少，D,B在同一直线上，则NA8D的

度数是.

12.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值人称为这个等腰三角形的

“特征值”.若等腰三角形ABC中，NA=80。，则它的特征值上.

13.

如图，在AABC中，AB=AC,E为的中点，BD1AC,垂足为。.若NEAO=2

0°,则'

14.如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,

CP=10,贝ISAABP+SABPC=-

15.（2019•哈尔滨）在△ABC中，ZA=50°,NB=30。，点。在AB边上，连接CO,

若△ACD为直角三角形，则NBCO的度数为.

16.一个等腰三角形的一边长是2,一个外角是120。，则它的周长是.

三、解答题

17.

已知：如图，B,E,F,。四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,

C.求证：OA=OD.

18.(2020•广东)如题20图，在△ABC中，点O、E分别是A8、AC边上的点，BD=CE,

ZABE=ZACD,BE与CD相交于点凡求证：△ABC是等腰三角形.

19.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB边上一点(点。与A,B

不重合)，连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90。得到线段CE,连

接DE交于点F,连接BE.

(1)求证:△

(2)当/时，求尸的度数.

20.

如图，在四边形A8CD中，ZDAB=ZABC=90°,AB=BC,E是A3的中点，CE

±BD,连接AC交。E于点M.

⑴求证：AD=BE；

(2)求证：AC是线段EO的垂直平分线；

是等腰三角形吗？说明理由.

21.(2020.荆门)如图，△ABC中，AB=AC,NB的平分线交AC于D,AE//BC

交8。的延长线于点E,AFL43交BE于点凡

(1)若NBAC=40。，求NAFE的度数；

(2)若AO=OC=2,求AF的长.

22.(12分)如图，在等边三角形A8C中，点E是边AC上一定点，点。是直

线8c上一动点，以。E为一边作等边三角形。EE连接CE

【问题解决】

如图1,若点。在边上，求证：CE+CF=CD；

【类比探究】

如图2,若点。在边3c的延长线上，请探究线段CE,CF与CO之间存在怎样

的数量关系？并说明理由.

BC

B

图1S2

2020-2021中考专题复习：等腰三角形•答案

一、选择题

1.【答案】［解析］A因为/=5小，V18=3&•当55为腰长时，

三角形的周长为10小+3啦；当5小为底边长时，因为3啦+372=6啦

=［无>^72<775，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10小+3^2.

2.【答案】D

【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且A8=AC,

ZA=40，可得：ZABC=ZACB=70;然后根据两直线平行内错角相等且

CD//AB可得：NBCD=ZABC=70，所以选D.

3.【答案】C【解析】此题应首先连接AM,则AM_LBC.，AM=A/AC2-CM2

=4,然后由三角形面积：SAACM=\AMXCM.SAACM=\

12

ACxMN.得：AMxCM=ACxMN.，MN=5.也可以利用△ACMsaMCN.得：

ACAM.AMxCM12

CM=MN'，，MN=-AC-=亍

4.【答案】B,

【解析】本题考查等腰三角形的三边关系.

解：分两种情况讨论：若3为底边，腰长为7,则此等腰三角形的周长为3+7

+7=17；

若7为底边，腰长为3,则此等腰三角形不存在，因为3+3V7,不符合三角形

的三边关系，

故选B.

5.【答案】•.•0A=03,NAOB=140°,

1

/.ZA=ZB=2(180°-140°)=20°,

,/ZAOC=60°,

ZADC=ZA+ZAOC=20°+60°=80°,

故选：C.

6.【答案】C

【解析】根据题意画图，如图，NA=42。，ZDBC=84°,AB=15x2=30(海里),

，ZC=ZDBC-ZA=42°,BC=BA=30（海里）.

7.【答案】B

【解析】•••。石是△ABC的边A8的垂直平分线，,：

AC=8,BC=5,.•.△BEC的周长是：

BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.故选B.

8.【答案】8

【解析】连接DE,过点A作AFLBC,垂足为E过E作EGLBC,垂足为G；A

B=AC,AF1BC,BC=12,，BF=FC=6,又是AC的中点，EG±BC,

，EG〃AF,.*.CG=FG=1

CF=3,•.,在心^CEG中，fa〃C=黑，/.EG=CG^tanC=3y；/.DG=BF+FG

—BD=6+3—x=9—x,=HD是BE的垂直平分线，；.BD=DE=x,:在RdE

GD中，由勾股定理得，ED2=DG2+EG2,.,.x2=(9-x)2+(3y)2,化简整理得，

2x-y2=9.

二、填空题

9.【答案】6+43［解析］过等腰三角形的顶点作底边的垂线，设底边为2a,那么

cos30°=^»所以a=3,所以周长=6+4祗

10.【答案】15。［解析］•••△ABC绕点A逆时针旋转150。得到△ADE,

：.ZBAD=150°,XABC出MADE,AB=AD,

C.^BAD是等腰三角形，

，ZB=ZADB=^(180°-ZBAD)=15°.

11.【答案】22.5°［解析］根据题意可知△A3。之△ACO',.•.NBAC=NC4£>'=45°,

AD'=AD,

1800-45°

，ZADD'=ZAD'D=—'—=67.5°.

VD;D,B三点在同一直线上，

，ZABD=ZADD'-ZBAC=22.5°.

O1

12.【答案】《或*［解析］①当NA为顶角时，等腰三角形两底角的度数

为:-2—=50°,

二特征值\=券=*

)0。1

②当NA为底角时，顶角的度数为:180。-80。-80。=20。，，特征值上孟=7

故答案为|或;.

13.【答案】50［解析］:AB=AC,E为BC的中点，

/.ZBAE=ZEAD=20°.ZBAD=40°,

又YBD，AC,NABD=90。一/BAD=90。-40°=50°.

14.【答案】16亚24［解析］将4ABP绕点B顺时针旋转60。到^CBP',连接PP',

所以PC=%=6,BP=BP',NPBP，=60。,所以△BPP是等边三角形，其边长BP

为8,

所以PP'=8,S&BPP=166,

因为PC=10,所以PP/pcZuPC2,

所以△PP'C是直角三角形，S“P，C=24,所以

SAABP+SABPC=SABPP+SAPPC=16524.

15.【答案】60°或10°

【解析】分两种情况：

①如图1,当乙4。。=90。时,

D

B图1c

ZB=30°,/BCD=90°-30°=60°；

②如图2,当NACO=90。时，

•.•/A=50°,ZB=30°,=180°-30°-50°=100°,

，ZBC£>=100o-90o=10°,

综上，则/BCD的度数为60。或10。.故答案为：60。或10。.

16.【答案】6［解析］

已知三角形的一外角为120。，则相邻内角度数为60。，那么含有60。角的等腰三

角形是等边三角形.已知等边三角形的一边长为2,则其周长为6.

三、解答题

17.【答案】

证明：VBE=CF,

.,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.

AB=DC,

在4ABF和4DCE中，＜NB=NC,

,BF=CE,

.,.△ABF^ADCE.

/.AF=DE,ZAFB=ZDEC.

/.OF=OE.

.,.AF-OF=DE-OE,即OA=OD.

18.【答案】

证明：在4BFD和4CFE中，NABE=NACD,NDFB=NCFE,BD=CE,

.♦.△BFD丝△CFE(AAS).，NDBF=NECF.YNABE=/ACD；.NDBF+NABE=

ZECF+ZACD.

.,.ZABC=ZACB.AAB=AC.A△ABC是等腰三角形.

【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明NDBF=NECF,再根据等式的性

质，加上相等角得到NABC=NACB,等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角

形定义得到△ABC是等腰三角形.

19.【答案】

解:(1)证明:•.•线段C。绕点。按逆时针方向旋转90。得到线段CE,

：.ZDCE=9Q°,CD=CE.

又,/ZACB=90°,，ZACB=ZDCE,

：./ACD=NBCE.

'CD=CE,

在△ACO和△BCE中，：5个巴二"BCE,

,AC—BC,

/.△ACD^ABCE.

(2)VZACB=90°,AC=BC,

：.NA=45。，

•.•△ACO丝△BCE,

：.AD=BE,ZCBE=ZA=45°.

又AD=BF,：.BE=BF,

1800-45°

二ZBEF=ZBFE=-—=67.5°.

20.【答案】

解：(1)证明：VZABC=90°,

.,.ZABD+ZDBC=90°.

VCE1BD,

.,.ZBCE+ZDBC=90°.

/.ZABD=ZBCE.

在ADAB和AEBC中，

NABD=NBCE,

AB=BC,

2DAB=NEBC=90°,

.'.△DAB之△EBC(ASA).

AAD=BE.

(2)证明：..任是AB的中点，，AE=BE.

VBE=AD,

，AE=AD.

...点A在线段ED的垂直平分线上.

VAB=BC,ZABC=90°,

.••ZBAC=ZBCA=45°.

,//BAD=90。，

.".ZBAC=ZDAC=45°.

在aEAC和ADAC中，

(AE=AD,

IZEAC=ZDAC,

IAC=AC,

••.△EAC^ADAC(SAS).

，CE=CD.

...点C在线段ED的垂直平分线上.

.••AC是线段ED的垂直平分线.

(3)ADBC是等腰三角形.

理由：由(1)知△DABgAEBC,，BD=CE.

由(2)知CE=CD.

/.BD=CD.

...△DBC是等腰三角形.

21.【答案】

解：(1)：AB=AC,ZBAC=40°,

：.Z/1BC=yx(180°-40°)=70°.

,：BD平分NA3C,ZABD=ZDBC=1x70°=35°.

\'AF±AB,：.ZBAF=90°.

：.ZAFE=ZBAF+NABO=900+35°=125°.

(2)；BD平分NA5C,BD=BD,AD=CD,

.•.△BDA四ABDC.：.AB=BC.

又A8=AC,：.AB=BC=AC.

.'.△ABC为等边三角形.AZABC=60°,ZABD=30°.

'：AD=DC=2,：.AB=4.

在Rr/XABF中，AR=A83230°=4X坐=芈.

说明：此题中的条件AE〃8C是多余的.

【解析】(1)由“等边对等角“求出NABC,由角平分线的定义求出NAB。，ZAFE

是△ABE的外角，因此NAFE=N3AF+NA8。；

⑵由BD既是△ABC的角平分线又是中线可知AB=BC,从而推出△ABC是边长

为2的等边三角形.在RfZXABE中可解出AE

22.【答案】

【问题解决】在CD上截取CH=CE,易证△CE”是等边三角形，得出EH=EC

=CH,证明△OE"&△EEC(SAS),得出即可得出