【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第二册 向量的数乘运算 向量的数乘与向量共线的关系课件（36张）

3.1向量的数乘运算

3.2向量的数乘与向量共线的关系课标阐释

1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)3.掌握共线向量的基本定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)4.了解直线的方向向量的概念,会运用直线的方向向量的知识证明三点共线.(数学抽象、逻辑推理)思维脉络

激趣诱思知识点拨夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880000v2.对于880000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?激趣诱思知识点拨一、向量的数乘运算1.向量的数乘的概念实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,0a=0.(2)|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘.激趣诱思知识点拨2.向量的数乘的几何意义如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.3.单位向量由向量数乘的定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是

.激趣诱思知识点拨微思考数乘向量与数乘数有什么区别?提示前者结果是一个向量,后者结果是一个数.微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.(

)(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.(

)(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√激趣诱思知识点拨二、数乘运算的运算律1.数乘运算的运算律设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.激趣诱思知识点拨名师点析1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.激趣诱思知识点拨微练习1A.2a-b

B.2b-aC.a-b

D.b-a答案B激趣诱思知识点拨微练习2答案C激趣诱思知识点拨三、共线(平行)向量基本定理给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.名师点析1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任一向量a共线.当b≠0,对于向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由实数与向量积的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.2.已知三点A,B,C共线,O是平面内任意一点,则有

,其中λ+μ=1.3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.激趣诱思知识点拨微探究根据共线向量定理,对于非零向量a,b,如何确定实数λ,使得a=λb?答案(1)确定符号.b与a同向时,λ为正;b与a反向时,λ为负.(2)确定λ的绝对值.微思考共线向量定理中为什么要规定b≠0?提示(1)若将条件b≠0去掉,即当b=0时,显然a与b共线;(2)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;(3)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.激趣诱思知识点拨四、直线的向量表示探究一探究二探究三探究四当堂检测数乘向量的定义及几何意义例1(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(

)A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是(

)答案(1)C

(2)B探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

对向量数乘运算的三点说明(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测向量的线性运算例2(1)计算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);(2)设x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=

,b=

.

探究一探究二探究三探究四当堂检测共线向量定理及其应用角度1

向量共线的判定例3判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.探究一探究二探究三探究四当堂检测解(1)因为b=-2a,所以a与b共线.(2)因为a=b,所以a与b共线.(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.因为e1与e2是两个非零不共线向量,所以1-3λ=0,1+3λ=0.这样的λ不存在,因此a与b不共线.反思感悟

向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练3已知向量e1、e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.证明若e1=e2=0,则a=b=0,所以a与b共线,即a∥b;若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.因为e1≠0,所以a∥b.综上可知,a∥b.探究一探究二探究三探究四当堂检测角度2

用已知向量表示未知向量

答案C探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

用已知向量来表示所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理、相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测角度3

证明三点共线问题

探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.2.若A,B,C三点共线,则向量

在同一直线