第4章《代数式》知识讲练（教师版）【导图+知识点+新题拔高卷】2023-2024学年七年级数学上册章节复习讲义（浙教版）

第第页2023-2024学年浙教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：代数式诸如：16n，2a+3b，34，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．易错点拨：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．知识点02：整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．易错点拨：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．易错点拨：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3.多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．易错点拨：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．知识点03：整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．易错点拨：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．易错点拨：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．知识点04：探索与表达规律寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•长兴县期末）已知8个长为a，宽为b的小长方形（如图1），不重叠无空隙地摆放（如图2），在长方形ABCD中，AB＝3b+a，当BC的长度变化时，左上角阴影面积S1与右下角阴影面积S2的差没有变化，在a，b之间的关系应满足（）A．5b＝2a B．2b＝a C．3b＝a D．5b＝3a解：∵S1﹣S2＝3b（AD﹣a）﹣a（AD﹣5b），整理，得：S1﹣S2＝（3b﹣a）AD+2ab，∵若AB长度不变，BC（即AD）的长度变化，而S1﹣S2的值总保持不变，∴3b﹣a＝0，解得：3b＝a．故选：C．2．（2分）（2022秋•温州期末）﹣（a﹣b）去括号得（）A．a﹣b B．﹣a﹣b C．﹣a+b D．a+b解：﹣（a﹣b）＝﹣a+b．故选：C．3．（2分）（2022秋•兰溪市期末）如图是同一时刻北京时间和莫斯科时间．若现在北京时间是x，则同一时刻莫斯科的时间可以表示为（）A．x+6 B．x﹣6 C．x+5 D．x﹣5解：根据图示知，北京时间比莫斯科时间早5个小时，若现在北京时间是x，则同一时刻莫斯科的时间可以表示为x﹣5．故选：D．4．（2分）（2022秋•长兴县期末）已知x+y＝﹣1010，则代数式3﹣2x﹣2y的值为（）A．2023 B．﹣2021 C．2021 D．﹣2023解：∵x+y＝﹣1010，∴原式＝3﹣2（x+y）＝3﹣2×（﹣1010）＝3+2020＝2023．故选：A．5．（2分）（2022秋•仙居县期末）下列说法正确的是（）A．﹣3abc﹣1是二次三项式 B．ab2的系数是0 C．是单项式 D．的次数是3解：A、a2﹣3abc﹣1是三次三项式，故本选项不符合题意；B、ab2的系数是1，故本选项不符合题意；C、是多项式，故本选项不符合题意；D、﹣xy2次数是3，故本选项符合题意．故选：D．6．（2分）（2022秋•江北区期末）如图，将三种大小不同的正方形纸片①，②，③和一张长方形纸片④，平铺长方形桌面，重叠部分（图中阴影部分）是正方形，若要求长方形桌面长与宽的差，只需知道（）A．正方形①的边长 B．正方形②的边长 C．阴影部分的边长 D．长方形④的周长解：设①②③的边长分别是x，y，m．则EH＝m﹣x，EF＝2y﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴m﹣x＝2y﹣x，∴m＝2y，∴AB﹣AD＝（m+x）﹣（x+y）＝m﹣y＝2y﹣y＝y，∴只需要知道正方形②的边长即可．故选：B．7．（2分）（2022秋•拱墅区期末）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（）A．a﹣b B． C． D．解：设小长方形的长为x、宽为y，大长方形的长为m，则a+2y＝x+m，2x+b＝y+m，∴x＝a+2y﹣m，y＝2x+b﹣m，∴x﹣y＝（a+2y﹣m）﹣（2x+b﹣m），即x﹣y＝a+2y﹣m﹣2x﹣b+m，3x﹣3y＝a﹣b，∴x﹣y＝，即小长方形的长与宽的差是，故选：C．8．（2分）（2022秋•鄞州区期末）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图长方形的面积S2的比是多少？（）A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，解法一：由两个长方形ABCD的AD＝3b+2y＝a+x，∴图（3）阴影部分周长为：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2x+2DC﹣2x＝2a+2DC，∴图（4）阴影部分周长为：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y，∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，∴2a+2DC＝2DC+4y，a＝2y，∵3b+2y＝a+x，∴x＝3b，∴＝＝＝；解法二：如图3和4，构建长方形BCNM和BCQP，∵阴影部分的周长＝长方形BCNM的周长＝长方形BCQP的周长，∴BP＝CN，∴DN＝AP，即x＝3b，∵AD不变，∴3b+2y＝a+x，∴a＝2y，∴＝＝＝；故选：A．9．（2分）（2022春•新昌县期末）已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（）A．a B．b C．m D．n解：由图和已知可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF）＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b＝4n．∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可．故选：D．10．（2分）（2022秋•义乌市期中）若a2﹣2a＝﹣1010，则﹣2a2+4a+1的值为（）A．﹣2020 B．2020 C．﹣2021 D．2021解：∵a2﹣2a＝﹣1010，原式＝﹣2（a2﹣2a）+1＝﹣2×（﹣1010）+1＝2020+1＝2021，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•常山县期末）如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为6．解：由图可知：大长方形的长为2a+b，宽为a+2b，阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，∴（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝74，2（2a+b+a+2b）＝42∴a2+b2＝37，a+b＝7，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴2ab＝49﹣（a2+b2）＝12，∴ab＝6，即小长方形的面积为6，故答案为：612．（2分）（2022秋•仙居县期末）已知轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时，若轮船先顺水航行2小时，再逆水航行1.5小时，则轮船共航行（3.5a+0.5b）千米．解：由题意得，轮船顺水速度为（a+b）千米/小时，顺水航行2小时，∴轮船顺水航行的路程为2（a+b）千米，轮船逆水速度为（a﹣b）千米/小时，逆水航行1.5小时，∴轮船逆水航行的路程为1.5（a﹣b）千米，∴轮船共航行：2（a+b）+1.5（a﹣b）＝（3.5a+0.5b）千米，故选：（3.5a+0.5b）．13．（2分）（2022秋•温州期末）2022年11月3日，中国空间站“T”字基本构型在轨组装完成，“T”寓意：睿智，卓越．图1是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图2的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为2（m+4n）．（用含m，n的式子表示）解：“T”字型图形的周长为（m+2n+2n）×2＝2（m+4n）．故答案为：2（m+4n）．14．（2分）（2023春•嵊州市期末）如图1，周长为20的长方形纸片剪成①，②，③，④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为30．​解：设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为x+y，④号正方形的边长为2x+y．∵图1长方形的周长为20，∴y+（x+y）+（x+y）+（2x+y）＝20，化简得：x+y＝5．如图，图2中长方形的周长可表示为：（x+y）+AB+BC＝20，∴AB+BC＝20﹣（x+y）＝20﹣5＝15．由图2可知，没有覆盖的部分的周长可表示为：2（AB+BC）＝2×15＝30．故答案为：30．15．（2分）（2022秋•江北区期末）按如图所示程序运算，x为不超过20的自然数．当输入值x为9，18时，输出值最小．解：当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，当x＝2时，＝1，出现循环，不能输出值；当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝3时，3+x＝6＜10，当x＝6时，x＝3，出现循环，不能输出值；当x＝4时，＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝5时，3+x＝8＜10，当x＝8时，x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝6时，＝3＜10，当x＝3时，3+x＝6＜10，当x＝6时，x＝3，出现循环，不能输出值；当x＝7时，3+x＝10，当x＝10时，x＝5＜10，当x＝5时，3+x＝8＜10，当x＝8时，x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝8时，＝4＜10，当x＝4时，＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝9时，3+x＝12＞10，输出值是12；当x＝10时，x＝5＜10，当x＝5时，3+x＝8＜10，当x＝8时，x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝11时，3+x＝14＞10，输出值是14；当x＝12时，x＝6＜10，当x＝6时，＝3＜10，当x＝3时，3+x＝6＜10，当x＝6时，x＝3，出现循环，不能输出值；当x＝13时，3+x＝16＞10，输出值是16；当x＝14时，x＝7＜10，当x＝7时，3+x＝10，当x＝10时，x＝5＜10，当x＝5时，3+x＝8＜10，当x＝8时，x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝15时，3+x＝18＞10，输出值是18；当x＝16时，x＝8＜10，当x＝8时，＝4＜10，当x＝4时，＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值；当x＝17时，3+x＝20＞10，输出值是20；当x＝18时，x＝9＜10，当x＝9时，3+x＝12＞10，输出值是12；当x＝19时，3+x＝22＞10，输出值是22；当x＝20时，x＝10＝10，当x＝10时，x＝5＜10，当x＝5时，3+x＝8＜10，当x＝8时，x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，当x＝2时，＝1，当x＝1时，3+x＝4＜10，当x＝4时，x＝2＜10，出现循环，不能输出值．故当输入值x为9，18时，输出值最小．故答案为：9，18．16．（2分）（2022秋•拱墅区期末）某水果店销售40千克香蕉，第一天售价为8元/千克，第二天降为6元/千克，第三天再降为4元/千克．三天全部售完，共计所得240元．若该店第二天销售香蕉k千克，则第三天销售香蕉（20﹣）千克．（用含k的代数式表示）解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（40﹣k﹣x）千克，根据题意，得：8（40﹣k﹣x）+6k+4x＝240，则x＝20﹣，故答案为：（20﹣）．17．（2分）（2021秋•东阳市期末）按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为5、、．解：①当3a+1＝16时，a＝5，②当3a+1＝5时，a＝，③当3a+1＝时，a＝，④当3a+1＝时，a＝﹣（不合题意，舍去），故答案为：5、、．18．（2分）（2022秋•拱墅区期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长15cm，若记图2中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1﹣C2＝30cm．解：设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的长为xcm，宽为ycm，由图③可得，a+b＝x，∵这两个大长方形的长比宽长15cm，∴y＝a+b﹣15，由图②可知：阴影部分的周长C1＝2（x+y）＝2x+2y，由图③可知：阴影部分的周长C2＝2x+2（y﹣b）+2（y﹣a）＝2x+4y﹣2a﹣2b，∴C1﹣C2＝（2x+2y）﹣（2x+4y﹣2a﹣2b）＝2x+2y﹣2x﹣4y+2a+2b＝﹣2y+2a+2b＝﹣2（a+b﹣15）+2a+2b＝﹣2a﹣2b+30+2a+2b＝30（cm），故答案为：30cm．19．（2分）（2021秋•镇海区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2021次输出的结果为1．解：当x＝125时，0.2x＝25，当x＝25时，0.2x＝5，当x＝5时，0.2x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，0.2×x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，0.2×x＝1，…（2021﹣1）÷2＝1010，即输出的结果是1，故答案为：1．20．（2分）（2021秋•上虞区期末）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7．解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（4分）（2022秋•新昌县期末）先化简，再求值：﹣（2a2﹣6ab+9）+2（4ab+a2﹣4.5），其中，b＝6．解：﹣（2a2﹣6ab+9）+2（4ab+a2﹣4.5）＝﹣2a2+6ab﹣9+8ab+2a2﹣9＝14ab﹣18，当a＝﹣，b＝6时，原式＝14×（﹣）×6﹣18＝﹣56﹣18＝﹣74．22．（6分）（2022秋•婺城区期末）如图是一个长方形游乐场，长是6x米，宽为2y米，其中半圆形A区为休息区、长方形B区为游泳区，其他的地方都是绿地．已知半圆形A区的直径和长方形B区的宽都是y米，B区的长是3x米．（1）用代数式分别表示该游乐场休息区与游泳区的面积（结果保留π）；（2）当x＝15，y＝20时，若绿化草地每平方米需要费用50元，求这个游乐场中绿化草地的费用（π取3）．解：（1）休息区的面积为：×π×（）2＝y2（平方米）；长方形游乐场的面积为：3x×y＝3xy（平方米）；（2）绿化草地的面积＝长方形游乐场的面积﹣休息区的面积﹣游泳区的面积＝6x×2y﹣y2﹣3xy＝12xy﹣y2﹣3xy＝9xy﹣y2，∵x＝15，y＝20，∴原式＝9×15×20﹣×202＝2700﹣150＝2550（平方米）；2550×50＝127500（元）．故这个游乐场中绿化草地的费用为127500元．23．（8分）（2022秋•余姚市期末）如图所示是两种款式的长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是y米，宽都是x米．某用户订购了款式①窗框4个，款式②窗框5个．（1）制作这两批窗框共需铝合金多少米？（用含x，y的代数式表示）（2）若1米铝合金的费用为50元，则当x＝2，y＝1.5时，求该用户订购这两批窗框的总费用．（1）解：由图可知共需铝合金的长度为：4（3x+2y）+5（2x+2y）＝（22x+18y）米；答：制作这两批窗框共需铝合金（22x+18y）米．（2）∵1米铝合金的平均费用为50元，x＝2，y＝1.5时，∴总费用为50×（22×2+18×1.5）＝3550（元）．答：购这两批窗框的总费用为3550元．24．（8分）（2022秋•金华期末）已知多项A＝3x2﹣x+1，B＝kx2﹣（2x2+x﹣2）．（1）当x＝﹣1时，求A的值；（2）小华认为无论k取何值，A﹣B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A﹣B的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由．解：（1）∵A＝3x2﹣x+1，当x＝﹣1时，∴原式＝3×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝3×1+1+1＝5；（2）小明说法对；A﹣B＝3x2﹣x+1﹣kx2+（2x2+x﹣2）＝3x2﹣x+1﹣kx2+2x2+x﹣2＝（5﹣k）x2﹣1，当5﹣k＝0，即k＝5时，A﹣B＝﹣1．25．（8分）（2022秋•青田县期末）如图，两叠规格相同的杯子整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题：（1）按如图所示叠放一起时，相邻两个杯子杯口之间的高度相差2cm；（2）若x个杯子按如图所示整齐叠放在桌面上，求这些杯子的顶部距离桌面的距离（用含x的代数式表示）．当x＝10时，求这些杯子的顶部距离桌面的距离．解：（1）由图可知，相邻两个杯子被扣之间的高度差为12﹣10＝2（cm）．故答案为：2．（2）由（1）得，相邻两个杯子杯口之间的高度差为2cm．∴一个杯子的高度为10﹣2＝8（cm）．∴若x个杯子按如图所示整齐叠放在桌面上，则这些杯子的顶部距离桌面的距离是8+2（x﹣1）＝2x+6（cm）．∴当x＝10，这些杯子的顶部距离桌面的距离是2×10+6＝16（cm）．26．（8分）（2022秋•杭州期末）现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片（如图1），分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．还有一个长为a，宽为b的长方形．（1）如图2①，将Ⅰ放入长方形中，试用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当a＝4.5，b＝4时阴影部分的面积．（2）将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按图2②的方式，放置在长方形中，试用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当a＝4.5，b＝4时阴影部分的面积．（3）将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按图2③的方式，放置在长方形中，求右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差．解：（1）S阴＝ab﹣9，当a＝4.5，b＝4时，S阴＝4.5×4﹣9＝18﹣9＝9；（2）S阴＝ab﹣9﹣2（a﹣3）＝ab﹣2a﹣3，当a＝4.5，b＝4时，S阴＝9﹣2×（4.5﹣3）＝9﹣3＝6；（3）周长之差为：2（a﹣3）+2（b﹣1）﹣[2（a﹣3）+2（b﹣3）]＝2a﹣6+2b﹣2﹣[2a﹣6+2b﹣6]＝2a+2b﹣8﹣2a﹣2b+12＝4．故右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差为4．27．（10分）（2022秋•慈溪市期末）2022年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙、丙三家店铺在销售同一款标价均为30元的杯子，但三家的促销方式不同，具体优惠信息如下：店铺名优