2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6/,贝ijz=

A.1-2iB.1+2/C.1+iD.1-z

2.(5分)已知集合S={s|s=2〃+1,HEZ},7={e=4〃+l,nEZ},则SA7=()

3.（5分）已知命题p：3.rER,sin_r<l；命题q：VxER,ew^l,则下列命题中为真命题的

是（）

A.p/\qB.fp/\qC.p/\fqD.-'(pVq)

4.（5分）设函数F（x）=上三，则下列函数中为奇函数的是（

A./（x-1）-1B.fCx-\）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+1

5.（5分）在正方体4BC£）-48ICI£）I中，P为Bi£）i的中点，则直线PB与AOi所成的角

为（）

A.—B.—C.—D.—

2346

6.（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行

培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方

案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

7.（5分）把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的工倍，纵坐标不变，再把

所得曲线向右平移三个单位长度，得到函数y=sin（x-2L）的图像，则/（x）=（）

A.sin(A-Z2L)B.sin(匹+-ZL)

12212

C.sin(2x-7冗D.sin(2x+---)

12

8.（5分）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于工的概率为（）

D.2

9.（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海

岛的高.如图，点、E,H,G在水平线AC上，QE和FG是两个垂直于水平面且等高的测

量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与EH

的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（）

表高X表距

A..+表高

表目距的差

表高X表距

B.-表高

表目距的差

表高X表距

C..+表距

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

10.（5分）设a#0,若X=q为函数—a（x-a）2（x-b）的极大值点，贝!]（)

A.a<hB.a>hC.ah<a2D.ab>a2

22

11.（5分）设8是椭圆C：工-+匚=1（。>人>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满

2,2

ab

足|P8|W2b,则。的离心率的取值范围是（）

A.[返，1）B.[A,1）C.（0,乌D.（0,A]

2222

12.（5分）设a=2/〃1.01,h=lnl.02,c=Vl.04-1-贝U（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a〈cD.c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.（5分）已知双曲线C：工_-夕=1（m>0）的一条渐近线为心+g=0,则C的焦距

m

为.

14.（5分）已知向量之=（1,3）,]=（3,4）,若（Z-入E）贝I入=.

15.（5分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,面积为B=60°,a2+c2

=3ac,则b=.

16.（5分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个

三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一

组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：

共60分。

17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无

提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为7和样本方差分别记为sJ

和S2?.

（1）求X，y>si2,522：

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

2JSl+d,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为

V10

有显著提高）.

18.（12分）如图，四棱锥P-ABCQ的底面是矩形，底面ABC。，PD=OC=1,M为

BC中点，5.PBA.AM.

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-8的正弦值.

19.(12分)记S；为数列｛所｝的前”项和，治为数列｛%｝的前〃项积，已知2+_1_=2.

Snbn

(1)证明：数列｛b｝是等差数列；

(2)求｛的｝的通项公式.

20.(12分)己知函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数(%)的极值点.

(1)求。；

(2)设函数g(x)=x+f(x)证明：g(%)<］.

xf(x)

21.(12分)已知抛物线C：/=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M-./+()，+4)2=1

上点的距离的最小值为4.

(1)求p；

(2)若点尸在M上，PA,尸8为C的两条切线，A,8是切点，求△以8面积的最大值.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程1(10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy中，0C的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点F(4,1)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极

坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.己知函数/(x)=|x-a|+|x+3|.

(I)当。=1时，求不等式/(x)26的解集;

(2)若/(无)>-a,求〃的取值范围.

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6z,则z=()

A.1-2zB.1+2/C.1+zD.1-/

【分析】利用待定系数法设出z="+山，a,b是实数，根据条件建立方程进行求解即可.

【解答】解：设2=〃+沅，a,6是实数，

则z=a-bi,

则由2(z+W)+3(z-z)=4+6i,

得2X2a+3X2〃=4+6i,

得4“+66=4+6i,

得[4a=4,得“=[,〃=[,

l6b=6

即Z=1+Z,

故选：C.

【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，

是基础题.

2.(5分)已知集合5={小=2〃+1,neZ},T={t\t=4n+\,neZ),则SC7=()

A.0B.SC.TD.Z

【分析】分别讨论当〃是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断

即可.

【解答】解：当"是偶数时，设〃=2&,则s=2〃+l=4k+l,

当”是奇数时，设”=24+1,则s=2〃+l=4k+3,keZ,

则T$S,

贝ijsnT=T,

故选：C.

【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的

关键，是基础题.

3.（5分）已知命题p：a^eR,sirtr<1；命题q：VxGR,e国21,则下列命题中为真命题的

是（）

A.pAqB.fpl\qC.p/\~^qD.~'（pVq）

【分析】先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进

行判断，即可得到答案.

【解答】解：对于命题p：3x6R,siax<1,

当x=0时，sinx=O<1,故命题p为真命题，［p为假命题；

对于命题q：VxeR,«国21,

因为|x|20,又函数>=，为单调递增函数，故eM2e°=l,

故命题g为真命题，「q为假命题，

所以2八4为真命题，为假命题，为假命题，-3q）为假命题，

故选：A.

【点评】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的

判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

4.（5分）设函数/（x）=上①，则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A./（x-1）-1B./（A:-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+1

【分析】先根据函数的解析式，得到/（x）的对称中心，然后通过图象变换，使

得变换后的函数图象的对称中心为（0,0）,从而得到答案.

【解答】解：因为f（x）=—x+l）+2g,

1+x1+xx+1

所以函数/（x）的对称中心为（-1,-1）,

所以将函数/（X）向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数y=/（x-l）+1,该函数的对称中心为（0,0）,

故函数y=f（X-1）+1为奇函数.

故选：B.

【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定/（x）的对称中

心，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

5.（5分）在正方体ABC。-AIBICIQI中，P为BiQi的中点，则直线PB与AO1所成的角

为（）

【分析】由AOi〃BCi,得NPBCi是直线尸3与A£>i所成的角（或所成角的补角），由此

利用余弦定理，求出直线P8与所成的角.

【解答】解：：AO〃8Ci,.../PBCi是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），

设正方体ABCQ-481C1O1的棱长为2,

贝！1PBi=PCi=~^j22+22=V"^，^Ci=yj~^2~^2=2yf2,BP={22+2=V^，

PB2+BC2-PC26+8-2=«

cosNPBCi=--------1------1—

2XPBXB%2X70X272~

6

直线PB与ADs所成的角为三.

6

故选：D.

【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题.

6.（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行

培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方

案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【分析】5分先选2人一组，然后4组全排列即可.

【解答】解：5名志愿者选2个1组，有c?种方法，然后4组进行全排列，有A：种，

共有星A：=240种，

故选：C.

【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键,

是基础题.

7.（5分）把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把

2

所得曲线向右平移三个单位长度，得到函数y=sin(x--)的图像，则/-(x)=()

34

A.sin(A-Z2L)B.sin(A+2L)

212212

C.sin(2x--Z2L.)D.sin(2x+-^-)

1212

【分析】由题意利用函数〉=4$出（3X+<P）的图像变换规律，得出结论.

【解答】解：•.•把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的工倍，纵坐标不变,

2

再把所得曲线向右平移三个单位长度，得到函数y=411（x-2L）的图像，

34

...把函数y=sin（x-2L）的图像，向左平移三个单位长度，

43

得到y=sin（x+---^―）=sin（x+2-）的图像；

3412

再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

可得/(x)=sin(Xr+2L)的图像.

212

故选：B.

【点评】本题主要考查函数），=Asin（3x+<p）的图像变换规律，属基础题.

8.（5分）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于工的概率为（）

4

A.工B.aC.AD.2

932329

<0<x<l

【分析】由题意可得可行域：1<了<2,可得三角形的面积，结合几何概型即可得出

x+y>—

结论.

，0<x<l

【解答】解：由题意可得可行域：'1<y<2,可得三角形的面积=Lx3xW=_L,

x…24432

4

1-_1=空

3232

故选：B.

【点评】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公

式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.(5分)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海

岛的高.如图，点E,H,G在水平线4C上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测

量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与EH

的差称为''表目距的差”，则海岛的高A8=()

表高X表距

A.+表高

表目距的差

表高X表距

B.-表高

表目距的差

表高X表距

C..+表品目

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出.

【解答】解：些=旦旦，毁=丝，故£旦=竺，即一里一=一CG

ABAHBACAAHCAAE+EHAE+EG4C

解得：AH=AE+EH,

CG-EH

故：4R=DE・AH=DE(AE+EH)=DE・EG+c日

EHEHCG-EH

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了

推理能力与计算能力，属于基础题.

10.(5分)设若x="为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则()

A.a<bB.a>hC.ab<a2'D.ab>cP

【分析】分a>0及”<0,结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a,%的大小关系,

进而得出答案.

【解答】解：令/(x)=0,解得x=a或x=6,即x=a及x=Z?是/(x)的两个零点，

当〃>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/(无)的

则0<a<b；

当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/(x)的

大致图象如下图所示，

则b<a<0；

综上，ab>a2.

故选：D.

【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想,

属于中档题.

11.（5分）设B是椭圆C：斗$=—>0）的上顶点，若C上的任意一点尸都满

ab

足则。的离心率的取值范围是（）

A.[返，1）B.[X1）C.（0,返]D.（0,A]

2222

（22

x+7_1

【分析】由题意可得（a2b2"至多一个解，根据判别式即可得到。与b的关

x2+（y-b）2=4b2

系式，再求出离心率的取值范围.

【解答】解：点B的坐标为（0,b）,

因为C上的任意一点尸都满足俨8|W26,

所以点P的轨迹可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点,

22

x二］

即，a2b2~至多一个解,

x2+(y-b)2=4b2

22

消去x,可得b-a卜2-2勿+/-3庐=0,

b2'

,22

.♦.△=4廿-4・.P-旦.«/-3户)W0,

整理可得-々J廿+/W0,即（/.2/）2w。,

解得〃2=2层，.・.e=返,

故e的范围为（0,

故选：C.

【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于

中档题.

12.（5分）设a=2/〃L01,b^lnA.02,c=yl.04-1，则（）

A.a<h<cB.h<c<aC.h<a<cD.c<a<h

【分析】构造函数f(x)—2ln(1+x)-(5/1+4x-1)，0<%<1,h=ln(l+2x)

-(Vi+4^-1),利用导数和函数的单调性即可判断.

【解答】解:'.,。=2加1.01=/〃1.0201,b=lnl.O2,

'.a>b,

令/(x)=21〃(1+x)-(Vl+4x-1)'0<x<l,

令41+4x=f，则lVf<加

：.g(f)=2ln(l2检)-i+i=2l〃(尸+3)-z+1-2ln4,

4

2

.•./(r)=4t-1=4t-t-3--(t-1)(t-3)-^0

6999

t+3t+3t+3

：.g(r)在(1,-s/5)上单调递增，

：.gCt)>g(1)=2/〃4-1+2打4=0,

：.f(x)>0,

•\a>cf

同理令人(x)=ln(l+2x)-(Vl+4x~1)，

再令41+4—x=^则

.Lt2-l

4

Acp(r)=/n(A-+k)-z+1=ln(?+l)-r+1-ln2,

2

r.(p'⑺=_2工--1=二七］)£<0,

t2+lt2+l

.".(P(r)在(1,遍)上单调递减，

.,.<p(r)<(p(1)=/〃2-1+1-/〃2=0,

:.h(x)<0,

:.c>b,

:•a>c>b.

故选:B.

【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转

化思想，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.（5分）已知双曲线C：工_-/=1（机＞0）的一条渐近线为近v+my=0,则C的焦距

m

为4.

【分析】根据题意，由双曲线的性质可得第=4,解可得，"的值，即可得双曲线的标

V3

准方程，据此计算C的值，即可得答案.

„2

【解答】解：根据题意，双曲线C：工--/=]（胆＞0）的一条渐近线为后+缈=0,

m

则有_^=«,解可得%=3,

V3

2___

则双曲线的方程为江--『=1,则。=/布=2,

3

其焦距2c=4；

故答案为：4.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题.

14.（5分）已知向量@=（1,3）,b=（3,4）,若（a-'b）«Lb，则入

5

【分析】利用向量的坐标运算求得7一入E=（1-3入，3-4人），再由（a-Ab）±b^可

得（3,-入b），b=0,即可求解入的值.

【解答】解：因为向量@=（1，3）,b=（3,4）,

则a~入匕=（1-3入，3-4人），

又（a-入b）-Lb»

所以（W-入E）・E=3（1-3A）+4（3-4入）=15-25入=0,

解得人=3.

5

故答案为：1.

5

【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算

求解能力，属于基础题.

15.（5分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为B=60°,a2+c2

—3ac,贝ijb—_2\[?..

【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于人的方程，解方程可得.

【解答】解：:△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,面积为遥，8=60°,

a+c=3ac9

22

/.-acsinB=\[2=^^-acXyJ"2=^ac=4=>a+c=12,

2,2121Q»2

又COsB=-——=>A=1乙-b=8=2正,（负值舍）

2ac28

故答案为：2^/2-

【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.

16.（5分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个

三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④（写出符合要求

图①图②图③

图④图⑤

【分析】通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图

视图中的实线、虚线来确定俯视图图形.

【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1,②③图形的高也为1,即可能为

该三棱锥的侧视图,

④⑤图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图,

当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤,

当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该

三棱锥的俯视图为④.

故答案为：②⑤或③④.

【点评】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系,

以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题.

三、解答题：共7（）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（-）必考题:

共60分。

17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无

提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为彳和样本方差分别记为si

和般2.

(1)求X，y，S]2,J22;

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果G-G》

2\S沁,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为

Vio

有显著提高).

【分析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；

__I22

(2)比较y-x与2\±L52的大小，即可判断得到答案.

V10

【解答】解：(1)由题中的数据可得，

x10

(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=-l-X(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

10

s/=」__x[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8

10

-10)2

+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2J=0.036；

1V22=^-X[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1

10

-10.3)2

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]

=0.04；

（2）y-x=10.3-10=0.3.

^0.036+0.04=27573076^0.174-

__2,2

所以史2,

V10

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【点评】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,

考查了运算能力，属于基础题.

18.（12分）如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC^l,M为

8c中点，且尸8_LAM.

(1)求BC；

（2）求二面角A-PM-8的正弦值.

【分析】（1）连结BD,利用线面垂直的性质定理证明AMLPD,从而可以证明AM,平

面PBC,得到AM_L8£>,证明RCD4BsRt2\A8M,即可得到3c的长度；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.

【解答】解：（1）连结8。，因为PC底面A8C。，且AMu平面ABCC,

则又AM_LPB,PBCPD=P,PB,P£）u平面

所以平面PBD,又8£>u平面PBD,则AM1.BD,

所以NABO+NOAM=90°,又/DAM+NMAB=90°,

则有所以RtZ\£）ABsRtZiABM,

则地型，所以工BC2=I，解得BC=如；

ABBM2

（2）因为ZM,DC,OP两两垂直，故以点。位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

则A（V^,0，。），B（^^2,1，。），M1,0）»P（。,0,1），

所以AP=（-V2，0，1），

AM=（1<0），BM=（0，0），BP=（-V2,-1,D，

设平面AM尸的法向量为1=（x,y,z），

（1―—►（-&x+z=0

则有化,竺=。,B|jJ圾,

n-AM=0-x-^=0

令*=我，则y=l,z=2,故［=（6，1,2），

设平面8Mp的法向量为孟=（p,q,「）,

l-rV2n

则有?•巴=0,gp—P=°,

嬴而=°^/2p-q+r=0

令q=l,则r=l,故去（0,1,1），

所以|cos<U'>|-但可=£后二噜,

IniImlV7XV214

设二面角A-PM-B的平面角为a,

贝“sina=Y『cos2a4-cos2<1,^•产唔，

所以二面角A-PM-B的正弦值为叵.

14

'B

X

【点评】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的

时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，

属于中档题.

19.(12分)记S,为数列｛而｝的前〃项和，尻为数列｛%｝的前〃项积，已知2+」。=2.

Snbn

(1)证明：数列｛为｝是等差数列；

(2)求｛3,｝的通项公式.

b

【分析】(1)由题意当〃=1时，"=日,代入已知等式可得益的值，当〃22时，将_a_

^n-l

—S11,代入2+_1_=2,可得为-加一|=_1,进一步得到数列｛凤｝是等差数列；

$nL2

(2)由m=Si=bi=上，可得尻=打+2,代入已知等式可得S"=空2,当〃)2时，an

22n+1

=Sn-Sn-\=进一步得到数列｛〃”｝的通项公式.

n(n+l)

【解答】解：(1)证明：当〃=1时，b\=S\,

由2+」-=i,解得从=3,

blbl2

当〃22时，上2_=S,代入2+_1_=2,

bnT$n%

消去s,”可得23+工=2,所以从-儿.1=」，

bnbn2

所以｛为｝是以旦为首项，工为公差的等差数列.

22

(2)由题意，得ai=Si=Z>i=3,

2

由(1),可得瓦=3+(«-1)x

222

由2+工=2,可得的=止2,

Snbnn+1

当〃22时，-S《-in+l=_--1---,显然ai不满足该式，

n+1nn(n+l)

日,n=1

所以斯=4.

n(Jl)'n>2

【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题.

20.(12分)己知函数f(x)=ln已知x=0是函数y=4(x)的极值点.

(1)求4；

(2)设函数g(X)=三+£3_.证明：g(无)<1.

xf(x)

【分析】(1)确定函数f(X)的定义域，令g(x)=灯3,由极值的定义得到9G)

=0,求出〃的值，然后进行证明，即可得到〃的值；

(2)将问题转化为证明x+ln(l-x)<1，进一步转化为证明x+ln(1-x)>xln(1-x),

xln(l-x)

令h(x)=x+(l-x)In(l-x),利用导数研究h(x)的单调性，证明h(x)>h(0),

即可证明.

【解答】(1)解：由题意，/(x)的定义域为(-8,〃)，

令g(x)=xf(元)，则g(x)=xln(a-x),xG(-°°,。)，

则g，(x)=ln(〃-x)+x.二L=]n(a-x)+一乂,

a-xa-x

因为x=0是函数(x)的极值点，则有g，(x)=0,即上〃=0,所以〃=1,

=-X

当。=1时，g'(x)ln(l-x)+1~=ln(l-x)^-+r目.£(。)=。，

l-xl-x

=X2

因为g"(x)—^V=-■<0.

l-x(l-x)2(l-x)2

则g(X)在(-8,1)上单调递减，

所以当xW(-8,a)时，g'(x)>0,

当代(0,1)时，g'(x)<0,

所以。=1时，x=0时函数(x)的一个极大值.

综上所述，a=\\

(2)证明：由(1)可知，#(x)=xln(l-x),

要证4埃L<1，即需证明x+ln(l-Q<1，

xf(x)xln(l-x)

因为当xW(-8,0)时，xln(1-x)VO,

当xW(0,1)时，x加(1-x)<0,

所以需证明(1-x)>xln(1-x),BPx+(1-x)In(1-x)>0,

令力(x)=x+(1-x)/n(1-x),

贝lj”(x)=(1-x)■二

1-x

所以“(0)=0,当(-8,o)时，"(x)<0,

当疣(0,1)时,H(X)>0,

所以x=0为/?(x)的极小值点,

所以h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x),

故x+ln(l-x)

<1，

xln(l-x)

所以x+f(p<;L.

xf(x)

【点评】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用

导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查

了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题.

21.(12分)已知抛物线C：x2=2py(/>>0)的焦点为F,且尸与圆M：/+()，+4)2=1

上点的距离的最小值为4.

(1)求p；

(2)若点尸在M上，PA,尸3为C的两条切线，A,B是切点，求△BAB面积的最大值.

【分析】(1)由点尸到圆〃上的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可；

(2)对y」x2求导，由导数的几何意义可得出直线刑及PB的方程，进而得到点尸的

坐标，再将AB的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,-b),|AB|以及点P到直线AB

的距离，进而表示出△朋B的面积，再求出其最小值即可.

【解答】解：(1)点F(0,]■周圆M上的点的距离的最小值为廊|-1号+4-1=4,解

得p=2；

(2)由(1)知，抛物线的方程为/=4y,即则y，,x，

22

设切点A(Xi,yi),B(如")，则易得.A：丫得X-午，lpB：y啜'X-今，

X1+X2x/2

从而得到p（.），

~2~4

设/AB：y^kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得/-4h-46=0,

,△=16必+166>0,即必+。>0,且XI+X2=4A,X\X2--4b,

：.PC2k,-b),

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