甘肃省天水一中高三上学期第二次月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年甘肃省天水一中高三（上）第二次月考数学试卷(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A=｛x∈N|x≤6}，B=｛x∈R｜x2﹣3x＞0}，则A∩B=（)A．｛3，4，5} B．｛4，5，6｝ C．{x|3＜x≤6｝ D．{x｜3≤x＜6｝2．已知复数为纯虚数，那么实数a=(）A．﹣1 B． C．1 D．3．设函数f(x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．124．已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣45．若两个等差数列{an}和｛bn｝的前n项和分别是Sn和Tn,已知,则=（）A．7 B． C． D．6．函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A． B． C． D．7．若a＞b＞0，c＜d＜0,则一定有（)A．＞ B．＜ C．＞ D．＜8．设x，y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a＞0,b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为(）A． B． C． D．49．若实数a，b满足,则ab的最小值为（)A． B．2 C． D．410．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(）A．（﹣2，2) B．（﹣2,2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2,∞) D．（∞,2]11．若等差数列{an｝的前n项和Sn=n2，则的最小值为()A．4 B．8 C．6 D．712．定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列｛an}的前n项的“均倒数"为,又，则=(）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共20分)13．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最小值是．14．已知数列｛an｝中，a1=2,an+1=2an+3•2n，则数列｛an}的通项公式an=．15．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an=2015，则n=．16．下列命题中正确的有．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；③若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1；④若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项an=Sn﹣Sn﹣1(n＞1)．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知=．(1）求的值（2）若cosB=,b=2,求△ABC的面积S．18．已知函数f（x）=x2+（a﹣1）x+b+1，当x∈［b，a］时，函数f（x)的图象关于y轴对称，数列{an｝的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）﹣1（1）求数列{an}的通项公式;（2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．已知数列{an}是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列｛bn}满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4（1)求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式（2）数列｛an｝的前n项和为Tn,若不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n对一切n∈N＊恒成立，求实数λ的取值范围．21．已知函数f(x）=lnx﹣ax+﹣1,（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2)设g(x)=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2）,存在x2∈［1,3],使f（x1）≥g（x2)，求实数b的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程］（共1小题，满分10分)22．已知直线l的参数方程为（t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．(1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，),求｜PA｜+｜PB|．［选修4—5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a｜．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；(Ⅱ）在(Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0)+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．

2016-2017学年甘肃省天水一中高三（上）第二次月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A=｛x∈N|x≤6｝，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4,5｝ B．｛4,5,6} C．{x｜3＜x≤6} D．｛x|3≤x＜6}【考点】交集及其运算．【分析】根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．【解答】解：∵集合A=｛x∈N｜x≤6｝={0,1，2，3，4，5，6},B={x∈R｜x2﹣3x＞0｝=｛x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B=｛4,5，6｝．故选B．2．已知复数为纯虚数,那么实数a=（）A．﹣1 B． C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解:复数==为纯虚数，∴a﹣1=0，1+a≠0,解得a=1．故选：C．3．设函数f（x）=，则f（﹣2)+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【分析】先求f(﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f(log212）=6,进而得到所求和．【解答】解：函数f(x)=,即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6,则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．4．已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣4【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值,再利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果．【解答】解：∵角α的终边上有一点P(1,3)，∴x=1，y=3,r=｜OP｜=，∴sinα==，cosα==，则===1，故选:A．5．若两个等差数列｛an}和｛bn｝的前n项和分别是Sn和Tn,已知,则=（）A．7 B． C． D．【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：．故选:D．6．函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，设f（x)=xsinx+cosx，则f(﹣x）=(﹣x）sin（﹣x）+cos(﹣x）=xsinx+cosx=f（x），∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D．当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D;∵y′=xcosx,∴x＞0开始时，函数是增函数，由此排除B．故选：A．7．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞ B．＜ C．＞ D．＜【考点】不等关系与不等式．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解:不妨令a=3,b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，∴C、D不正确；=﹣3,=﹣∴A不正确,B正确．解法二：∵c＜d＜0,∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0,∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选:B．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0)的值是最大值为12,则的最小值为（)A． B． C． D．4【考点】基本不等式；二元一次不等式（组)与平面区域．【分析】已知2a+3b=6，求的最小值,可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0,b＞0)取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．9．若实数a，b满足，则ab的最小值为（）A． B．2 C． D．4【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．则ab的最小值为．故选：A．10．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2) B．（﹣2，2］ C．(﹣∞，﹣2)∪[2，∞) D．(∞，2］【考点】函数恒成立问题．【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需,解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2］．故选B．11．若等差数列{an｝的前n项和Sn=n2，则的最小值为（）A．4 B．8 C．6 D．7【考点】等差数列的前n项和．【分析】由Sn=n2，可得a1=1，a2=3．可得等差数列{an｝的公差d=2．可得an．可得=n+，令f(x)=x+（x≥1)，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：由Sn=n2，可得a1=1,1+a2=22,解得a2=3．∴等差数列｛an｝的公差d=3﹣1=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==n+，令f(x）=x+(x≥1），f′（x）=1﹣=，当1≤x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x)单调递减；当x时,f′（x）＜0，函数f（x）单调递增．∴n=3或4时，n+取得最小值7．故选:D．12．定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列｛an｝的前n项的“均倒数”为，又，则=（)A． B． C． D．【考点】类比推理．【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1)=Sn，求出Sn后,利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an,最后利用裂项法，即可求和．【解答】解:由已知得，∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴an=4n﹣1，∴，∴∴=+（)+…+(）=1﹣=．故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最小值是2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x,y）到定点(1，0)的距离的平方，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图:则z=（x﹣1）2+y2的几何意义为动点P（x,y)到定点（1,0)的距离的平方，过点A(1，0)作AB垂直直线x+y﹣3=0，则｜AB｜的距离最小,则圆心A到直线x+y﹣3=0的距离d=,此时z=d2=2，故答案为：2．14．已知数列｛an}中，a1=2，an+1=2an+3•2n，则数列{an｝的通项公式an=（3n﹣1)•2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】把已知等式两边同时除以2n+1，可得数列{}是以1为首项,以为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由an+1=2an+3•2n，得，即,又,∴数列｛｝是以1为首项,以为公差的等差数列，则,∴．故答案为：（3n﹣1)•2n﹣1．15．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列｛an},若an=2015，则n=1030．【考点】数列的应用．【分析】根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数,则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列;进而由442＜2015＜452，可得2015出现在第45行,又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案．【解答】解：分析图乙,可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始,以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数,则2015为第990+40=1030个数．故答案为：1030．16．下列命题中正确的有②③．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC中,若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；③若A，B为锐角三角形的两个内角,则tanAtanB＞1；④若Sn为数列{an｝的前n项和,则此数列的通项an=Sn﹣Sn﹣1(n＞1）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个选项，分别进行判断，即可判断命题的真假．【解答】解：①常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故不正确；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C,则a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形,正确；③因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞即：＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞cosB，同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=＞1，正确；④若Sn为数列{an｝的前n项和，则此数列的通项an=Sn﹣Sn﹣1(n＞1)；n=1，a1=S1，故不正确．故答案为：②③．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．(2）由正弦定理可求c=2a,由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1)由正弦定理,则=，所以=，即（cosA﹣2cosC)sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin(B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知函数f（x）=x2+（a﹣1)x+b+1，当x∈[b，a］时，函数f(x）的图象关于y轴对称，数列｛an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）﹣1(1)求数列｛an｝的通项公式;（2）设bn=，求数列｛bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）依题意，可求得a=1，b=﹣1，从而得Sn=n2，于是可求得a1及an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1(n≥2），观察即可求得数列｛an｝的通项公式；（2）由(1)得bn=,利用错位相减法可求得Tn=5﹣．【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴a﹣1=0且a+b=0，解得a=1，b=﹣1，∴f（x)=x2，∴Sn=f（n+1）﹣1=（n+1）2﹣1=n2+2n即有an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1（n≥2），a1=S1=1也满足，∴an=2n+1；（2)由（1）得bn=，Tn=+++…++，①∴Tn=+++…++，②①﹣②得Tn=++++…+﹣=+2×﹣=+2﹣﹣=﹣．∴Tn=7﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；(2）证明PB⊥平面EFD；(3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O,连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO;（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．法二:如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点,设DC=a．(1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA∥平面EDB;（2)证明EF⊥PB，,即可证明PB⊥平面EFD;（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2)证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．（3)解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知,DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中,，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二:如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点,设DC=a．(1)证明：连接AC，AC交BD于G,连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明PA∥EG．而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．(2）证明；依题意得B（a,a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD．(3）解:设点F的坐标为（x0，y0，z0)，,则（x0，y0，z0﹣a）=λ(a，a，﹣a）．从而x0=λa,y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．由条件EF⊥PB知，,即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且,,∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．20．已知数列｛an｝是递增的等比数列，满足a1=4,且的等差中项，数列｛bn｝满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4（1）求数列{an},｛bn}的通项公式(2）数列｛an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4)﹣λbn+7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合．【分析】(1)利用的等差中项,求出公比，可求数列｛an｝的通项公式；数列｛bn｝为等差数列，公差d=1，可求数列｛bn｝的通项公式；（2）不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1)，可得对一切n∈N＊恒成立，利用不等式,即可得出结论．【解答】解：(1)设等比数列｛an｝的公比为q，则∵是a2和a4的等差中项,∴，∵q＞1，∴q=2,∴依题意,数列{bn｝为等差数列，公差d=1又，∴b1=2，∴bn=n+1…（2）∵．不等式nlog2(Tn+4）﹣λbn+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1）∵n∈N*…∴对一切n∈N*恒成立．而当且仅当，即n=2时等式成立,∴λ≤3…21．已知函数f（x)=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；(2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1,3]，使f（x1)≥g（x2)，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间;（2）将条件对任意x1∈（0，2）,存在x2∈[1,3］，使f（x1）≥g(x2)转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈［1，3]有解，再参变量分离,即2b在x2∈[1,3］有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）,，当a=0时，f’（x）＞0得x＞1,∴f(x）的递增区间为(1，+∞），f’(x）＜0得0＜x＜1，∴f(x)的递减区间为（0,1）；当a＜0时，f'(x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞)，f’（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x)的递减区间为（0，1）；当时,f’（x)＞0得，∴f（x)的递增区间为f'(x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时,由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增,∴，依题意有在x2∈[1,