柯西不等式在高考中的应用策略 论文

2年安徽省中小学教育教学论文评选摘要：

柯西不等式在高考中的应用策略柯西不等式是一个非常重要的公式，对于柯西不等式深入了题是数学中的一类很重要的问题，在求某些比较复杂代数式的最值时，柯西不等式是经常使用的理论根据，为了运用柯西不等式，我用柯西不等式的技巧之一。下面具体剖析另外几个策略。关键词：柯西不等式，证明方法，应用，例子n2ai2

n22

n≥(

aibi)2是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.一．结构分析法例1、已知x，y，a，b均为正数，且ab1，求x+y的最小值。x yx+y的最小值，首先应想到化为两个两xy[(

x)2(

y)2][(

a)2(x

b)2]y能得到答案。均为正数，且ab1，所以根据柯西不等式得，xy[(

x)2(

y)2][(

a)2(x

x yb)2](ay

x byy axbx byy ax，即xy

a时取等号，所以x+y的最小值为(ab

b)2.不等式、求解最值和解决三角形问题。二．消元利用不等式例2.已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=1，则z的取值2范围是 。分析：先将已知条件变形，利用x+y≤

2(x2+y2)，可得z的不等式，即可求得z的取值范围．解析：∵x+y+2z=1，∴x+y=1﹣2z，∵x2+y2+2z2=1，∴x2+y2=1-2z22 2 ，∵x+y≤

2(x2+y2)，∴（1﹣2z）2≤1﹣4z2∴2z2﹣z≤0∴0£z£1。2z的不等式，通过解不等式求解。正确运用x+y≤

2(x2+y2)也是关键之一。三．换元利用柯西不等式例3非负实数x，y，z满足x2+y2+z2+x+2y+3z=13，那么x+y+z的最4大值为 。得到x+y+z的最大值．解析：x2+y2+z2+x+2y+3z=13，可得：(x

+1)2y+

+3)2=27，+4 2 2 4设x+13(x

1)2y

3)2=27++2 2 2 2 4++81，∴﹣49≤w+v+u≤9，2 23的最大值为9x+=y+1=z+3，2 2 2由此可得：x+y+z的最大值为9-3=3．2 2x、y、z的二次等式，求x+y+z的最大值．着重计算。四、构造法求解例4.若x，y，z为实数，且x2y2z21，求证：1xyyzxz1.2解析：根据不等式的结构特征，构造两组数：(x2y2z2)2(x2y2z2).(y2z2x2)(xyyzzx)2， 因 为x2y2z21所以(xyyzzx)21，所以xyyzzx1，又因为(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)0所以2(xyyzzx)(x2y2z2)，所以xyyzzx1，2故有1xyyzxz1.2化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用.因而22年安徽省中小学教育教学论文评选适当变形是我们应用柯西不等式的关键，也是难点.运用过程中，要便能使其形式一致，然后应用解题.柯西不等式证明问题的基本方法：（1）巧拆常数；（2）重新安排某些项的次序（3）改变结构；（4）添项等。II的选修4-5不等题加以分类，有助于知识的掌握。一、柯西不等式（原始版）1、a2a2b2b2ab

ab2，当且仅当向量aa,ab,b1 2 1 2

11 22

1 2 1 21向时候成立，如果,0时，那么当且仅当1

a2

时成立。2、a2a2a2b2b2b2ab

ab

ab2当且仅当a:a:a

b:b:b1 2 3 1 2 3

11 22 33

1 2 3

1 2 3时等号成立。2n n n 23、a2b2ab

a:a

:a:...:a

b:b

:b:...:b时等号kk

kk

kk

1 2 3

n 1 2 3 n成立。两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。二、常见题型常数。例1、已知ab1，且a,b0，求11的最小值。a b用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是11k，k为a b1次，右边为0要乘以ab，这样左边变成了

1b1应用柯西不等式。

2 111

11

1

1

4ab

时等号成立，ab a b b ab 所以11的最小值为4。a b显然以上对例1而且柯西不等式的应用范围更加广泛。例2、若a,b,c0，求证111b9。 b c解析：可以直接应用柯西不等式

2 111b

1

1

1

9abc1时等abc b c abc 号成立。 3、已知a,b,c0，并且abc1，求cab ab

bc

ca1 ； 1 ； 11 ； 1 ； 1 。ab

ab

bc

bc

ca

ca4：已知abc，证明114。ab

bc

ac提示：设xab，ybc，则acxy，且x,y0。2、2次常数1次例例3、已知xy21，求xy的取值范围。4利用柯西不等式会更简单。2这类问题是转化形如x2

y2

kxy2（k,k

为某两个常数）的4 1 2 1 24 柯西不等式进行求解，关键是常数,k2

的确定。观察柯西不等式a2a2b2b2ab

ab2，有a2b2ab2，i,2，相应的xk

x2，21 2 1 22

11 22

ii ii 4 12y22

y2，易得k

4,k2

1。12所以x12

y24xy2，即15xy2，所以

5xy 。4 4 5例4、已知x2y2z21，求x2y3z的取值范围。51分析：需要转化为形如x2y2z2k1

k2

k3

x2y3z2的柯西不等式，1有x21

x2，y2

4y2，z2

9z2，解得k

1,k2

4,k3

9。123解：x2y2z2149x2y3z2，即123

x2y3z213，所以1313x2y3z 。13例5、已知xyz1，求x22y2z2的最小值。 5解析：xyz2111x22y2z2，即1

x22y2z2，所以x22y2z22，5

2 2当且仅当

x2y

z，即

xz2,y1，或时等号成立，所以1 1 1 5 52x22y2z2的最小值为2。52x例6、求函数2x

x1

42x的最大值。a

x1,ba2b232年安徽省中小学教育教学论文评选则ya

b由柯西不等式，a2b212a

b2即33y2所以y3，当且仅当ab，即x0时等号成立。1 21的证明吗？答：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝(ad)2＋(bc)2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.当且仅当ad＝bc时等号成立．“探究”：试从不等式①推导不等式②，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系．答：设α＝(a，b)，β＝(c，d)．①⇒②：因为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(a2＋b2)(c2＋d2)，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ，即 a2＋b2 c2＋d2≥│

a2＋b2 c2＋d2cosθ│因此，│α││β│≥│α·β│.θ为向量u，v的夹角)．所以α·β＝ac＋bd＝

a2＋b2 c2＋d2cosθ，(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ≤(a2＋b2)(c2＋d2)．数形结合略．当且仅当α与β同向，即ad＝bc时等号成立．“探究”：请结合平面直角坐标系，解释不等式④的几何意义．答：如图，CA与CB反向时，等号成立．习题3.11．解：函数的定义域为[5,6]，且y＞0，y＝3

x－5＋4

6－x≤

32＋42·

(x－5)＋(6－x)＝5×1＝5.当且仅当4取得最大值．

x－5＝3

6－x，等号成立，即当x＝134时，函数25a1，a2，a3，b1，b2，b3是bi＝0(i＝1,2,3)或者存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．设a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3是实数，则((a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2＋((b1－c1)2＋(b2－c2)2＋(b3－c3)2≥((c1－a1)2＋(c2－a2)2＋(c3－a3)2.3．证明：由柯西不等式，(x＋2y)2≤[(

2x)2＋(

3y)2]2)(

3)])1)2 3 6＋4．证明：因为a2＋b2＝1，cos2θ＋sin2θ＝1，故由柯西不等式可知(bsinθ＋acosθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝1.∴|bsinθ＋acosθ|≤1.5．证明：∵(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[(

ax1)2＋(

bx2)2]·[(

bx1)2]≥(a

x1x2＋b

x1x2)2＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.x＋2y＝1看成一条直线，则x2＋y2就是坐标原点到直线上任一点(x，y)的距离的平方．故最小值为d＝

1 5 1 2＝ ，当且仅当x＝，y＝时，x2＋y21＋22 5 5 55取得最小值，且最小值为 .57．解：由柯西不等式，可知b)(

2a) (b )(

2a) [(b) ](1 1(a＋ 2b＋ ＝

1 1＋a 2b＋ ＝

12＋( a)22a)]b)(b

2a)]9)2 2)＝(2＋12＝.·＝当且仅当1 1 ·＝b 2a

1a· 2b，即ab＝时，等号成立．28．证明：设x1，x2＞0，则由二维形式的柯西不等式有(px1＋qx2)( p＋q)≥(

q)2＝(p

x1＋q

x2)2.又∵p，q＞0，p＋q＝1，∴ px1＋qx2≥p

x1＋q

x2.①又∵f(x)＝ x，∴①式可变形为pf(x1)＋qf(x2)≤f(px1＋qx2)．x＋4≤(9

1＋cos2x＝3 2

2sinx＋4

1＋cos2x2sin2sin2x＋(1＋cos2x)＋16＝(16＋4.5)

41 22＝ .2当且仅当3 2

1＋cos2x＝

2sinx·4，即

1＋cos2x＝8sinx3值最大为时，等号成立，此时y 41 2.值最大为2问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？导入：柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用.向般形式

n2ai21

n22

n≥(

1paibi)2有一个推广形式:(a1p+a2p+…+anp)p1q q 1 1(b1q+b2+…+bn)q≥a1b1+a2b2+…+anbn(

=1)（该不等式称为赫尔德p q（Holder）不等式，当p=q=2最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式ni1ni1xi2ni1yi2n(xiyi)i12是看中它的这一数学背景.一、二维形式的柯西不等式定理1（二维形式的柯西不等式）已知+a2)(b1+b2)a1b2-2 22 2 22a2b1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a1，a2，b1，b2,以下不等式成立：a2a21 2•b2b2a2a21 21 2a2a21 2•b2b2a2a21 21 2不等式中等号成立果b1≠0,b2≠0,那么

1b2-a2b1=0.这时我们称(a1,a2),(b1,b2)成比,a1b2-a2b1=0

1

a2.若b·b=b=0,则原不等b1 2 1 22b1 2 1 2式两边都是0,自然成立;②b1=0,b2≠0,原不等式化为(a1+a2)b2≥a2b22 2 2 2 2为b1·b2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b12bb≠0,等号成立的条件可以写成b121

a2,这种写法在表示一般形式(nb2维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2（柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.22年安徽省中小学教育教学论文评选定理2中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为

a2（b为零时，a为零，i=1，2）.bi bi i定理3（二维形式的三角不等式）设x1,x2,y1,y2∈R，那么x2x2y21 1x2y22 2(xx)2(yy1 21 2)2x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1，用 x2-x3代替 x2，用 y2-y3代替 y2，代入定理 3，得(x(xx)2(yy1 31 3)2(xx)2(yy1 32 3)2(x(xx)2(yy1 21 2)2二、一般形式的柯西不等式n2定理设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则((aibi)2

n2ai2

n2.2当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当bi=λai(1≤i≤n).即 (a1b1+a2b2+… +anbn)2≤(a1+a2+… +an)(b1+b2+… +bn)2 2 22 2 2 22a a a（ai,bi∈R,i=1,2,…,n）中等号成立的条件是1

2=…=n.号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广.一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：2年安徽省中小学教育教学论文评选a ain变式1 设ai∈bc>0(i=1,2,…,n),则1

2 ( )2i b b

,等号成立当且仅当bi=λai(1≤i≤n).

i i

ia ain变式2 设ai,bi同号且不为1

2 ( )2i b ab号成立当且仅当b1=b2=…=bn.

i i ii要求是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.a1,…,an;b1,…,bn都表示实数）是：（1）a1+a2+…+an=1,b1+b2+…+bn=1,则|a1b1+a2b2+…+anbn|≤1;2 2 2 2 2 2（2）a1a2+a2a3+a3a1≤a1+a2+a3;2 2 2（3）(a1+a2+…+an)2≤n(a1+a2+…+an);2 2 2（4）(a+b)(1+1)≥4=(1+1)2，其中a、b∈R+;a b（5）(a+b+c)(1+1+1)≥9=(1+1+1)2,其中a、b、c∈R+.a b c等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.知识点一：用柯西不等式证明不等式 >0.例1 设a1>a2>…>an>an+1 >0. 1 1

1 1 a2

a2a3

anan1

an1就可以使用了，我们不妨改为证： (a1-an+1)·［ 1

1 ］>1.a2

a2a3

anan1证明：为了运用柯西不等式，我们将a1-an+1写成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),于是 ［(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)］·（ 1

1 ）≥n2>1.a2

a2a3

anan1 即(a1-an+1)·（ 1

1 ）>1,a2

a2a3

anan1∴ 1 1 ∴

1 1 , >0. >0.

a2a3

anan1an1故 1 1 故

1 1 a2

a2a3

anan1

an1柯西不等式来证明.例2、设x1,x2,…,xn∈R+,求证：x2 x

x x21 x2 x3

n≥x1+x2+…+xn.xn 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+…+xn+x1)，也即嵌以因式(x1+x2+…+xn)，由柯西不等式即可得证.x2 x

x x2证明：(1 x2 x3

n)·(x2+x3+…+xn+x1)xn x2=［(x2

)2+(x2

)2+…+(xn)2+(xn

)2］x2xn13［( x2)2+( )2+…x2xn13

xn)2+()2］22年安徽省中小学教育教学论文评选x2≥(·x2

x2+

· +…+xn·

x1nxn+ ·1n)x23xnx2=(x1+x2+…+xnx23xnx2x2 x

x x2于是1 x2 x3

n≥x1+x2+…+xn.xn n2柯西不等式中有三个因式ai2

n2,2

n,aibi，而一般题目中只有一个例3 已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的最值.适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解.解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(111)≥(b+c+d)2,2 3 6即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a2≥(3-a)2.解得，1≤a≤2,当且仅当2b6d时等号成立.1/2代入b=1,c=1,d=1时，amax=2;

1/3

1/63 6b=1,c=2,d=1时,amin=1.3 3极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.如：已知a,b为正常数，且0<x<,求y=ab的最小值.解：利用柯西不等式，得

2 sinx

cosx3a23b2

(3a23b2)(sin2x+cos2x)≥(3asinx+3bcosx)2.当且仅当sinxcosx时等号成立.3a 3b3a23b2于是 3a23b2再由柯西不等式，得3a23a23b2 )sinx

cosx≥(3asinx+3bcosx)(ab）sinx

cosx2 2≥(6a

sinx

a6bsinx

cosx

b)2=(a3+b32.cosx当且仅当sinxcosx时等号成立.3a 3b2 2 2 ≥(a+b).从而y= ≥(a+b).sinx

cosx2 2 2 的最小值是(a+b).于是 的最小值是(a+b).sinx

cosx思想方法探究问题试探究用柯西不等式导出重要公式.如n个实数平方平均数不小于这n个数的算术平均数，即