《三欧几里得与《原本》》教学设计(建设兵团省级优课)x-数学教案

选修3—1数学史选讲

（人教版A版）几何学的“家丑”教学设计由于这部分知识高考师不考的，所以现今高中选修，大多数学校是不选的，学生每天的学习负担也很懂，学生也不可能花时间在这些必须了解，但又不考的知识上。因此我设计这节课，意在引导学生，让学生能关注到数学的发展历程，知道数学是怎样一步步走到今天的，数学家们都做了哪些努力和坚持，他们这种精神是值得我们学习的。教学目标知识与能力１.知道什么是欧氏几何及平行公设２.了解平行公设为什么是欧氏几何的“家丑”３.了解什么是非欧几何过程与方法通过对平行公设是欧氏几何“家丑”的学习，了解欧氏几何发展历程。情感态度与价值观通过对欧氏几何的发展历程的分析，能够对欧氏几何的“家丑”有比较感性的认识，提高学生对现实生活中问题的观察与分析能力。教学重难点重点１.平行公设２.欧氏几何３.非欧氏几何难点平行公设——欧氏几何的“家丑”一新课导入1问：过直线外一点有多少条直线和这条直线平行？（学生说出解决思路）请同学们证一证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。证明：假设通过一点，有2条（或n条）直线与已知直线平行。则根据平行公理，这2条（或n条）直线也应该相互平行，但它们交于同一点。所以不可能平行，因此假设不成立。即：过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行。2再问：三角形的内角和是多少度？如何证明你的结论？（学生在黑板上写出证明思路）给出：“过直线外一点有且仅有一条平行线”。这是我们在初中就学过的公理。别小看它，它曾经花费了数学家们2000多年的时间来研究它，甚至还有个几何学的“家丑”的名声。从而引起学生的兴趣：让他们想知道，为什么？一切还得从欧几里得的《原本》说起······让我们共同进入今天的学习来探讨这个原因以说书的形式引课二新课讲解一）欧几里得几何1欧几里得：生于雅典，是柏拉图的学生。以《原本》而著称于世，将前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。2《几何原本》书影欧几里得在巨著《原本》中把几何总结成系统的理论，其中主要内容就是当今中学课程里的平面几何和立体几何，因而把这些最基本的几何知识，叫做欧几里得几何，简称“欧氏几何”。一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”——爱因斯坦这句话说明了《原本》的贡献3《原本》中公设1）任意两个点可以通过一条直线连接。2）任意线段能无限延伸成一条直线。

3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4）所有直角都全等。4第五公设同一平面内一直线同另外两条直线相交，若在某一侧的两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后，必在这一侧相交。——平行公设或平行线公理5第五公设与另外4条相比，显得叙述复杂，而且根本没有“自明”的特征。事实上，它是《几何原本》中命题17的逆命题。它看起来更像一个定理而不像公设。（第五公社的特点）从而引起的质疑，数学家们开始猜测，这条公设是否真的必要？能不能从其他的九个公理和公设中把它推导出来？有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。引无数英雄竞折腰从公元前3世纪到19世纪的两千多年期间，人们不断尝试着用各种方法证明第五公设，有案可查的就有2000人之多。许多数学家为此沤心沥血，耗尽毕生精力，然而春去秋至，岁月流逝，却劳而无获。甚至像托勒密、普罗克鲁斯、瓦里斯、达朗贝尔、拉格朗日、勒让德等大数学家，也只能面对无数次的失败而“望题兴叹”，以致达朗贝尔称其为“几何学中的家丑”。第五公设是否可证？对此，意大利数学家萨凯里和德国数学家兰伯特的研究最早触及问题的实质。５.第五公设的证明——萨凯里反证法其中AD=BC，且∠A=∠B=90o不用平行公设，可以证明∠Ｃ=∠Ｄ=90o萨凯里的想法是：如果利用平行公设，就能证明∠Ｃ，∠Ｄ是直角，即假设成立。相反，由直角假设也能证明平行公设。因此平行公设和直角假设等价。这个图形有三种可能：１.直角假设：∠Ｃ，∠Ｄ是直角；２.钝角假设：∠Ｃ，∠Ｄ是钝角；３.锐角假设：∠Ｃ，∠Ｄ是锐角；３.意义１）萨凯里

萨凯里的贡献在于开创了富于启发性的反证法，并因此被称为非欧几何的先驱。他的研究成为几何学史上最伟大的发现，他本人也成为新学科——非欧几何的开创者。兰伯特

2）兰伯特在萨凯里间接证法的基础上又跨进了一步。在得到类似的结果后，没有像萨凯里那样声称证明了第五公设，而是大胆地对第五公设的可证性提出了怀疑，认为这些与直观表象不相符合但在逻辑推理上没有矛盾的结论可能是一种新几何。二）非欧几里得几何１.与欧氏平行公设对立的公设V’过直线外一点没有直线与所给直线平行。V’’过直线外一点至少有两条直线与给定直线平行。由这两个命题能分别证明钝角假设、锐角假设成立，同样：V’与钝角假设等价。V’’与锐角假设等价。２.椭圆几何、双曲几何如果我们保留欧几里得几何中不依赖平行公设的命题，然后把平行公设替换为V’或V’’，就能得到新的几何体系，分别叫做椭圆几何、双曲几何，它们都是非欧几何。３.非欧几何广义：一切和欧几里得的几何学不同的几何学。狭义：指双曲几何。通常：指椭圆几何和双曲几何这两种几何。三课堂小结１.欧氏几何

１）欧氏几何

２）第五公设：同一平面内一直线同另外两条直线相交，若在某一侧的两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后，必在这一侧相交。

３）第五公设的证明——萨凯里。２.非欧几何

１）与欧氏平行公设对立的公设。

２）非欧几何。

３）非欧几何出现的意义。四课堂练习__________________两直线无限延长后，必在这一侧相交。选择题１.下列公设中属于欧氏几何公设的有（）A.任意两个点可以通过一条直线连接

B.任意线段能无限延伸成一条直线