指标数为1的3维伪欧氏空间中的相关问题

指标数为1的3维伪欧氏空间中的相关问题

s、izma等人使用gac函数和距离函数作为工具，研究了如何分类欧洲空间中曲线的切可伸长段、从切向延伸段和焦不可伸段的要点。通过建立空间曲线的高速函数和距离函数，我们研究了三维欧空间曲线、曲线、曲线和曲线的性质分类。关于弯曲和弯曲，有几种文章涉及普通螺旋、斜轴和锥体表面的测量线，以及这些曲线的可伸长段的分类。对于Minkowski空间,文章中研究了三维Minkowski空间中类时曲线和类空曲线的性质,非类光曲线Lolrentzian高度函数和Lolrentzian距离函数,定义了副法线标型和非类光曲线的焦可展曲面,并且建立了两类曲面的奇点和曲线在Lolrentzian群作用下的几何不变量之间的联系。本文将在三维Minkowski空间中定义Minkowski一般螺线、Minkowski斜螺线和Minkowski测地线,给出这些曲线所特有的物质,估计出这些特殊曲线和一般曲线切触的阶数。讨论三维Minkowski空间中非类光曲线的达布型可展曲面和切达布型可展曲面的奇点分类,并且研究曲面的奇点和曲线的几何不变量δτκ之间的联系。2R31空间中基本概念和曲线的主要性质设R3={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈R}是三维向量空间,x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)是R3中的两个向量,x和y的伪内积定义为〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3。(R3,〈,〉)叫做三维伪欧式空间或三维Minkowski空间。我们将(R3,<,>)简记为R31。R31中任意两个向量x(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)∈R31的伪向量积定义为:x∧y=(x3y2-x2y3,x3y1-x1y3,x1y2-x2y1),并且对非零向量x∈R31,若〈x,x〉>0,〈x,x〉=0或〈x,x〉<0,则x分别叫做类空向量,类光向量或类时向量。向量x∈R31的范数定义为∥x∥=√sing(x)〈x,x〉,若‖x‖=1,则x叫做单位向量,其中sign(x)表示x的符号,当x是类空,类光和类时向量时,它的取值分别为:1,0或-1。本文所考虑的曲线均为非类光曲线,若无特殊声明,文中涉及的曲线和映射均是C∞类的。设γ:I→R31;γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是R31中的正则曲线。(即对任意t∈Ι,˙γ(t)≠0)其中I是一个开区间。对任意的t∈I,当〈˙γ(t)‚,曲线γ分别叫做类空曲线,类光曲线或类时曲线。若γ是类空曲线或类时曲线,则称γ为非类光曲线,非类光曲线以γ(t0),t0∈I为起点的弧长s(t)=∫t0t∥γ˙(x)∥dx,且‖γ′(s)‖=1,其中γ′(s)=dγds(s)。所以当‖γ′(s)‖=1时,我们说非类光曲线的参数s为弧长参数。我们记t(s)=γ′(s),称之为γ在点s处的切向量。我们将曲线γ在点s处的曲率记为k(s)=|〈γ″(s),γ″(s)〉|。若k(s)≠0,则曲线γ在点s处的主法向量n(s)由γ″(s)=k(s)·n(s)给出。我们记ε(γ)=sign(t(s)),δ(γ)=sign(n(s))。b(s)=t(s)∧n(s)叫做曲线γ在s处的副法向量,且sign(b(s))=-ε(γ)δ(γ),则有以下的Frenet-Serret型公式成立:{t′(s)=k(s)⋅n(s)n′(s)=-ε(γ)⋅δ(γ)k(s)⋅t(s)+ε(γ)⋅τ(s)⋅b(s)b′(s)=τ(s)⋅n(s)其中τ(s)是曲线γ在点s处的挠率,这是研究R13中非类光曲线的基本公式,对任意的单位速度曲线:γ:I→R13定义D(s)=-ε(γ(s))δ(γ(s))τ(s)t(s)+ε(γ(s))δ(γ(s))k(s)b(s)我们称之为达布型向量。那么Frenet-Serret型公式可以写为:{t′(s)=-δ(γ(s))(D(s)∧t(s))n′(s)=-δ(γ(s))(D(s)∧n(s))b′(s)=-δ(γ(s))(D(s)∧t(s))(1)γ的单位布型向量为D¯(s)=-ε(γ(s))δ(γ(s))τ(s)t(s)+ε(γ(s))δ(γ(s))k(s)b(s)ε(γ(s))sign(D(s))(τ2-δ(γ)k2)(s)(τ2-δk2≠0)对于任意的单位速度曲线:γ:I→R13,我们定义向量场D˜(s)=ε(γ(s))δ(γ(s))τkt(s)-ε(γ(s))δ(γ(s))b(s)(k(s)≠0)我们称之为γ的修正型达布向量。我们在三维Minkowski空间定义新的曲线如下:定义2.1设t(s)是非光型曲线γ:I→R13(k(s)≠0)的切向量,α→是一固定向量,如果伪内积<t(s),α→>等于一常数,那么我们称γ为Minkowski一般螺线。如果<n(s),α→>等于常数,我们称曲线γ(k(s)≠0)为Minkowski斜螺线,其中n(s)是γ的主法向量。如果(δ(γ)τk)′(s)是一常函数,则我们称曲线γ(k(s)≠0)为Minkowski锥面测地线。命题2.1γ:I→R13(k(s)≠0)是一非光型曲线,那么以下命题等价:(1)曲线:γ:I→R13(k(s)≠0)是Minkowski一般螺线。(2)伪内积<n(s),α→>等于0,其中n(s)是γ的单位主法向量,a→是一固定向量。(3)存在一常向量α→,使得<b(s),α→>0等于一常数,其中b(s)是γ的单位副法向量。(4)δ(γ(s))τk(s)是一常数。证明:(1)⇒(2)由,Minkowski一般螺线的定义,存在一常向量α→,使得<t(s),α→>等于一常数。那么＜t(s),α→＞′=＜t(s)′,α→＞+＜t(s),α→′＞=0,从而有＜t(s)′,α→＞=0。这样＜k(s)n(s),α→＞=0并且k(s)＜n(s),α→＞=0。所以＜n(s),α→＞=0。(2)⇔(3)因为＜b(s),a→＞′=＜b′(s),a→＞=＜τ(s)n(s),α→＞=τ(s)＜n(s),a→＞,这说明<b(s),α→>等于一常数等价于＜n(s),a→＞=0。(3)⇒(4)由(2),我们得＜n′(s),a→＞=0从而由Frenet-sereet型公式,我们有＜-ε(γ(s))δ(γ(s))k(s)t(s)+ε(γ(s))τ(s)b(s),a→＞=0这样-ε(γ(s))δ(γ(s))k(s)＜t(s),α→＞+ε(γ(s))τ(s)＜b(s),α→＞=0,所以δ(γ(s))τk(s)等于一常数。(4)⇒(1)设α→=ε(γ(s))δ(γ(s))τk(s)t(s)-ε(γ(s))δ(γ(s))b(s)这样α→′=(ε(γ(s))δ(γ(s))τk(s)t(s)-ε(γ(s))δ(γ(s))b(s))′=ε(γ(s))((δ(γ)τk)(s))′t(s)+ε(γ(s))δ(γ)τk(s))t′(s)-ε(γ(s))δ(γ(s))b′(s).再由Frenet-Sereet型公式和(3),我们得α→′=ε(γ(s))δ(γ(s))τ(s)n(s)-ε(γ(s))δ(γ(s))τ(s)n(s)=0即,α→是一常向量,所以<t(s),α→>是一常数。定义2.2设曲线(C)是曲面S上的曲线,E(s)=-sign(α(s))(N(s)∧α(s)),α(s),β(s)分别是γ(s)的切向量和主法向量,N(s)是曲面S点在P的切平面的法向量,t(s),E(s),N(s)彼此伪正交,曲线(C)的曲率向量γ¨=κ(s)β(s)在E(s)上的射影,κg=＜γ¨,E＞=＜κβ‚E＞称为曲线(C)在点P的测地曲率,其中·表示对一般参数求导。由测地曲率的定义,我们有下面的计算测地曲率的公式:κg=-sign(α)⋅κ(α,β,Ν)=-sign(α)(α,κβ,Ν)=-sign(α)(γ˙,γ¨,Ν)命题2.2设γ(k(s)≠0)是一单位速度曲线,那么γ是Minkowski斜螺线等价于(1)当δ=1时,γ的主法线的球面像n:I→S12是S12上一部分。(2)当δ=-1时,γ的主法线的球面像n:I→H12是H12上一部分。证明:γ是Minkowski斜螺线等价于<n(s),α→>等于一常数。其中α→是一固定向量。<n(s),α→>是常数等价于＜n(s)-α→,n(s)-α→＞=＜n(s),n(s)＞-2＜n(s),α→＞+＜α→‚α→＞=δ-2＜n(s),α→＞+＜α→‚α→＞是常数当δ=1时,<n(s),α→>是一常数,这说明γ的主法线的球面像是S12上一部分。当δ=-1时,<n(s),α→>是一常数,这说明γ的主法线的球面像是H12上一部分。命题2.3设γ(k(s)≠0)是一单位速度曲线,那么γ是Minkowski斜螺线等价于σ(s)=-ε(γ)sign(D(s))k2(δ(γ)(τk))′[ε(γ)sign(D(s))(τ2-δk2)]32(s)(τ2-δk2≠0)是一常函数。证明:由命题2.2,γ是Minkowski斜螺线等价于γ的主法线的球面像是S12或H21上一部分,而Minkowski平面上圆的测地曲率是常数,通过计算,主法线的球面像的测地曲率为:σ(s)=-ε(γ)sign(D(s))k2(δ(γ)(τk))′[ε(γ)sign(D(s))(τ2-δk2)]32(s)(τ2-δk2≠0)这样γ是Minkowski斜螺线等价于σ(s)是一常函数。我们考虑上面的不变量(δ(γ)τk)′(s)的意义。设γi:Ii→R13(i=1,2)是一正则曲线我们说γ1(s0)和γ2(t0)有至少k+1点切触,如果γ1(p)(s0)=γ2(p)(t0)(0≤p≤k)。我们也说γ1(s0)和γ2(t0)有k+1点切触,如果它们至少有k+1点切触并且γ1(k+1)(s0)≠γ2(k+1)(t0)。命题2.4γ:I→R13(k(s)≠0)是一正则的单位速度曲线且(δ(γ)τk)′(s0)≠0则(1)存在一开区间s0∈J(J⊂I)和唯一一条Minkowski锥面测地线ρ(s0)=γ(s0),k(s)是ρ(s)的曲率,ρ在点s0的挠曲率是τ(s0),γ(s0),ρ(s0)有至少五点切触。(2)存在一开区间s0∈J(J⊂I)和唯一一条Minkowski斜螺线ρ(s0)=γ(s0),k(s)是ρ(s)的曲率,ρ在s0的挠曲率是τ(s0),γ(s0),ρ(s0)有至少五点切触。证明:(1)记(δ(γ)τk)(s0)=b‚(δ(γ)τk)′(s0)=c。若Minkowski锥面测地线存在,那么δ(ρ)τρkρ(s)是s的一次函数,考虑自然方程:即由存在唯一性定理,在ρ(p)(s0)=γ(p)(s0)(1≤p≤4)条件下,自然方程必有唯一解曲线ρ:J→R13。(2)记σ(s0)=d。如果Minkowski斜螺线存在,那么由命题2.2,我们有σ(s)=σ(s0),从而σ(s)=σ(s0)=-ε(ρ)sign(Dρ(s))kρ2(δ(ρ)τρkρ)′[ε(ρ)⋅sign(Dρ(s))(τρ2-δρk2)]32(s)=d对任意的s。考虑自然方程:由存在唯一性定理,在ρ(p)(s0)=γ(p)(s0)(1≤p≤4)条件下,自然方程必有唯一解曲线ρ:J→R13。我们称在命题2.4中给出的Minkowski锥面测地线(或Minkowski斜螺线)为γ的密切Minkowski锥面测地线(或密切Minkowski斜螺线)。3R13空间中和特殊曲线有关的可展曲面R13中的直纹面是映射F(γ,δ):I×R→R13;F(γ,δ)(t,u)=γ(t)+μδ(t),其中γ:I→R13,δ:I→R130}是光滑映射且I是一开区间或单位圆S11(H11)。我们称γ为基线,δ为导线,直线μ→γ(t)+μδ(t)称为直母线。设γ是一k(s)≠0单位速度曲线,直纹面F(γ,D¯)(s,μ)=γ(s)+μD¯(s)称为γ的修正型可展曲面。定义直纹面F(b,t)(s,μ)=b(s)+μt(s)为γ的达布型可展曲面。称γ的主法向量n(s)的达布型可展曲面F(D¯,n)(s,μ)=D¯(s)+μn(s)为γ的切达布可展。考虑单位速度曲线γ(s)(k(s)≠0)的修正型达布可展。我们计算出D˜′(s)=(δ(γ)τk)′(s)t(s),这样(s0,μ0)是F(γ,)的奇点当且仅当(δ(γ)τk)′(s0)≠0且μ0=-1(δ(γ)τk)′(s0)命题3.1设γ:I→R13(k(s)≠0)单位速度曲线,则下面的命题等价。(1)γ的修正型可展曲面F(γ,):I→R13是一个Minkowski锥面。(2)γ是一条Minkowski锥面测地线。证明考虑γ的修正型达布可展的奇点的轨迹σ(s)=γ(s)-D˜(s)(ε(γ)δ(γ)(τk)′(s),由Frenet-Sereet型公式,我们有σ′(s)=ε(γ)δ(γ)(τk)″(τk)´2D˜(s),由此得出σ′(s)≡0当且仅当(δ(γ)τk)″(s)≡0,从而(δ(γ)τk)″(s)≡0当且仅当F(γ,)是Minkowski锥面。由(δ(γ)τk)″(s)=0得(δ(γ)τk)′(s)是一常数,即γ-Minkowski锥面测地线这样,显然有F(γ,)是一Minkowski锥面当且仅当γ是一Minkowski锥面测地线。定理3.2设γ:I→R13(k(s)≠0)是一单位速度曲线,则我们有:(1)γ的达布型可展在F(b,t)(s0,μ0)局部微分同胚于尖点棱C×R当且仅当τ(s0)≠0‚(τk)′(s0)≠0和μ0=τk(s0),其中C={(x1,x2)|x12=x23}×R。(2)γ的达布型可展在F(b,t)(s0,μ0)局部微分同胚于燕尾SW当且仅当τ(s0)≠0)‚(τk)′(s0)=0‚(τk)″(s0)≠0,andμ0=τk(s0),其中SW={(x1,x2,x3)|x1=3μ4+μ2v,x2=4μ3+2μv,x3=v}。(3)γ的达布型可展在F(b,t)(s0,μ0)局部微分同胚于尖点交叉套CCR当且仅当μ0=τ(s0)=0‚(τk)′(s0)≠0,其中CR={(x1,x2,x3)|x1=μ3,x2=μ3v3,x3=υ2}。本定理证明见文。作为定理3.2的推论,我们有下面的通有空间曲线的切达布型可展的局部分类定理。定理3.3设γ:I→R13(k(s)≠0)是一单位速度曲线,那么我们有:(1)γ的切达布型可展在F(D¯